专题29 一次函数应用综合

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专题29 一次函数应用综合

1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y＝﹣x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与直线l交于C点，tan∠COA＝2．
（1）求点C的坐标；
（2）动点P从点A出发，沿线段AB以每秒5个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿线段BO以每秒4个单位的速度向终点O运动．设△PBQ的面积为S，运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若△BQP与△BOC相似，求出符合题意的t值及点P坐标．

解：（1）如图1中，作CH⊥OA于H．

∵y＝﹣x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（6，0），B（0，8），
∴OA＝6，OB＝8，
∵tan∠COA＝＝2，设OH＝x，CH＝2x，
∵CH∥OB，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴OH＝，CH＝，
∴C（，）．

（2）如图2中，

易知Q（0，8﹣4t），P（6﹣3t，4t），
∴S＝•4t•（6﹣3t）＝﹣6t2﹣12t．

（3）①当＝时，∵∠PBQ＝∠OBC，
∴△PBQ∽△OBC，
易知AB＝10，BC＝4，
∴＝，
∴t＝．此时P（，）．
②当＝，∵∠PBQ＝∠OBC，
∴△BQP∽△BOC，
∴＝，
∴t＝，此时P（，）．



2．为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：
月用水量/t
单价/（元/t）
不大于10t部分
1.5
　　　　　　大于10t且不大于mt部分20≤m≤50
2
大于mt部分
3
（1）若某用户六月份用水量为18t，求其应缴纳的水费；
（2）记该用户六月份用水量为xt，缴纳水费y元，试列出y关于x的函数关系式；
（3）若该用户六月份用水量为40t，缴纳水费y元的取值范围为70≤y≤90，试求m的取值范围．
解：（1）六月份应缴纳的水费为：1.5×10+2×8＝31（元）；

（2）当0≤x≤10时，y＝1.5x，
当10＜x≤m时，y＝10×1.5+2（x﹣10）＝2x﹣5，
当x＞m时，y＝15+2（m﹣10）+3（x﹣m）＝3x﹣m﹣5；

（3）①若所付费用在第2个阶段，40≤m且20≤m≤50，即40≤m≤50时，y＝2×40﹣5＝75元，满足条件，
②若所付费用到了第3个阶段，y＝3×40﹣m﹣5＝115﹣m，则70≤115﹣m≤90，
解得：25≤m≤45，
结合①可得25≤m≤45，
综上得，25≤m≤50．

3．一辆车和一辆货车分别从甲，乙两地相向而行，图中的l1，l2分别表示轿车和货车离甲地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）间的关系．
（1）观察图象，甲，乙两地相距多少千米？轿车在途中停留了多长时间？
（2）通过计算，求货车速度和图象AB对应的轿车速度；
（3）求货车出发多长时间与轿车相遇？

解：（1）由图象可知，甲，乙两地相距270千米？轿车在途中停留了0.5小时．

（2）货车速度＝＝60千米/小时，图象AB对应的轿车速度＝＝70千米/小时．

（3）设l2的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴y＝﹣60x+270，
AB的解析式为y＝k′x+b′，则有，
解得，
∴y＝70x﹣45，
由，解得，
∴货车出发小时与轿车相遇．



4．对于正数x，用符号[x]表示x的整数部分，例如：[0.1]＝0，[2.5]＝2，[3]＝3．点A（a，b）在第一象限内，以A为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直．其中垂直于y轴的边长为a，垂直于x轴的边长为[b]+1，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点A的矩形域．例如：点的矩形域是一个以为对角线交点，长为3，宽为2的矩形所覆盖的区域，如图1所示，它的面积是6．

根据上面的定义，回答下列问题：
（1）在图2所示的坐标系中画出点的矩形域，该矩形域的面积是　 　；
（2）点的矩形域重叠部分面积为1，求a的值；
（3）已知点B（m，n）（m＞0）在直线y＝x+1上，且点B的矩形域的面积S满足4＜S＜5，那么m的取值范围是　 　．（直接写出结果）
解：（1）点（2，）的矩形域如图所示：

该该矩形域的面积是8．

（2）如图所示，

因为点P（2，），Q（a，）（a＞0）的矩形域重叠部分面积为1，且平行于y轴的边长均为4，
所以点P（2，），Q（a，）（a＞0）的矩形域重叠部分也是一个矩形，且平行于y轴的边长为4，平行于x轴的边长为．
①当0＜a＜2时，a+＝1+，解得a＝；

②当a＞2时，a﹣＝3﹣，解得a＝．
所以a的值为或．

（3）当m＝1时，S＝3，
当m＝2时，S＝8，
∵4＜S＜5，
∴1＜m＜2，
∴平行于y轴的矩形的边长为3，
∴平行于x轴的矩形的边长m的范围为＜m＜．
故答案为＜m＜．




