高考数学(理数)二轮专题复习：07《解析几何》课时练习（9课时教师版）

这是一份高考数学(理数)二轮专题复习：07《解析几何》课时练习（9课时教师版），共44页。试卷主要包含了已知点A，B到直线l等内容，欢迎下载使用。

第七章　解析几何
第1讲　直线的方程

　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．过点(4，－2)，斜率为－的直线的方程是(　　)
A.x＋y＋2－4 ＝0
B.x＋3y＋6－4 ＝0
C．x＋y－2 －4＝0
D．x＋y＋2 －4＝0
2．已知经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝(　　)
A．－1 B．－3 C．0 D．2
3．已知点A(1，－2)，B(5,6)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为(　　)
A．－2或1 B．2或1 C．－2或－1 D．2或－1
4．直线l与直线y＝1，直线x＝7分别交于P，Q两点，PQ中点为M(1，－1)，则直线l的斜率是(　　)
A. B. C．－ D．－
5．若A(1，－2)，B(5,6)，直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为__________________________．
6．若直线l先沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，则直线l的斜率是__________．

7．已知A(2,5)，B(4,1)，若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为(　　)
A．－1 B．3 C．7 D．8
8．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的方程．



9．直线l过点P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程；
(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．










10．过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截得的线段AB以P为中点，求直线l的方程．








11．求经过点A，且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小的直线的方程．









第2讲　两直线的位置关系

　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．若直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为(　　)
A．－2 B．－3 C．2或－3 D．－2或－3
2．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为(　　)
A．－12 B．－2 C．0 D．10
3．先将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为(　　)
A．y＝－x＋ B．y＝－x＋1 C．y＝3x－3 D．y＝x＋1
4．已知两条直线l1：mx＋y－2＝0和l2：(m＋2)x－3y＋4＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为(　　)
A．1或－3 B．－1或3 C．2或 D．－2或
5．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＋k＋＝0能围成三角形，则k不等于(　　)
A. B．－2 C.和－1 D.，－1和－
6．已知a≠0，直线ax＋(b＋2)y＋4＝0与直线ax＋(b－2)y－3＝0互相垂直，则ab的最大值为(　　)
A．0 B. C．4 D．2
7．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝(　　)
A．4 B．6 C. D.
8．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
9．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0，l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2 ，则m的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.
其中正确答案的序号是__________．(写出所有正确答案的序号)




10．已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为__________________．
11．已知正方形的中心为G(－1,0)，一边所在直线的方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．





12．已知点A(－3,5)，B(2,15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上求一点P，使得＋最小．





















第3讲　圆的方程

　　　　　　　　　　　　　　　　
1．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)
A．－ B．－ C. D．2
2．若实数x，y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则的最大值是(　　)
A.＋3 B．6 ＋14 C．－＋3 D．－6 ＋14
3．若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为(　　)
A．1 B．5 C．4 D．3＋2
4．若方程x2＋y2－2x＋2my＋2m2－6m＋9＝0表示圆，则m的取值范围是____________；当半径最大时，圆的方程为______________________．
5．一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________________．
6．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
7．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______________．
8．已知圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2 ，则圆C的标准方程为____________________．

9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2 ，在y轴上截得线段长为2 .
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．




10．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为点M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求直线l的方程及△POM的面积．












11．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)圆C是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．











第4讲　直线与圆的位置关系


1．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b＝(　　)
A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12
2．若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条切线，则a＋b的最大值为(　　)
A．－3 B．－3 C．3 D．3
3．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y＋3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
4．(2015年重庆)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(　　)
A．2 B．4 C．6 D．2
5．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)
A．－或－ B．－ 或－ C．－或－ D．－或－
6．由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)
A．1 B．2 C. D．3
7．若直线x＋y＝1与曲线y＝(a>0)恰有一个公共点，则a的取值范围是(　　)
A．a＝ B．a>1或a＝ C.≤a<1 D. 8．已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝____________.

9．已知圆C的圆心C在第一象限，且在直线3x－y＝0上，该圆与x轴相切，且被直线x－y＝0截得的弦长为2 ，直线l：kx－y－2k＋5＝0与圆C相交．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求出直线l所过的定点；当直线l被圆所截得的弦长最短时，求直线l的方程及最短的弦长．



10．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．










11．已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．










第5讲　椭　圆

1．从椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
2．椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为(　　)
A．20 B．22 C．24 D．28
3．点P在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
4．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，线段OB的垂直平分线与椭圆在第一象限的交点为P，设直线PA，PB，PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，k3，k4，若k1·k2＝－，则k3·k4＝(　　)
A. B．－ C．－ D．－4
6．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2＝________.
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0) 的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．


8．如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(0，－1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.








