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高考数学(理数)二轮专题复习：01《集合与逻辑用语》课时练习（3课时教师版）
展开这是一份高考数学(理数)二轮专题复习：01《集合与逻辑用语》课时练习（3课时教师版），共12页。试卷主要包含了若集合A具有以下性质等内容，欢迎下载使用。
1．若集合A＝{x|－2
A．{x|－2
A．{2} B．{1,2,4} C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,6}
3．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}, 则P∪(∁RQ)＝( )
A．[2,3] B．(－2,3 ] C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
4．设集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(5，\f(b,a)，a－b))，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，则A∪B＝( )
A．{2,3} B．{－1,2,5} C．{2,3,5} D．{－1,2,3,5}
5．已知集合A＝{(x，y)|y＝lg2x}，B＝{(x，y)|y＝x2－2x}，则A∩B的元素有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．对任意两个正整数m，n，定义某种运算⊕：m⊕n＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n，m与n奇偶性相同，,mn，m与n奇偶性不同，))
则集合P＝{(a，b)|a⊕b＝8，a，b∈N*}中元素的个数为( )
A．5个 B．7个 C．9个 D．11个
7．若集合A具有以下性质：
(1)0∈A,1∈A；
(2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，eq \f(1,x)∈A.
则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是( )
①集合B＝{－1,0,1}是“好集”；
②有理数集Q是“好集”；
③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)．设A＝{y|y＝3x，x∈R}，B＝{y|y＝－(x－1)2＋2，x∈R}，则A⊕B＝( )
A．[0,2) B．(0,2] C．(－∞，0]∪(2，＋∞) D．(－∞，0)∪[2，＋∞)
9．某校高三(1)班50名学生选择选修模块课程，他们在A，B，C 3个模块中进行选择，且至少需要选择1个模块，具体模块选择的情况如下表：
则3个模块都选择的学生人数是( )
A．7人 B．6人 C．5人 D．4人
10．已知集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若A∩B＝B，则a＝______________.
11．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．
(1)若A是空集，求实数a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并写出A中的元素；
(3)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
12．已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．
(1)若a＝3，求(∁RP)∩Q；
(2)若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围．
第2讲 命题、量词与简单的逻辑联结词
1．命题“∀n∈N*，f(n)∈N*，且f(n)≤n”的否定形式是( )
A．∀n∈N*，f(n)∈N*，且f(n)>n
B．∀n∈N*，f(n)∈N*，或f(n)>n
C．∃n0∈N*，f(n0)∈N*，且f(n0)>n0
D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*，或f(n0)>n0
2．已知命题p：∃x0∈R，xeq \\al(2,0)－x0＋1≥0；命题q：若a2
3．命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是( )
A．和不为偶数的两个整数都为偶数
B．和为偶数的两个整数都不为偶数
C．和不为偶数的两个整数不都为偶数
D．和为偶数的两个整数不都为偶数
4．已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．[1,4] C．[e,4] D．(－∞，1]
5．已知下列四个命题：
p1：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
p2：若f(x)＝2x－2－x，则∀x∈R，f(－x)＝－f(x)；
p3：若f(x)＝x＋eq \f(1,x＋1)，则∃x0∈(0，＋∞)，f(x0)＝1；
p4：在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B.
其中真命题的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．0
7．已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a＞b，则a2>b2，下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q
8．已知函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是( )
A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2
9．若“∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
10．已知下面四个命题：
①“若x2－x＝0，则x＝0或x＝1”的逆否命题为“若x≠0，且x≠1，则x2－x≠0”；
②“x＜1”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件；
③命题p：∃x0∈R，使得xeq \\al(2,0)＋x0＋1＜0，则￢p：∀x∈R，都有x2＋x＋1≥0；
④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．
其中为真命题的是________．(填序号)
11．设函数f(x)＝x2－2x＋m.
(1)若∀x∈[0,3]，f(x)≥0恒成立，求m的取值范围；
(2)若∃x0∈[0,3]，f(x0)≥0成立，求m的取值范围．
12．设命题p：函数y＝kx＋1在R上是增函数，命题q：∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋(2k－3)x0＋1＝0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．
第3讲 充分条件与必要条件
1．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设p：实数x，y满足x>1，且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．“sin α＝cs α”是“cs 2α＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．下列叙述中正确的是( )
A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，有xeq \\al(2,0)≥0”
D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
9．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β” 是“α∥β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．“x>1”是“lg SKIPIF 1 < 0 (x＋2)<0”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
11．已知(x＋1)(2－x)≥0的解为条件p，关于x的不等式x2＋mx－2m2－3m－1<0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m>－\f(2,3)))的解为条件q.