5．若直线y＝x+2分别交x轴、y轴于A、C两点，点P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，且S△ABC＝6
（1）求点B和点P的坐标；
（2）过点B作直线BQ∥AP，交y轴于点Q，求点Q的坐标和四边形BPCQ的面积．

解：（1）当x＝0时，y＝x+2＝2，
∴点C的坐标为（0，2）；
当y＝x+2＝0时，x＝﹣4，
∴点A的坐标为（﹣4，0）．
设点B的坐标为（m，0），
则S△ABC＝AB•OC＝×[m﹣（﹣4）]×2＝6，
解得：m＝2，
点B的坐标为（2，0）．
当x＝2时，y＝x+2＝3，
∴点P的坐标为（2，3）．
（2）∵PB⊥x轴，
∴PB∥CQ．
∵BQ∥AP，
∴四边形BPCQ为平行四边形．
∵点C（0，2），点B（2，0），点P（2，3），
∴点Q的坐标为（0，﹣1）．
∴S平行四边形BPCQ＝OB•BP＝2×3＝6．




6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x与一次函数y＝﹣x+7的图象交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）设x轴上有一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交y＝x和y＝﹣x+7的图象于点B、C，连接OC，若BC＝OA，求△OBC的面积．

解：（1）解得，，
∴A（4，3）；
（2）∵过点P作x轴的垂线分别交y＝x和y＝﹣x+7的图象于点B、C，
∴设B（a，a），C（a，﹣a+7），∴BC＝a﹣（﹣a+7）＝a﹣7；
∵OA＝＝5，
∴BC＝OA，
∴a﹣7＝×5，
∴a＝，
∴S△OBC＝×＝．

7．如图①，在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，O为坐标原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N．
（1）当A点第一次落在直线y＝x上时，求点A所经过的路线长；
（2）在旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；
（3）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．

解：（1）∵A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，
∴OA旋转了45°，
∴点A经过的路线长为＝．

（2）∵四边形OABC是正方形，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
当MN∥AC时，∠BMN＝∠BAC＝45°，∠BNM＝∠BCA＝45°，
∴∠BMN＝∠BNM，
∴BM＝BN，
∵BA＝BC，
∴AM＝CN，
∵OA＝OC，∠OAM＝∠OCN，
∴△OAM≌△OCN，
∴∠AOM＝∠CON，
∵∠MON＝45°，
∴∠AOM＝（90°﹣45°）＝22.5°，
∴旋转过程中，当MN∥AC时，正方形OABC旋转的角度为45°﹣22.5°＝22.5°．

（3）P值无变化．延长BA交y轴于E点，则∠AOE＝45°﹣∠AOM，∠CON＝90°﹣45°﹣∠AOM＝45°﹣∠AOM．
∴∠AOE＝∠CON，
∵OA＝OC，∠OAE＝180°﹣90°＝90°＝∠OCN，
∴△OAE≌△OCN，
∴OE＝ON，AE＝CN，
∵∠MOE＝∠MON＝45°，OM＝OM，
∴△OME≌△OMN，
∴MN＝ME＝AM+AE，
∴MN＝AM+CN，
∴P＝MN+BN+BM＝AM+CN+BM＝AB+BC＝4，
∴正方形OABC旋转过程中，P值无变化．


8．如图1，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA边和AB边所在直线的解析式分别为：y＝x和y＝﹣x+．
（1）求A点坐标和正方形OABC的边长；
（2）如图2，现有一动点P从C点出发，沿线段CB向终点B运动．
①当P点位于y轴上时，求△OCP的面积；
②在P点的运动过程中，将△AOP沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，直接写出满足条件的P点坐标．
（3）若正方形以每秒个单位的速度沿射线AO下滑，直至顶点C落在x轴上时停止下滑．设正方形在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．
解：（1）联立 ，解得 ，
∴A（4，3），
∴OA＝＝5，
∴正方形OABC的边长为5；

（2）①如图2中，作AM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N．

∵CO＝OA，∠CON＝∠OAM，∠CNO＝∠AMO，
∴△CON≌△OAM，
∴ON＝AM＝3，CN＝OM＝4，
∴C（﹣3，4），
∵点O向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到C，
∴由A（4，3），可得B（1，7），
∴直线BC的解析式为y＝x+，
∴P（0，）．

②有三种情形：当P与C重合时，△POA沿PA翻折可得菱形，此时P（﹣3，4）；
当P与B重合时，△POA沿PO翻折可得菱形，此时P（1，7）；
当P是BC中点时，PO＝PA，△POA沿OA翻折可得菱形，此时P（﹣1，），
综上所述，当P（﹣3，4）或（1，7）或（﹣1，）时，将△AOP沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形．