9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4且过点(，－2)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆焦点的直线与椭圆C分别交于点E，F，求·的取值范围．











第6讲　双曲线
　
1．若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
2．若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．(，2) C．(1，) D．(1,2)
3．如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过焦点F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为(　　)

A. B. C．2 D.
4.已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)
A. B. C. D.
5．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C上的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
6．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
7．已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为(　　)
A．48 B．24 C．12 D．6
8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为______________．

9．曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．
(1)若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(2)设b＝，若l的斜率存在，且|AB|＝4，求直线l的斜率．









10．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)与圆O：x2＋y2＝3相切，过双曲线C的左焦点且斜率为的直线与圆O相切．
(1)求双曲线C的方程；
(2)P是圆O上在第一象限内的点，过P且与圆O相切的直线l与C的右支交于A，B两点，△AOB的面积为3 ，求直线l的方程．









第7讲　抛物线

1．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)
A．－ B．－1 C．－ D．－
2．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4 x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4 ，则△POF的面积为(　　)
A．2 B．2 C．2 D．4
3．已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是(　　)
A．2 B. C. D.
4．已知M是y＝上一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是(　　)
A．2 B．4 C．8 D．10
5．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)
A. B．1 C. D．2
6．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)

A. B. C. D.
7．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(　　)
A. B．2 C．2 D．3
8．已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F且斜率为的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则S△MFN＝(　　)
A.　　 B. C. D.

9．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为4 ，抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点F是椭圆C1的顶点．
(1)求C1与C2的标准方程；
(2)若C2的切线交C1于P，Q两点，且满足·＝0，求直线PQ的方程．












10．已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．









第8讲　轨迹与方程

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．当动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点M的轨迹方程是(　　)
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D.2＋y2＝
2．已知椭圆的焦点为F1，F2，P是椭圆上一个动点，延长F1P到点Q，使|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为(　　)
A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线
3．若AB是过椭圆＋＝1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM＝(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
4．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1 的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)
A．x2＝4y B．x2＝8y C．x2＝4 y D．x2＝8 y
5．记点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是(　　)
A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线
6．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为____________．
7．长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足＝2，则动点C的轨迹方程为________________．
8．已知A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2 ，P是AB的中点，则动点P的轨迹C的方程为____________．





9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点．
(1)设椭圆C上的点到F1，F2两点距离之和等于2 ，写出椭圆C的方程；
(2)设过(1)中所得椭圆上的焦点F2且斜率为1的直线与其相交于A，B，求△ABF1的面积；
(3)在(1)的条件下，设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，试探究kPM·kPN的值是否与点P及直线l有关，并证明你的结论．









10．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．










第9讲　直线与圆锥曲线的位置关系

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．设点F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A. B．6 C．12 D．7
2．椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　)
A. B. C. D.
3．已知双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，过点P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
4．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
5．如图，抛物线y2＝4x的焦点为F，过点(0,3)的直线与抛物线交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若|AF|＋|BF|＝6，则点D的横坐标为____________．

6．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是______________．


7．椭圆x2＋4y2＝4的长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积是________．
8．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．

9．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．





10．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的长轴长等于圆C2：x2＋y2＝4的直径，且C1的离心率等于.直线l1和l2是过点M(1,0)且互相垂直的两条直线，l1交C1于A，B两点，l2交C2于C，D两点．
(1)求C1的标准方程；
(2)求四边形ACBD的面积的最大值．








第七章　解析几何
第1讲　直线的方程
1．B
2．B　解析：由＝＝y＋2，
得y＋2＝tan ＝－1.∴y＝－3.
3．C　解析：由＝，得a2＋3a＋2＝0.∴a＝－1，或a＝－2.
4．D　解析：设P(a,1)，Q(7，b)，
∵线段PQ的中点坐标为(1，－1)，
∴由中点坐标公式，可得
解得故P(－5,1)，Q(7，－3)．直线l的斜率为＝－.故选D.
5．x＋y－5＝0或2x－3y＝0　解析：方法一，设直线l在x轴，y轴上的截距均为a.
由题意，得M(3,2)．
若a＝0，即直线l过点(0,0)和(3,2)．
所以直线l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，设直线l的方程为＋＝1，
因为直线l过点M(3,2)，所以＋＝1.
所以a＝5.此时直线l的方程为＋＝1，即x＋y－5＝0.
综上所述，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
方法二，易知M(3,2)，由题意知所求直线l的斜率k存在且k≠0，
则直线l的方程为y－2＝k(x－3)．
令y＝0，得x＝3－；令x＝0，得y＝2－3k.
所以3－＝2－3k.解得k＝－1或k＝.
所以直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)．
即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
6．－
7．C　解析：线段AB的方程为y－1＝(x－4)，2≤x≤4，即2x＋y－9＝0,2≤x≤4.因为P(x，y)在线段AB上，所以2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9.又2≤x≤4，则－1≤4x－9≤7.故2x－y的最大值为7.
8．解：由题意知，直线l的斜率为.
故设直线l的方程为y＝x＋b.
直线l在x轴上的截距为－b，在y轴上的截距为b，
所以－b－b＝1，解得b＝－.
所以直线l的方程为y＝x－，即15x－10y－6＝0.

