专题25 四边形中的平移综合问题

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（1）指出平移的方向和平移的距离；
（2）求证：AF＝AD+BC；
（3）若AD＝BC，三角形ABD的面积为15，求四边形ABCF的面积．
解：（1）平移的方向是点B到点C的方向，平移的距离是线段BC的长度；
（2）∵△ABD平移到△ECF的位置，
∴DF＝BC，
∵AD+DF＝AF，
∴AD+BC＝AF．
（3）∵AD＝BC，三角形ABD的面积为15，
∴三角形BDC的面积为，
∵DF＝BC，
∴三角形DCF的面积为，
∴S梯形ABFD＝15+＝60．
2、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，连接BD，现将三角形ABD平移到三角形ECF的位置．
（1）指出平移的方向和平移的距离；
（2）求证：AF＝AD+BC；
（3）若AD＝BC，三角形ABD的面积为15，求四边形ABCF的面积．
解：（1）平移的方向是点B到点C的方向，平移的距离是线段BC的长度；
（2）∵△ABD平移到△ECF的位置，
∴DF＝BC，
∵AD+DF＝AF，
∴AD+BC＝AF．
（3）∵AD＝BC，三角形ABD的面积为15，
∴三角形BDC的面积为，
∵DF＝BC，
∴三角形DCF的面积为，
∴S梯形ABFD＝15+＝60．
3、阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）．
参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．
（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
（2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于 ．
解：△BDE的面积等于1．
（1）如图．以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP．
（2）平移AF到PE，可得AF∥PE，AF＝PE，
∴四边形AFEP为平行四边形，
∴AE与PF互相平分，即M为PF的中点，
又∵AP∥FN∥BC，F为AB的中点，
∴N为PC的中点，
∴E为△PFC各边中线的交点，
∴△PEC的面积为△PFC面积的
连接DE，可知DE与PE在一条直线上
∴△EDC的面积是△ABC面积的
所以△PFC的面积是1××3＝
∴以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于．
4、操作与探究：
（1）点P为数轴上任意一点，对点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移个单位，得到点P的对应点P′．
点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′，如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是 ；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是 ；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是 ．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′，已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，请直接写出点F的坐标 ．
解：（1）点A′：﹣3×+1＝﹣1+1＝0，
设点B表示的数为a，则a+1＝2，
解得a＝3，
设点E表示的数为b，则b+1＝b，
解得b＝；
故答案为：0，3，；
（2）根据题意，得：，
解得：，
设点F的坐标为（x，y），
∵对应点F′与点F重合，
∴x+＝x，y+2＝y，
解得x＝1，y＝4，
所以，点F的坐标为（1，4）．
5、如图，已知射线CD∥OA，点E、点F是OA上的动点，CE平分∠OCF，且满足∠FCA＝∠FAC．
（1）若∠O＝∠ADC，判断AD与OB的位置关系，证明你的结论．
（2）若∠O＝∠ADC＝60°，求∠ACE的度数．
（3）在（2）的条件下左右平行移动AD，∠OEC和∠CAD存在怎样的数量关系？请直接写出结果（不需写证明过程）
解：（1）∵CD∥OA，
∴∠BCD＝∠O，
∵∠O＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠CDA，
∴AD∥OB；
（2）∵∠O＝∠ADC＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∴∠OCD＝120°，
∵CD∥OA，
∴∠DCA＝∠CAO，
