数学必修 第一册4.2 指数函数优秀练习题

4.2.2指数函数的图象和性质真题探源

考情揭秘 指数函数是最常见的函数之一,在高考试题中出现频率较高.它既可单独考查,即考查函数的图像和基本性质,也可综合考查,即考查利用指数函数的性质解决其他数学问题.单独考查时,一般以选择题、填空题出现,近几年出现分段函数中含指数函数的考题频率较高,分值一般为5分,在大题中综合考查时,则是与其他知识联系起来考查相关知识与应用数学的能力.

题型1 比较指数幂的大小

例1（1）（山东高考）设,则a,b,c的大小关系是（    ）.

A.

B.

C.

D.

（2）（全国Ⅲ高考）已知,则（    ）.

A.

B.

C.

D.

真题探源 利用指数函数的单调性比较大小是指数函数的基本应用,教材P117例3就是比较两个指数幂的大小,还有P118练习第2题,P119习题4.2第6题都是这类问题.本题只是增加到了3个数,其实在方法上是一致的.

思路点拨 （1）由在区间（0,+∞）上是单调减函数,可知,又,所以,故选C.

（2）因为,且幂函数在R上单调递增,指数函数在R上单调递增,所以.故选A.

答（1）C  (2)A

答题模板

利用指数函数的单调性比较指数式大小的基本步骤

（1）确定所要考察的指数函数；

（2）根据底数情况指出已确定的指数函数的单调性；

（3）比较指数的大小,然后利用指数函数的单调性得出同底数幂的大小关系.

题型2 指数函数的定义域问题

例2（1）（山东高考）函数的定义域为(    )

A.（-3,0]

B.（-3,1]

C.（-∞-3）∪（-3,0]

D.（-∞,-3）∪（-3,1]

（2）（2017·全国1高考）已知集合A={x|x<1},B=,则（    ）.

A.

B.

C.

D.

真题探源 本例问题（1）求定义域与教材P118习题4.2第1题类似,问题（2）通过集合运算求定义域,与教材P160复习参考题4第5题类似.

思路点拨 (1)由题意得,即所求函数的定义域为（-3,0].故选A.

（2）∵集合A={x|x<1},,A∩B={x|x<0},故A正确,D错误；A∪B={x|x<1},故B和C都错误.故选A.

答（1）A（1）A

点评 求指数型复合函数的定义域的关键在于解指数不等式.而解指数不等式的基本方法是“同底法”,如本例（1）中解时,先将不等式化为,进而由指数函数的单调性可知x≤0.

题型3 指数函数的图像与变换

例3（1）（四川高考）如图所示,函数的图像大致是（    ）.

A.

B.

C.

D.

（2）（2019·全国Ⅲ高考）函数在[-6,6]的图像大致为（    ）.

A.

B.

C.

D.

真题探源 教材P116的探究中仔细讨论了 与的图像间的关系,又在P118练习第1题要求作出与的图像并说明它们的关系,同时在P120习题4.2第9题对函数的图像进行研究.

思路点拨 （1）用排除法：由已知得,,排除A；又∵x<0时,,故排除B；当x→+∞时,远大于,,排除D,故选C.

（2）设,则,

所以是奇函数,图像关于原点成中心对称,排除选项C.又,排除选项D.又排除选项A,故选B

答（1）C（2）B

答题模板

特殊点法判断函数图像的方法与步骤

特殊点法就是根据函数解析式的特点,结合函数的性质观察函数图像必须经过的某个特殊点,从而便于识别函数图像的一种方法.此种方法适用于由一些函数图像上存在特殊点的基本初等函数经过初等变换得到的函数图像识别问题.其步骤如下：

第一步：找特殊点.根据已知函数的解析式,找出函数图像所经过的特殊点.

第二步：研究变换.将题设条件所给出的函数解析式通过适当的化简或变形,再与基本初等函数相对应,得出此函数是由哪个基本初等函数通过怎样的图像变换而得到的.

第三步：定选项.顺着图像变换展开,将得到的图像与四个选项对照,确定正确的选项.

题型4 指数型函数性质的讨论

例4（1）（2017·北京高考）已知函数,则（    ）.

A.是偶函数,且在R上是增函数

B.是奇函数,且在R上是增函数

C.是偶函数,且在R上是减函数

D.是奇函数,且在R上是减函数

（2）（山东高考）若函数是奇函数,则使成立的x的取值范围为（    ）.

A.

B.（-1,0）

C.（0,1）

D.（1,+∞）

（3）（2018·浙江数学竞赛）已知a为正实数,且是奇函数,则的值域为    .

（4）（2017·江苏高考改编）已知函数其中e是自然对数的底数,e≈2.718.若,则实数a的取值范围是    .

真题探源

本例中4个问题都是研究指数型复合函数的奇偶性和单调性,并利用性质解题,教材中也不乏此类问题,如P120习题4.2的第9,10题是讨论函数的奇偶性和单调性,又如P161复习参考题4的第12题也是研究函数的单调性与奇偶性.

思路点拨 （1）由,知函数为奇函数,因为在R是减函数,在R上是增函数,所以函数在R上是增函数,故选B

（2）由题意,知,所以,解得a=1,所以,由,得,所以0<x<1.故选C

（3）由为奇函数可知,即,解得a=2,则,故的值域为.

（4）由于均为增函数,为减函数,故为增函数,因此可得在R上递增.

又,可得为奇函数,又,即有,即有,解得,故答案为.

答（1）B  (2)C  (3)   (4)

解题通法

指数不等式的解法

（1）形如的不等式,可借助的单调性求解.如果a的值不确定,需分0<a<1和a>1两种情况讨论.

（2）形如的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂的形式,再借助的单调性求解.

（3）形如的不等式,可借助图像求解,也可转化为求解.

题型5 指数函数性质的综合应用

例5（1）（2018·江西六校高三联考）已知a,b,c,m都是正数,,若长分别为a,b,c的三条线段能构成三角形,则m的取值范围是    .

（2）（2017·山东高考改编）若函数是自然对数的底数）在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为    .

①；②；③；④.

真题探源 本例的两个小题均是将指数函数的性质和第三章函数的基本性质综合起来考查,因此,教材的练习与习题的题目均不及此例中的题目的难度,但在期中、期末的统考、联考、调考中是不乏此类题目的.

思路点拨 （1）由于,且a,b,c,m都是正数,所以且.因此要使长分别为a,b,c的三条线段能构成三角形,则只要即可.注意到在R上单调递减.

若m=1,则,即b+c=a.显然此时不能构成三角形；

若m>1,则,又,即b+c>a,此时可以构成三角形；

若0<m<1,则,即,即b+c<a,显然此时不能构成三角形.

综上可知,当m>1时,以长分别为a,b,c的三条线段能构成三角形.

（2）对于①,,则为实数集上的增函数,即具有M性质.

对于②,则为实数集上的减函数,不具有M性质；对于③,,则为增函数,当x>0时,为增函数；但当不一定为增函数,故不具有M性质；对于④,则时显然为增函数,（x>0）具有M性质.∴具有M性质的函数序号为①④.

答（1）m>1（2）①④