9．解：(1)如图D128设直线l的方程为

图D128
＋＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知，a＋b＋＝12.
又因为直线l过点P，
所以＋＝1，即5a2－32a＋48＝0.
解得
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
(2)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知，ab＝12，＋＝1，
消去b，得a2－6a＋8＝0.
解得
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
10．解：方法一，设直线l的方程为y＝k(x－3)，将此方程分别与直线l1，l2的方程联立，
得和
解得xA＝和xB＝.
∵P(3,0)是线段AB的中点，
∴＋＝6.解得k＝8.
故所求的直线l的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.
方法二，设直线l1与AB的交点A的坐标为(x1，y1)，
∵P(3,0)是线段AB的中点，∴直线l2与AB的交点B的坐标为(6－x1，－y1)．
∴
解这个方程组，得
∴点A的坐标为，由两点式得直线l的方程为＝，即8x－y－24＝0.
11．解：方法一，设所求直线方程为＋＝1(a<－2，b>2)．
∵＋＝1，∴a＝.
∴围成的三角形的面积S＝－ab＝－·＝
＝(b＋2)＋＝＋4
≥2 ＋4＝8.
当且仅当b－2＝，即b＝4时取等号，S最小．
此时a＝－4.故x－y＋4＝0即为所求．
方法二，设所求直线方程为y－2＝k(x＋2)，显然k>0，
由题意，得S＝·＝4＋2≥8.
当且仅当k＝1时取等号，故x－y＋4＝0为所求的直线方程．
第2讲　两直线的位置关系
1．C　解析：∵直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，∴＝.解得m＝2或－3.
2．A　解析：由2m－20＝0，得m＝10.由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得10＋4p－2＝0.∴p＝－2.又垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上，则解得n＝－12.
3．A
4．A　解析：∵两条直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，∴对角互补，两条直线垂直，即m(m＋2)－3＝0.解得m＝1或m＝－3.故选A.
5．D　解析：由得交点P(－1，－2)．若点P在直线x＋ky＋k＋＝0上，则k＝－，此时三条直线交于一点P；若k＝或k＝－1，则有两条直线平行．故k≠－，和－1.
6．D　解析：由直线垂直，可得a2＋(b＋2)(b－2)＝0，变形可得a2＋b2＝4.由基本不等式，可得4＝a2＋b2≥2ab.∴ab≤2.当且仅当a＝b＝时取等号．∴ab的最大值为2.
7．C　解析：由题可知坐标纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y＝2x－3.
它也是点(7,3)与点(m，n)连线的垂直平分线，于是解得故m＋n＝.
8．2　解析：∵＝≠，∴m＝8.
则直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0.
∴两平行线之间的距离d＝＝2.
9．①⑤　解析：两平行线间的距离为d＝＝，设直线m与l1的夹角为θ，则有sin θ＝＝.所以θ＝30°.而l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.故填①⑤.
10．2x＋3y＋1＝0　解析：因为点P(2,3)在已知直线上，
所以2a1＋3b1＋1＝0,2a2＋3b2＋1＝0.
所以2(a1－a2)＋3(b1－b2)＝0，即＝－.
所以所求直线方程为y－b1＝－(x－a1)．
所以2x＋3y－(2a1＋3b1)＝0，即2x＋3y＋1＝0.
11．解：正方形中心G(－1,0)到四边的距离均为
＝.
设与已知直线平行的一边所在直线的方程为
x＋3y＋c1＝0，
则＝，即|c1－1|＝6.
解得c1＝－5(舍去)或c1＝7.
故与已知边所在直线平行的直线的方程为x＋3y＋7＝0.
设正方形另一组对边所在直线的方程为3x－y＋c2＝0，
则＝，即|c2－3|＝6.
解得c2＝9或c2＝－3.
故正方形另两边所在直线方程为
3x－y＋9＝0和3x－y－3＝0.
综上所述，正方形其他三边所在直线方程分别为
x＋3y＋7＝0，3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.
12．解：由题意知，点A，B在直线l的同一侧．由平面几何性质可知，先作出点A关于直线l的对称点A′，再连接A′B，则直线A′B与l的交点P即为所求．事实上，设点P′是l上异于点P的点，则＋＝＋>＝＋.
设A′(x，y)，则
解得
∴A′(3，－3)．∴直线A′B的方程为18x＋y－51＝0.
由解得∴P.
第3讲　圆的方程
1．A　解析：由x2＋y2－2x－8y＋13＝0配方，得(x－1)2＋(y－4)2＝4，所以圆心坐标为(1,4)，半径r＝2.因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，所以＝1.解得a＝－.故选A.
2．A　解析：将x2＋y2＋4x－2y－4＝0转化为标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝32，的最大值是圆心到坐标原点的距离加半径，即＋3＝＋3.故选A.