∵∠FCA＝∠FAC，
∴∠DCA＝FCA，
∵CE平分∠OCF，
∴∠OCE＝∠FCE，
∴∠ECF+∠ACF＝∠OCD＝60°，
∴∠ACE＝60°；
（3）∠CAD+∠OEC＝180°，
理由：∵AD∥OC，
∴∠CAD＝∠OCA，
∵∠OCA＝∠OCE+∠ACE＝60°+∠OCE，
∵∠AEC＝∠O+∠OCE＝60°+∠OCE，
∴∠AEC＝∠CAD，
∵∠AEC+∠OEC＝180°，
∴∠CAD+∠OEC＝180°．
6、已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝60°，∠ABC、∠ADC的平分线交于点E．
（1）若点B在点A的左侧，如图1，∠ABC＝α，求∠BED的大小（用含α的式子表示）；
解：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
请完成余下的解答过程．
（2）将图1中的线段BC沿DC方向平移，当点B移动到点A的右侧时，如图2，设∠ABC＝β，请直接写出∠BED的大小．
解：（1）如图1，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠FED＝∠EDC，
∵∠BED＝∠BFE+∠FED，
∴∠BED＝∠ABE+∠EDC，
∵BE、DE分别是∠ABC、∠ADC的平分线，
∴，
∵∠ABC＝α，∠ADC＝60°，
∴＝；
（2），
理由：如图2所示，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠FED+∠EDC＝180°，
∵∠ABC＝β，∠ADC＝60°，∠ABC、∠ADC的平分线交于点E，
∴∠ABE＝β，∠EDC＝30°，
∴∠BEF＝∠ABE＝β，∠DEF＝180°﹣∠EDC＝150°，
∴∠BED＝360°﹣∠BEF﹣∠DEF＝360°﹣β﹣150°＝210°﹣β．
7、如图1，将线段AB平移至DC，使点A与点D对应，点B与点C对应，连AD、BC．
（1）填空：AB与CD的位置关系为 ，BC与AD的位置关系为 ；
（2）点E、G都在直线CD上，∠AGE＝∠GAE，AF平分∠DAE交直线CD于F，
①如图2，若G、E为射线DC上的点，∠FAG＝30°，求∠B的度数；
②如图3，若G、E为射线CD上的点，∠FAG＝α，求∠C的度数．
解：（1）如图1中，
∵AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
故答案为：AB∥CD，AD∥BC．
（2）①如图2中，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
∵EG＝EA，
∴∠G＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠BAG，
∵∠FAE＝∠FAD，
∴∠BAD＝2∠FAG，
∵∠FAG＝30°，
∴∠BAD＝60°，
∵BC∥AD，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴∠B＝120°．
②如图3中，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠AGE，
∵EG＝EA，
∴∠AGE＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠BAG，
∵∠FAE＝∠FAD，
∴∠BAD＝∠EAB﹣∠EAD＝2（∠EAG﹣∠EAF）＝2α，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠BAD＝2α．
8、已知：BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：
（1）如图①，OB与AC平行吗？为什么？
（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．求∠EOC的度数；
（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图③，那么∠OCB与∠OFB之间的关系并说明理由．
（1）证明：∵BC∥OA，
∴∠B+∠O＝180°，
∴∠O＝180°﹣∠B＝80°，
而∠A＝100°，
∴∠A+∠O＝180°，
∴OB∥AC；
（2）解：∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE＝∠FOE，
而∠FOC＝∠AOC，
∴∠EOF+∠COF＝∠AOB＝×80°＝40°；
（3）结论为：∠OFB＝2∠OCB；
∵BC∥OA，
∴∠OCB＝∠AOC，∠OFB＝∠AOF，
∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠AOF＝2∠AOC，