∴当k＝2或k＝4时将△CPQ沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形；

（3）①当点A运动到点O时，t＝3，
当0＜t≤3时，设O′C′交x轴于点D，
则tan∠DOO′＝，即 ＝＝，
∴DO′＝t，
∴S＝DO′•OO′＝•t•t＝t2，
②当点C运动到x轴上时，t＝（5×）÷＝4，
当3＜t≤4时，设A′B′交x轴于点E，
∵A′O＝t﹣5，
∴A′E＝A′O＝，
∴S＝（A′E+O′D）•A′O′＝（ +t）•5＝．

9．如图，直线l1与坐标轴分别交于点A、B，经过原点的直线l2与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D，已知点C（3，），且OA＝8．在直线AB上取点P，过点P作y轴的平行线，与CD交于点Q，以PQ为边向右作正方形PQEF．设点P的横坐标为t．
（1）求直线l1的解析式；
（2）当点P在线段AC上时，试求正方形PQEF与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积的最大值．

解：（1）设直线l1的解析式为y＝kx+b，
∵直线l1与直线l2交于点C，
又∵OA＝8，
∴把C（3，），A（8，0）代入上式得：
，
解得：b＝4，k＝﹣，
∴直线l1的解析式为：y＝﹣x+4；

（2）点P在线段AC上时，根据题意有：P（t，﹣t+4），Q（t，t），
∴PQ＝t﹣（﹣t+4）＝t﹣4，
当EF在AD上时，t+t﹣4＝8，有t＝，
当3＜t≤时，S＝（t﹣4）2，
当t＝时，S最大＝，
当 ≤t≤8时，S＝（t﹣4）（8﹣t）＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，S最大＝；
所以，S的最大值为 ；





10．对于平面直角坐标系xOy中的点和⊙O，给出如下定义：过点A的直线l交⊙O于B，C两点，且A、B、C三点不重合，若在A、B、C三点中，存在位于中间的点恰为以另外两点为端点线段的中点时，则称点A为⊙O的价值点．
（1）如图1，当⊙O的半径为1时．
①分别判断在点D（，），E（﹣1，），F（2，3）中，是⊙O的价值点有　 　；
②若点P是⊙O的价值点，点P的坐标为（x，0），且x＞0，则x的最大值为　 　．
（2）如图2，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于M、N两点，⊙O半径为1，直线MN上是否存在⊙O的价值点？若存在，求出这些点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）如图3，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于G、H两点，⊙C的半径为1，且⊙C在x轴上滑动，若线段GH上存在⊙C的价值点P，求出圆心C的横坐标的取值范围．

解：（1）①如图1中，观察图象可知，D、E是⊙O的价值点．

②如图2中，当P点坐标为（3，0）时，x的值最大．x的最大值为3．

故答案为D，E；3．
（2）当点A在⊙O内部时，点A必为价值点，
当点A在⊙O外部时，∵⊙O的半径为1，
∴BC的最大值为2，人2点A为价值点，则AB＝CB＝2，
∴OA＝3，
故以O为圆心，半径为3的圆内的点（不包括⊙O上的点）均为价值点，
对于函数y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3，
∴M（3，0），
令x＝0，则y＝3，∴N（0，3），
∴tan∠ONM＝＝＝，
∴∠ONM＝60°，
∴OP＝ON•sin∠ONM＝3×＝＞1，
∴直线MN上的点均在圆外，
如图3中，以O为圆心，ON为半径画圆，交直线MN于点G，则OG＝ON＝3，
∴⊙O的价值点必在线段NG上，
∵∠ONM＝60°，OG＝ON＝3，
∴△ONG是等边三角形，
∴∠NOG＝60°，∴∠MOG＝30°，
过点G作GH⊥OM于点H
∵OG＝3，
∴OH＝OG•cos30°＝，
∴价值点横坐标的取值范围为0≤x≤．

（3）对于函数y＝﹣x+2，
令y＝0，则x＝6，
∴G（6，0），
令x＝0，则y＝2，
∴H（0，2），
∴tan∠HGO＝＝＝，
∴∠HGO＝30°，
过点O作OK⊥HG于K，则OK＝OG＝3，
∴当⊙C的圆心在点O时，HG上恰好存在⊙C的价值点K，
∵⊙C的价值点是在以点C为圆心，半径为3的圆内（不包括⊙C上的点），
∴当点C的坐标为（9，0）时，⊙C的价值点为点C，
∴圆心C的横坐标的取值范围为0≤x≤9．