3．D　解析：由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，∴2a＋2b－2＝0.整理，得a＋b＝1.
∴＋＝(a＋b)＝3＋＋
≥3＋2 ＝3＋2 .
当且仅当＝，即b＝2－，a＝－1时，等号成立．
∴＋的最小值为3＋2 .
4．2＜m＜4　(x－1)2＋(y＋3)2＝1　解析：∵原方程可化为(x－1)2＋(y＋m)2＝－m2＋6m－8，
∴r2＝－m2＋6m－8＝－(m－2)(m－4)＞0.
∴2＜m＜4，当m＝3时，r最大为1，
此时圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝1.
5.2＋y2＝　解析：设圆心为(a,0)，则半径为4－a.则(4－a)2＝a2＋22.解得a＝.故圆的方程为2＋y2＝.
6．(－2，－4)　5　解析：由题意，得a2＝a＋2，所以a＝－1或2.当a＝－1时方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5，a＝2时方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即2＋(y＋1)2＝－，不表示圆．
7．(x－1)2＋y2＝2　解析：直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝＝.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
8．(x－2)2＋(y－1)2＝4　解析：因为圆心在直线x－2y＝0上，所以设圆心为(2a，a)．因为圆C与y轴的正半轴相切，所以a>0，r＝2a.又因为圆C截x轴所得弦的长为2 ，所以a2＋()2＝(2a)2，所以a＝1.则圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
9．解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.
∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.
∴圆心P的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P的坐标为(x0，y0)，
则＝，即|x0－y0|＝1.
∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1.
①当y0＝x0＋1时，由y－x＝1，得(x0＋1)2－x＝1.
∴∴r2＝3.
∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3.
②当y0＝x0－1时，由y－x＝1，得(x0－1)2－x＝1.
∴∴r2＝3.
∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3.
综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3.
10．解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0,4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．
由题设知·＝0，
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)知，M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故点O在线段PM的垂直平分线上．
又点P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－.
故直线l的方程为y＝－x＋，即x＋3y－8＝0.
则点O到直线l的距离为d＝＝.
又点N到直线l的距离为＝，
则|PM|＝2 ＝.
所以S△POM＝××＝.
11．解：(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)，
令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0，且Δ＞0，解得b＜1，且b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，且x2＋Dx＋F＝0这与x2＋2x＋b＝0，是同一个方程，故D＝2，F＝b.
令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入，得出E＝－b－1.
所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)圆C必过定点(0,1)和(－2,1)．
证明如下：将(0,1)代入圆C 的方程，得
左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0.
所以圆C必过定点(0,1)．
同理可证圆C必过定点(－2,1)．
第4讲　直线与圆的位置关系
1．D　解析：∵直线3x＋4y＝b与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，∴＝1⇒b＝2或12.故选D.
2．D　解析：易知圆C1的圆心为C1(－a,0)，半径为r1＝2；圆C2的圆心为C2(0，b)，半径为r2＝1.∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切．∴|C1C2|＝r1＋r2，即a2＋b2＝9.∵2≤，∴a＋b≤3 (当且仅当a＝b＝时取“＝”)，∴a＋b的最大值为3 .
3．A　解析：方法一，设过点(3,1)的切线为y－1＝k(x－3)，变形可得kx－y＋1－3k＝0.由圆心(1,0)到切线的距离d＝＝1，得k＝或k＝0.联立切线与圆的方程可得切点A，B的坐标，可得直线AB的方程．
方法二，以点(3,1)与圆心(1,0)的连线为直径求得圆的方程为(x－2)2＋2＝，
由题意，得
两式相减，得2x＋y－3＝0.故选A.
4．C　解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2,1)，半径为r＝2，因此2＋a×1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，|AB|＝＝＝6.故选C.
5．D　解析：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为：y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.又因为反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，所以＝1.整理，得12k2＋25k＋12＝0.解得k1＝－，或k2＝－.故选D.
6．C　解析：如图D129，切线长|PM|＝，显然当|PC|为圆心C到直线y＝x＋1的距离，即＝2 ，所以|PM|最小值为.故选C.