∴∠OFB＝2∠OCB．
9、已知，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，请解答下列问题：
（1）如图1所示，求证：OB∥AC；
（2）如图2，若点E、F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC、∠BOE＝∠FOE，则∠EOC的度数为 （直接写结果）
（3）在（2）的条件下，若∠OEB＝∠OCA，求∠OCA的度数．
（4）若如图3向左平行移动AC，当AC移动到OB时停止运动，在整个移动的过程中，点E、F始终在直线BC上，且满足∠FOC＝∠AOC、∠BOE＝∠FOE．请问∠OCB与∠OFB会有怎样的数量关系？请说明理由．
解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O＝180°；
∵∠A＝∠B，
∴∠A+∠O＝180°，
∴OB∥AC．
（2）∵∠A＝∠B＝100°，
由（1）得∠BOA＝180°﹣∠B＝80°；
∵∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，
∴∠EOF＝∠BOF，∠FOC＝∠FOA，
∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA＝40°．
故答案为：40°；
（3）由（1）知：OB∥AC，∴∠OCA＝∠BOC，
由（2）可以设：∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，
∴∠OCA＝∠BOC＝2α+β
∠OEB＝∠EOC+∠ECO＝α+β+β＝α+2β
∵∠OEB＝∠OCA
∴2α+β＝α+2β
∴α＝β
∵∠AOB＝80°，∴α＝β＝20°
∴∠OCA＝2α+β＝40°+20°＝60°．
（4）结论：∠OCB：∠OFB＝1：2．理由为：
∵BC∥OA，
∴∠FCO＝∠COA，
又∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠FOC＝∠FCO，
∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，
∴∠OCB：∠OFB＝1：2．
10、如图1，已知l1∥l2，点A，B在直线l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠1＝70°，∠2＝30°．
（1）求∠AEC的度数；
（2）如图2，将线段AD沿线段CD方向平移，其他条件不变，求∠AEC的度数．
解：（1）如图1，过点E作EF∥l1，
∵l1∥l2，
∴EF∥l2，
∵l1∥l2，
∴∠BCD＝∠α，
∵∠1＝70°，
∴∠BCD＝70°，
∵CE是∠BCD的角平分线，
∴∠ECD＝×70°＝35°，
∵EF∥l2，
∴∠FEC＝∠ECD＝35°，
∵l1∥l2，
∴∠BAD+∠2＝180°，
∵∠2＝30°，
∴∠BAD＝150°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝×150°＝75°，
∵EF∥l1，
∴∠BAE+∠AEF＝180°，
∴∠AEF＝105°，
∴∠AEC＝105°+35°＝140°；
（2）如图2，过点E作EF∥l1，
∵l1∥l2，
∴EF∥l2，
∵l1∥l2，
∴∠BCD＝∠1，
∵∠1＝70°，
∴∠BCD＝70°，
∵CE是∠BCD的角平分线，
∴∠ECD＝×70°＝35°，
∵EF∥l2，
∴∠FEC＝∠ECD＝35°，
同理可求∠AEF＝15°，
∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝50°．
11、如图，点C、M、N在射线DQ上，点B在射线AP上，且AP∥DQ，∠D＝∠ABC＝80°，∠1＝∠2，AN平分∠DAM．
（1）试说明AD∥BC的理由；
（2）试求∠CAN的度数；
（3）平移线段BC．
①试问∠AMD：∠ACD的值是否发生变化？若不会，请求出这个比值；若会，请找出相应变化规律；
②若在平移过程中存在某种位置，使得∠AND＝∠ACB，试求此时∠ACB的度数．
解：（1）∵AP∥DQ，
∴∠D+∠DAB＝180°．
∵∠D＝80°，
∴∠DAB＝100°．
∵∠ABC＝80°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（2）∵AN平分∠DAM，
∴∠NAM＝∠NAD＝∠DAM．
∵∠1＝∠2，
∴∠CAM＝∠BAM．
∴∠NAM+∠CAM＝∠DAM+∠BAM，
即：∠CAN＝∠DAB
∵∠DAB＝100°，
∴∠CAN＝50°，
（3）①不会．
∵AP∥DQ，
∴∠AMD＝∠MAB＝2∠1，∠ACD＝∠1，
∴∠AMD：∠ACD＝2，
②∵AP∥DQ，AD∥BC，