(1)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
(2)若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
12．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A，B两点．
(1)求证：命题“如果直线l过点T(3,0)，那么eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝3”是真命题；
(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
习题集部分
第一章 集合与逻辑用语
第1讲 集合的含义与基本关系
1．A 解析：利用数轴可知A∩B＝{x|－2
3．B 解析：∁RQ＝{x∈R|x2<4}＝{x∈R|－2
5．B 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝lg2x与y＝x2－2x的图象，如图D87，由图可知y＝lg2x与y＝x2－2x的图象有2个交点，则A∩B的元素有2个．
图D87
6．C 解析：当a，b奇偶性相同时，a⊕b＝a＋b＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4；当a，b奇偶性不同时，a⊕b＝ab＝1×8.由于(a，b)有序，故共有元素4×2＋1＝9(个)．
7．C 解析：(1)集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B,1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾．(2)有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，eq \f(1,x)∈Q，所以有理数集Q是“好集”．(3)因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A.
8．C 解析：由题意知，集合A＝{y|y＞0}，B＝{y|y≤2}．
所以A－B＝{y|y＞2}，B－A＝{y|y≤0}．
所以A⊕B＝(2，＋∞)∪(－∞，0]．故选C.
9．B 解析：方法一，设三个模块都选择的学生人数为x，
由韦恩图D88，得5＋x＋2＋x＋1＋x＋11－x＋12－x＋13－x＋x＝50.得x＝6.
图D88
方法二，由题意，得28＋26＋26－11－12－13＋x＝50.得x＝6.
10．－eq \f(1,2)或1或0 解析：依题意，可得A∩B＝B⇔B⊆A.集合A＝{x|x2＋x－2＝0}＝{－2,1}，当x＝－2时，－2a＝1，解得a＝－eq \f(1,2)；当x＝1时，a＝1；又B是空集时也符合题意，这时a＝0.
11．解：集合A是方程ax2－3x＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．
(1)若A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解，当a＝0时，x＝eq \f(2,3)，不合题意；则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≠0，,Δ＝－32－8a<0.))
∴a>eq \f(9,8)，即实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,8)，＋∞)).
(2)当a＝0时，方程只有一个解eq \f(2,3)，此时A中只有一个元素eq \f(2,3)；
当a≠0时，应有Δ＝0，∴a＝eq \f(9,8).
此时方程有两个相等的实数根．
当a＝eq \f(9,8)时，解得x1＝x2＝eq \f(4,3)，A中只有一个元素eq \f(4,3).
∴当a＝0或a＝eq \f(9,8)时，A中只有一个元素，分别是eq \f(2,3)或eq \f(4,3).
(3)A中至多有一个元素，包括A是空集和A中只有一个元素两种情况，根据(1)(2)的结果，得a＝0或a≥eq \f(9,8)，即实数a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a|a＝0，或a≥\f(9,8))).
12．解：(1)因为a＝3，所以P＝{x|4≤x≤7}，
∁RP＝{x|x<4，或x>7}．
又Q＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，
所以(∁RP)∩Q＝{x|x<4，或x>7}∩{x|－2≤x≤5}＝{x|－2≤x<4}．
(2)当P≠∅时，由P∪Q＝Q，得P⊆Q.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1≥－2，,2a＋1≤5，,2a＋1≥a＋1.))解得0≤a≤2.
当P＝∅，即2a＋1
第2讲 命题、量词与简单的逻辑联结词
1．D 解析：根据全称命题的否定是特称命题．故选D.
2．B 解析：显然命题p为真命题， 命题q为假命题， 即p，￢q均是真命题， p∧￢q为真命题．故选B.
3．D 解析：命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是：和为偶数的两个整数不都为偶数．故选D.
4．C 解析：∀x∈[0,1]，a≥ex，即a≥(ex)max＝e1＝e；∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋4x0＋a＝0，即Δ＝16－4a≥0，a≤4.命题“p∧q”是真命题，即p真q真．故选C.
5．B 解析：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α，或l∥α，或l⊂α，或l与α相交，所以p1是假命题；f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，所以p2是真命题；由x＋eq \f(1,x＋1)＝1，得x＝0.所以p3是假命题；Α>Β⇒a>b⇒2Rsin Α>2Rsin Β⇒sin Α>sin Β，所以p4是真命题．故选B.
6．B 解析：命题“ax2－2ax＋3＞0恒成立”是假命题，即∃x0∈R，使axeq \\al(2,0)－2ax0＋3≤0，当a＝0时，不符合题意；当a＜0时，符合题意；当a＞0时，Δ＝4a2－12a≥0⇒a≥3.综上所述，实数a的取值范围是a＜0，或a≥3.故选B.
7．B 解析：当x>0时，x＋1>1，ln(x＋1)>0，即p为真命题；当－1>－2时，而(－1)2<(－2)2，即q为假命题，即p，￢q均是真命题， p∧￢q为真命题．故选B.
8．A 解析：由题意知，f(x)mineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1))))≥g(x)min(x∈[2,3])，因为f(x)min＝5，g(x)min＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1.故选A.