图D129
7．B　解析：曲线y＝表示一个半圆，如图D130.当直线与半圆相切时，满足条件，即＝，解得a＝；

图D130
当直线的横截距小于圆的半径时，满足条件，即1<，a>1.
综上所述，a的取值范围是a＝或a>1.故选B.
8．4　解析：由x－y＋6＝0，得x＝y－6.代入圆的方程，并整理，得y2－3 y＋6＝0.
解得y1＝2 ，y2＝.所以x1＝0，x2＝－3.
所以|AB|＝＝2 .
又直线l的倾斜角为30°，由平面几何知识知在梯形ABDC中，|CD|＝＝4.
9．解：(1)设圆心C(a，b)，a＞0，b＞0，半径为r，
则b＝3a，r＝3a.
则圆心C(a,3a)到直线x－y＝0的距离d＝＝a，
则有(a)2＋()2＝(3a)2.即a2＝1.
∵a＞0，∴a＝1.
∴圆心C(1,3)，半径为3.
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9.
(2)∵直线l：kx－y－2k＋5＝0，即(x－2)k－(y－5)＝0.
∴直线l过定点M(2,5)．
∴|CM|＝，kCM＝2.当弦长最短时，直线l与直线CM垂直，即kl＝－.
∴直线l的方程为x＋2y－12＝0.
最短弦长为2＝4.
10．解：(1)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0变形为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m.
若此方程表示圆，则5－m>0，即m<5.
(2)由消去x，
得(4－2y)2＋y2－2(4－2y)－4y＋m＝0，
即5y2－16y＋m＋8＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
由OM⊥ON知·＝－1.
即x1x2＋y1y2＝0.又代入上式，
得(4－2y1)(4－2y2)＋y1y2＝0，
即16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.
将①②代入上式，得16－8×＋5×＝0.
解得m＝.
(3)将m＝代入5y2－16y＋m＋8＝0，
得25y2－80y＋48＝0.解得y1＝，y2＝.
∴x1＝4－2y1＝－，x2＝4－2y2＝.
∴M，N.
∴MN的中点C的坐标为，
|MN|＝＝.
∴所求圆的半径为.
∴所求圆的方程为2＋2＝.
11．解：(1)圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0化为(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3,0)．
(2)设线段AB的中点为M(x0，y0)，
由圆的性质可得C1Μ垂直于直线l.
设直线l的方程为y＝mx(易知直线l的斜率存在)，
所以kC1Μ·m＝－1，y0＝mx0.
所以·＝－1.
所以x－3x0＋y＝0，即2＋y＝.
因为动直线l与圆C1相交，所以<2.
所以m2<.
所以y＝m2x 解得x0>或x0<0.
又因为0 所以M(x0，y0)满足2＋y＝.
即Μ的轨迹C的方程为
2＋y2＝.
(3)由题意知直线L表示过定点T(4,0)，斜率为k的直线．结合图形(如图D131)，2＋y2＝表示的是一段关于x轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧．根据对称性，只需讨论在x轴下方的圆弧．
设P，则kPT＝＝，而当直线L与轨迹C相切时，有＝，
解得k＝±.在这里暂取k＝.
因为<，
所以kΡΤ 结合图形(如图D132)，可得在x轴下方的圆弧，当0 当k＝0时，显然也只有一个交点．
综上所述，当－≤k≤或k＝±时，
直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点．

图D131　 图D132

第5讲　椭　圆
1．C　解析：左焦点为F1(－c,0)，PF1⊥x轴．
当x＝－c时，＋＝1⇒y＝b2＝⇒yP＝(负值不合题意，已舍去)，点P.
由斜率公式，得kAB＝－，kOP＝－.
∵AB∥OP，∴kAB＝kOP⇒－＝－⇒b＝c.
∵a2＝b2＋c2＝2c2，∴＝⇒e＝＝.
2．C　解析：方法一，
①2－②，得|PF1|·|PF2|＝48.
则＝×48＝24.
方法二，利用公式＝b2tan ，得
＝b2tan ＝24×tan 45°＝24.故选C.
3．A　解析：设|PF1|＝m＜|PF2|，则由椭圆的定义可得|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－m，而|F1F2|＝2c.因为△F1PF2的三条边长成等差数列，所以2|PF2|＝|PF1|＋|F1F2|，即2(2a－m)＝m＋2c.
解得m＝(4a－2c)．即|PF1|＝(4a－2c)．
所以|PF2|＝2a－(4a－2c)＝(2a＋2c)．
又∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即2＋2＝(2c)2.
整理，得5a2－2ac－7c2＝0，
解得a＝c或a＝－c(舍去)．故e＝＝.
4．A　解析：方法一，设点M(－c，y0)，OE的中点为N，
则直线AM的斜率k＝.
从而直线AM的方程为y＝(x＋a)，
令x＝0，得点E的纵坐标yE＝.
同理，OE的中点N的纵坐标yN＝.
∵2yN＝yE，∴＝.∴a＝3c.
∴e＝＝.
方法二，如图D133，设OE的中点为N，由题意知
|AF|＝a－c，|BF|＝a＋c，|OF|＝c，|OA|＝|OB|＝a.

图D133
∵PF∥y轴，
∴＝＝，＝＝.
又＝，即＝.
∴a＝3c.故e＝＝.
5．C　解析：设P(m，n)，A(－a,0)，B(a,0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，由于线段OB的垂直平分线与椭圆在第一象限的交点为P，因此m＝.若k1·k2＝－，则·＝－.解得n＝a，即P.代入椭圆方程，可得＋·＝1，即a＝2b，则c＝＝b，则k3·k4＝·＝＝－.
6．2　120°　解析：∵a2＝9，b2＝2，∴c＝＝＝.∴|F1F2|＝2 .又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝2.又由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝＝－.∴∠F1PF2＝120°.
7.　解析：由题意，得B，C，·＝0，因此·＝0，即c2－2＋2＝0⇒3c2＝2a2⇒e＝.
8．(1)解：由题设知，＝，b＝1.
结合a2＝b2＋c2，解得a＝.
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，
得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.
由已知得Δ＞0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
从而直线AP，AQ的斜率之和为
kAP＋kAQ＝＋
＝＋
＝2k＋(2－k)
＝2k＋(2－k)
＝2k－2(k－1)＝2.
9．解：(1)因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距是4，
所以焦点坐标是(0，－2)，(0,2)．
则2a＝＋＝4 .
解得a＝2 .又由b2＝a2－c2，得b＝2.
所以椭圆C的方程是＋＝1.
(2)若直线l垂直于x轴，
则点E(0,2 )，F(0，－2 )．
则·＝－8.
若直线l不垂直于x轴，不妨设其方程为y＝kx＋2，点E(x1，y1)，F(x2，y2)．
将直线l的方程代入椭圆C的方程得到：
(2＋k2)x2＋4kx－4＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝－8.
因为0<≤10，所以－8<·≤2.
所以·的取值范围是(－8,2]．
第6讲　双曲线
1．D　解析：因为双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b＝4a.∴9(c2－a2)＝16a2.∴e＝＝.故选D.
2．C　解析：双曲线－y2＝1的离心率e＝＝<.故选C.