∴∠AND＝∠NAB，∠ACB＝∠DAC，
∵∠AND＝∠ACB，
∴∠NAB＝∠DAC，
∴∠NAB﹣∠NAC＝∠DAC﹣∠NAC，
即：∠1＝∠DAN．
∴∠1＝∠2＝∠DAN＝∠MAN＝25°，
∴∠ACB＝∠DAC＝75°．
12、现有一副三角板，如图①中，∠B＝90°，∠A＝30°；图②中，∠D＝90°，∠F＝45°；图③中，将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动（移动开始时点D与点A重合）．
（1）△DEF在移动的过程中，若D、E两点始终在AC边上，
①F、C两点间的距离逐渐 ；连接FC，∠FCE的度数逐渐 ．（填“不变”、“变大”或“变小”）
②∠FCE与∠CFE度数之和是否为定值，请加以说明；
（2）△DEF在移动的过程中，如果D、E两点在AC的延长线上，那么∠FCE与∠CFE之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；
（3）能否将△DEF移动至某位置，使F、C的连线与BC垂直？求出∠CFE的度数．
解：（1）①F、C两点间的距离逐渐变小；连接FC，∠FCE的度数逐渐变大；
故答案为：变小，变大；
②∠FCE与∠CFE度数之和为定值；
理由：∵∠D＝90°，∠DFE＝45°，
又∵∠D+∠DFE+∠FED＝180°，
∴∠FED＝45°，
∵∠FED是△FEC的外角，
∴∠FCE+∠CFE＝∠FED＝45°，
即∠FCE与∠CFE度数之和为定值；
（2）如图，∠FCE与∠CFE度数之和为定值；
理由：∵∠FDE＝90°，∠F＝45°，
又∵∠FDE+∠F+∠FED＝180°，
∴∠FED＝45°，
∵∠FEG是△FEC的外角，
∴∠FCE+∠CFE＝∠FEG＝135°，
即∠FCE与∠CFE度数之和为定值；
（3）要使FC⊥BC，则需∠FCE＝∠A＝30°，
又∵∠CFE+∠FCE＝45°，
∴∠CFE＝45°﹣30°＝15°．
13、如图，回答下列问题
（1）将△ABC沿x轴向左移一个单位长度，向上移2个单位长度，
则A1的坐标为 ，B1的坐标为 ，C1的坐标为 ．
（2）若△ABC与△A2B2C2关于x轴对称，则A2的坐标为 ，
B2的坐标为 ，C2的坐标为 ．
解：（1）A（3，0），B（﹣2，4），C（0，﹣1），
将△ABC沿x轴向左移一个单位长度，向上移2个单位长度，则A1的坐标为（3﹣1，0+2），B1的坐标为（﹣2﹣1，4+2），C1的坐标为（0﹣1，﹣1+2），
即：A1的坐标为（2，2），B1的坐标为（﹣3，6），C1的坐标为（﹣1，1），
故答案为：（2，2），（﹣3，6），（﹣1，1）；
（2）若△ABC与△A2B2C2关于x轴对称，则A2的坐标为（3，0），
B2的坐标为（﹣2，﹣4），C2的坐标为（0，1），
故答案为：（3，0），（﹣2，﹣4），（0，1）．
14、按要求画图．
（1）在图1中分别画出点A、点B到直线CD的垂线段AE、BF
（2）如图2，已知三角形ABC，点D为点A的对应点，过点D作三角形ABC平移后的三角形DEF．
解：（1）如图所示；
（2）△DEF如图所示．
15、在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（1，a）、B（b，1），且实数a、b满足+＝0．
（1）求a，b的值；
（2）平移线段AB至线段PQ处（A的对应点为P），使得点P、Q正好都在坐标轴上，求点P，Q的坐标；
（3）点C（3，c），c≠0，D是x轴负半轴上任一点，连接OC，OM平分∠DOC，ON⊥OM，（ON在x轴上方），CE⊥CO，交x轴正半轴于点E，当c的值发生变化时，探究∠NOD与∠OEC之间的数量关系，并说明理由．
解：（1）∵+＝0，
∴a﹣3＝0，4﹣b＝0，
∴a＝3，b＝4；
（2）∵a＝3，b＝4，
∴A（1，3）、B（4，1），
∵x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0，
∴如果平移线段AB至线段PQ处（A的对应点为P），使得点P、Q正好都在坐标轴上，可分两种情况：
①P在y轴上，Q在x轴上，
将线段AB先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，此时P（0，2），Q（3，0）；
②P在x轴上，Q在y轴上，
将线段AB先向下平移3个单位，再向左平移4个单位，此时P（﹣3，0），Q（0，﹣2）；
（3）2∠NOD+∠OEC＝90°．理由如下：
∵OM平分∠DOC，
∴∠DOM＝∠MOC，设∠DOM＝∠MOC＝α．
∵ON⊥OM，
∴∠NOD＝90°﹣α，
∴∠EOC＝180°﹣2α，
∵CE⊥CO，
∴∠OCE＝90°，
∴∠OEC＝90°﹣∠EOC＝90°﹣（180°﹣2α）＝2α﹣90°，
∴2∠NOD+∠OEC＝2（90°﹣α）+（2α﹣90°）＝90°．