9．1 解析：若“∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，tan x≤m”是真命题，则实数m大于或等于函数y＝tan x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上的最大值．因为函数y＝tan x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上为增函数，所以函数y＝tan x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上的最大值为tan eq \f(π,4)＝1.所以m≥1.则实数m的最小值为1.
10．①②③ 解析：①正确．②中，x2－3x＋2＞0⇔x＞2或x＜1，所以“x＜1”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件，②正确．由于特称命题的否定为全称命题，所以③正确．若p且q为假命题，则p，q至少有一个是假命题，所以④的推断不正确．
11．解：(1)若对∀x∈[0,3]，f(x)≥0恒成立，即f(x)min≥0.
f(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，
f(x)min＝f(1)＝m－1≥0，即m≥1.
(2)若∃x0∈[0,3]，f(x0)≥0成立，即f(x)max≥0.
f(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，
f(x)max＝f(3)＝m＋3≥0，即m≥－3.
12．解：∵函数y＝kx＋1在R上是增函数，∴k>0.
由∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋(2k－3)x0＋1＝0，得关于x的方程x2＋(2k－3)x＋1＝0有解，
∴Δ＝(2k－3)2－4≥0.解得k≤eq \f(1,2)或k≥eq \f(5,2).
∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，
∴命题p，q 一真一假．
①若p真q假，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k>0，,\f(1,2)
综上所述，k的取值范围为(－∞，0]∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,2))).
第3讲 充分条件与必要条件
1．A 解析：由|x－2|＜1⇒－1＜x－2＜1⇒1＜x＜3，可知“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的充分不必要条件．故选A.
2．A 解析：由x>1，且y>1，得x＋y>2，而当x＋y>2时，不能得出x>1且y>1.故p是q的充分不必要条件．故选A.
3．C 解析：由a2n－1＋a2n<0⇒a1(q2n－2＋q2n－1)<0⇒q2(n－1)(q＋1)<0⇒q∈(－∞，－1)，故是必要不充分条件．故选C.
4．B 解析：若l⊥m，因为m垂直于平面α，则l∥α，或l⊂α；若l∥α，又m垂直于平面α，则l⊥m，所以“ l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件．故选B.
5．A 解析：直线a与直线b相交，则α，β一定相交，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能平行或异面．故选A.
6．A 解析：cs 2α＝0⇒cs2α－sin2α＝0⇒(cs α－sin α)·(cs α＋sin α)＝0，所以sin α＝cs α或sin α＝－cs α.故选A.
7．A 解析：若∃λ<0，使m＝λn，即两向量反向，夹角是180°，那么m·n＝|m||n|cs 180°＝－|m||n|<0，若m·n<0，那么两向量的夹角为(90°，180°]，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得m＝λn，所以是充分不必要条件．故选A.
8．D 解析：当a<0时，由“b2－4ac≤0”推不出“ax2＋bx＋c≥0”，A错误；当b＝0时，由“a>c”推不出“ab2>cb2”，B错误；命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，有xeq \\al(2,0)<0”，C错误；因为与同一条直线垂直的两个平面平行，所以D正确．
9．B 解析：由m⊂α，m∥β，得不到α∥β，因为α，β可能是相交的，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；∵α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点．∴m∥α，即由α∥β可推得m∥β.∴m∥β是α∥β的必要不充分条件．
10．B 解析：lg SKIPIF 1 < 0 (x＋2)<0⇔x＋2>1⇔x>－1.故选B.
11．解：(1)设条件p的解集为集合A，
则A＝{x|－1≤x≤2}．
设条件q的解集为集合B，
则B＝{x|－2m－1
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1>2，,－2m－1<－1，,m>－\f(2,3).))解得m>1.
(2)若￢p是￢q的充分不必要条件，则BA.
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1≤2，,－2m－1≥－1，,m>－\f(2,3).))解得－eq \f(2,3)
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，
此时，直线l与抛物线相交于点A(3，eq \r(6))，B(3，－eq \r(6))．
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝3.
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－3)，其中k≠0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2x，,y＝kx－3))得ky2－2y－6k＝0.则y1y2＝－6.
又x1＝eq \f(1,2)yeq \\al(2,1)，x2＝eq \f(1,2)yeq \\al(2,2)，
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(1,4)(y1y2)2＋y1y2＝3.
综上所述，命题“如果直线l过点T(3,0)，那么eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝3”是真命题．
(2)解：逆命题：如果eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝3，那么直线l过点T(3,0)．
该命题是假命题，理由如下：
例如：取抛物线上的点A(2,2)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1))，
此时eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝3，
直线AB的方程为y＝eq \f(2,3)(x＋1)，而T(3,0)不在直线AB上．则逆命题是假命题．
模块
选择人数/人
模块
选择人数/人
A
28
A与B
11
B
26
A与C
12
C
26
B与C
13
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