3．A　解析：设|AB|＝3x，|BF2|＝4x，|AF2|＝5x，
所以|BF1|＝2a＋4x，|AF1|＝5x－2a.所以|AB|＝4a－x＝3x.解得a＝x.所以|BF1|＝6a，|BF2|＝4a.由题意有36a2＋16a2＝4c2，＝13，e＝.
4．D　解析：由c2＝a2＋b2＝4，得c＝2，所以F(2,0)．将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3.所以|PF|＝3.又点A的坐标是(1,3)，故△APF的面积为×3×(2－1)＝.故选D.
5．A　解析：由题设知，F1(－，0)，F2(，0)，－y＝1，所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3＝3y－1<0.解得－ 6．D　解析：根据对称性，不妨设A在第一象限，A(x，y)，
∴⇒
∴4××·＝2b.解得b2＝12.故双曲线的方程为－＝1.故选D.
7．B　解析：由双曲线的定义，可得
|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
解得|PF2|＝6.故|PF1|＝8.又|F1F2|＝10，
由勾股定理可知△F1PF2为直角三角形，因此＝|PF1|·|PF2|＝24.
8．y＝±x　解析：∵|AF|＋|BF|＝yA＋＋yB＋＝yA＋yB＋p＝4×，∴yA＋yB＝p.
由⇒a2y2－2pb2y＋a2b2＝0⇒yA＋yB＝＝p，得a＝b.
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
9．解：(1)设A(xA，yA)．由题意，得F2(c,0)，c＝，y＝b2(c2－1)＝b4.
因为△F1AB是等边三角形，所以2c＝|yA|.
即4(1＋b2)＝3b4.解得b2＝2.
故双曲线的渐近线方程为y＝±x.
(2)由已知得F2(2,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝k(x－2)．
由得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.
因为l与双曲线交于两点，
所以k2－3≠0，且Δ＝36(1＋k2)>0.
由x1＋x2＝，x1x2＝，
得(x1－x2)2＝，
故|AB|＝
＝|x1－x2|＝＝4.
解得k2＝，故直线l的斜率为±.
10．解：(1)∵双曲线C与圆O相切，∴a＝.
过C的左焦点且斜率为的方程为y＝(x＋c)，
由过C的左焦点且斜率为的直线与圆O相切，得＝，解得c＝2.又b2＝c2－a2，则b＝1.
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设直线l：y＝kx＋m(k＜0，m＞0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
圆心O到直线l的距离d＝，
由d＝，得m2＝3k2＋3.
由得(3k2－1)x2＋6kmx＋3m2＋3＝0.(*)
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
|AB|＝·|x2－x1|＝·＝·＝.
又S△AOB＝|OP|·|AB|＝|AB|＝3 ，
∴|AB|＝2 .
由＝2 ，得k＝－1，m＝.
此时(*)式Δ＞0，x1＋x2＞0，x1·x2＞0，
∴直线l的方程为y＝－x＋.
第7讲　抛物线
1．C　解析：由点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，得焦点F(2,0)，∴kAF＝＝－.故选C.
2．C　解析：假设P(x0，y0)在第一象限，则|PF|＝x0＋＝4 .∴x0＝3 .∴y＝4 x0＝4 ×3 ＝24.∴|y0|＝2 .∵F(，0)，∴S△POF＝|OF|·|y0|＝××2 ＝2 .
3．C　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4.又p＝1，所以x1＋x2＝3.所以点C的横坐标为＝.故选C.
4．B　解析：如图D134，抛物线的准线l：y＝－1，由抛物线定义可知，当M为过C且与l垂直的直线与抛物线的交点时，|MC|＋|MF|最小为5，∴|MA|＋|MF|的最小值为5－1＝4.故选B.

图D134
5．D　解析：因为F为抛物线y2＝4x的焦点，所以F(1,0)．
又因为曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，所以P(1,2)．所以k＝2.故选D.
6．A　解析：＝＝＝.
7．C　解析：由抛物线定义知MN＝MF，显然三角形MNF为正三角形，MN＝MF＝NF＝4，则点M到直线NF的距离为2 .故选C.
8．B　解析：方法一，由题意，可得直线PQ：y＝(x－1)与抛物线y2＝4x联立得：3x2－10x＋3＝0.所以点P(3,2 )，Q，则MN＝2 ＋＝.在△MNF中，MN边上的高h＝2，则S△MNF＝×2×＝.故选B.
方法二，不妨设交点P在x轴上方，由抛物线焦点弦性质，得|PF|＝|PM|，|QF|＝|QN|，且＋＝＝1, ＝＝，故|PF|＝4，|QF|＝.
所以S△MNF＝×|MN|×p＝×××2＝.故选B.
9．解：(1)设椭圆C1的焦距为2c，
依题意有2c＝4 ，＝.解得a＝2 ，c＝2 ，又b2＝a2－c2，则b＝2.
故椭圆C1的标准方程为＋＝1.
又抛物线C2：x2＝2py(p>0)开口向上，
且F是椭圆C1的上顶点，∴F(0,2)．
∴p＝4.故抛物线C2的标准方程为x2＝8y.
(2)显然直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
则＝(x1，y1－2)，＝(x2，y2－2)．
∴·＝x1x2＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.
由此可得，(1＋k2)x1x2＋(km－2k)(x1＋x2)＋m2－4m＋4＝0.　①
联立消去y整理，得
(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－12＝0.　②
依题意，得x1，x2是方程②的两根，
Δ＝144k2－12m2＋48>0，
∴x1＋x2＝，x1·x2＝.
将x1＋x2和x1·x2代入①，得
m2－m－2＝0，解得m＝－1(m＝2不合题意，应舍去)，
联立消去y整理，得
x2－8kx＋8＝0，令Δ′＝64k2－32＝0.
解得k2＝，经检验k2＝，m＝－1符合要求．
故直线PQ的方程为y＝±x－1.
10．(1)解：由抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)得p＝，
所以抛物线C的方程为y2＝x.
抛物线y2＝x的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
(2)证明：设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，直线l与抛物线的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0，
则
因为点P的坐标为(1,1)，
所以直线OP的方程为y＝x.
则点A的坐标为(x1，x1)．
因为直线ON的方程为y＝x，
所以点B的坐标为.
因为y1＋－2x1＝
＝
＝＝＝0，
所以y1＋＝2x1.故A为线段BM的中点．
第8讲　轨迹与方程
1．C
2．A　解析：|QF1|＝|PF1|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆．
3．B　解析：方法一(直接法)：设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(－x1，－y1)，kAM·kBM＝ · ＝
＝＝－.
方法二(特殊值法)：因为四个选项为确定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)，可得kAM·kBM＝－.
4．D　解析：由题意，可得双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0.由e＝＝＝，得b＝a，∴c＝＝a.又抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点坐标为，故焦点到渐近线的距离d＝＝＝2.∴p＝＝4 .∴抛物线C2的方程为x2＝8 y.
5．D　解析：若点A在圆C内，如图D135(1)，有|PA|＝|PB|，|PA|＋|PC|＝|PB|＋|PC|＝|BC|(为定值)，其轨迹为椭圆；

(1) 　(2)


(3)
图D135
若点A在圆C外，如图，有|PA|＝|PB|，|PC|－|PA|＝|PC|－|PB|＝|BC|(为定值)，其轨迹为双曲线的一支；
若点A与圆C的圆心重合，如图，其轨迹为圆；
若点A在圆C上，其轨迹为射线．故选D.
6．(x＋1)2＋(y－)2＝1　解析：如图D136，圆心C的坐标设为(－1，b)，显然半径r＝1，又∠FAC＝120°，则∠FAO＝30°，OF＝1，则OA＝b＝.所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.

图D136
7．x2＋＝1　解析：设A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9.又C(x，y)，则由＝2，得(x－a，y)＝2·(－x，b－y)．即即代入a2＋b2＝9，并整理，得x2＋＝1.
8.＋y2＝1　解析：设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵P是线段AB的中点，∴　①
∵A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的点，
∴y1＝x1，y2＝－x2.
代入①，得　②
又||＝2 ，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12.
∴12y2＋x2＝12.
∴动点P的轨迹C的方程为＋y2＝1.
9．解：(1)由于点在椭圆上，
所以解得
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知椭圆C的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1，0)，|F1F2|＝2，
所以过椭圆的焦点F2且斜率为1的直线方程为y＝x－1.
将其代入＋y2＝1，整理，得3x2－4x＝0.
解得x1＝0，x2＝.
当x1＝0时，y1＝－1；当x2＝时，y2＝.
＝＋＝|F1F2|·＋|F1F2|·＝×2×1＋×2×＝.
(3)过原点的直线l与椭圆＋y2＝1相交的两点M，N关于坐标原点对称，
设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)，
得＋y＝1，＋y2＝1.
两式相减，得＝－，
又∵kPM＝，kPN＝，
∴kPM·kPN＝·＝＝－.
故kPM·kPN的值与点P的位置无关，同时与直线l无关．
10．(1)证明：由题设知F.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且A，B.
则P，Q，R.
记过A，B两点的直线为l，
则直线l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，
则k1＝＝＝＝＝－b＝k2.
所以AR∥FQ.
(2)解：设直线l与x轴的交点为D(x1,0)，
则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，S△PQF＝.
由题设可得2×|b－a|＝，
所以x1＝0(舍去)，x1＝1.
方法一，设满足条件的AB的中点为E(x，y)．
当AB与x轴不垂直时，
由kAB＝kDE，可得＝(x≠1)．
而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合．
故所求轨迹方程为y2＝x－1.
方法二，利用点差法，设A(x1，y1)，B(x2，y2), AB的中点为E(x，y)，直线AB过点D(1,0)．
由两式相减得y－y＝(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，当AB与x轴不垂直时，
得kAB＝＝＝＝＝kDE＝(x≠1)，
整理，得y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合，故所求轨迹方程为y2＝x－1.
第9讲　直线与圆锥曲线的位置关系
1．C　解析：由点F为抛物线C：y2＝3x的焦点，得F.
则过点F且倾斜角为30°的直线为y＝，
与抛物线y2＝3x联立，得16x2－168x＋9＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.
2．A　解析：将y＝1－x代入ax2＋by2＝1，整理，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.x1＋x2＝，y1＋y2＝1－x1＋1－x2＝，因此AB的中点坐标为，＝＝.
3．B　解析：由双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，可设双曲线的方程为－＝1(a2＋b2＝9)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，即－＝1，－＝1.则kAB＝＝·＝·＝＝1.则＝.解得b2＝5，a2＝4.故E的方程为－＝1.
4．D　解析：由中点弦的点差法可求出直线斜率k＝＝，且a2＝b2＋c2，所以可得出＋＝1.
5．4　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋3，联立得k2x2＋(6k－4)x＋9＝0.∴x1＋x2＝.由抛物线的性质，得|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝6，∴x1＋x2＝4.因此＝4.解得k＝或k＝－2.由题图可知，k＝－2，因此直线AB的方程为y＝－2x＋3，AB的中点坐标为(2，－1)，线段AB的垂直平分线为y＋1＝(x－2)．令y＝0，得x＝4.　
6．y2＝3x　解析：方法一，过A，B作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，
则|AA1|＝3，|BB1|＝|BF|.
∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|.
∴|AC|＝2|AA1|＝2|AF|＝6.∴|CF|＝3.
∴p＝|CF|＝.∴抛物线的方程为y2＝3x.
方法二，由抛物线的定义，知|BF|等于点B到准线的距离，由|BC|＝2|BF|，得∠BCB1＝30°.又|AF|＝3，
从而A在抛物线上，
代入抛物线方程y2＝2px，解得p＝，或p＝.
由题图知，点F在点A左侧，∴3－>.∴p<3.
∴p＝不符合题意，舍去．∴抛物线的方程为y2＝3x.
7.　解析：由点A为直角顶点，得直角边的斜率为1和－1.设A(－2,0)，则一条直角边的方程为y＝x＋2，联立得5x2＋16x＋12＝0，即x1＝－，x2＝－2(舍去)．此时y＝x＋2＝，则三角形的另一个顶点为C.故|AC|＝，该三角形的面积是×2＝.
8.　解析：设P(x，y)(x≥1)，因为直线x－y＋1＝0平行于渐近线x－y＝0，所以点P到直线x－y＋1＝0的距离恒大于直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0之间的距离，因此c的最大值为直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0之间的距离为＝.
9．解：(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，
则原点O到直线的距离d＝＝.
由d＝c，得a＝2b＝2.解得离心率＝.
(2)由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①
依题意，得圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝.
易知，AB不与x轴垂直．
设其直线方程为y＝k(x＋2)＋1，
代入①，得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝.
从而x1x2＝8－2b2.
于是|AB|＝|x1－x2|
＝ ＝.
由|AB|＝，得＝.解得b2＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
10．解：(1)由题意，得2a＝4，∴a＝2.
∵＝，∴c＝1.∴b＝＝.
∴椭圆C1的标准方程为＋＝1.
(2)①当直线l1，l2的斜率均存在时，
设l1：y＝k(x－1)，则l2：y＝－(x－1)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|＝.
易知圆心(0,0)到直线l2：x＋ky－1＝0的距离d＝，
由＋d2＝4, 得|CD|＝2 .
∵AB⊥CD，∴S四边形ACBD＝|AB|·|CD|＝＝12 .
∵4k2＋3>3，∴S四边形ACBD<4 .
②当直线l1的斜率为0时，
|AB|＝4，|CD|＝2 ，∴S四边形ACBD＝4 .
③当直线l1的斜率不存在时，|AB|＝3，|CD|＝4，
∴S四边形ACBD＝6<4 .
综上所述，四边形ACBD的面积的最大值为4 .