湖南省邵东县第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含答案）

这是一份湖南省邵东县第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含答案），共14页。试卷主要包含了 设集合，，则，已知，，，则，．刘徽，．函数的图象大致为等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷
单项选择题 (本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线y＝px2(其中p为常数)过点A(1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )
A.eq \f(9,2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(1,18) D.eq \f(1,6)
3．命题∀x∈R，ex－x－1≥0的否定是( )
A．∀x∈R，ex－x－1≤0 B．∀x∈R，ex－x－1≥0
C．∃x0∈R，ex0－x0－1≤0 D．∃x0∈R，ex0－x0－1<0
4.已知，，，则（ ）
A．B． C． D．
5.．刘徽（约公元225—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（ ）
A． B． C． D．
6.．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
7.已知向量与的夹角是，且，，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 若实数 x，y 满足 x |x| +y | y | =1，则点(x，y)到直线 x+y=1 的距离的取值范围是( )
A. (0，1] B. [1， eq \r(2) ] C. D. (1， eq \r(2)]
二、 多项选择题 （本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分)
9．已知下列四个条件，能推出成立的有（ ）
A． B． C． D．
10．关于双曲线C1：与双曲线C2：，下列说法正确的是( )
A．它们有相同的渐近线B．它们有相同的顶点
C．它们的离心率不相等D．它们的焦距相等
11.已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则下列结论正确的是（ ）
A．直线是的一条对称轴 B．是周期为2的周期函数
C．在上单调递减 D．是函数的一个零点
12. 正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点．则（ ）
A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面的距离相等
第Ⅱ卷
三、 填空题 (本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．若，则______．
14．已知p：a + b = 5，q：a = 2 且 b = 3，则q是p的 条件(用“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要”条件填空）．
15．如图所示，已知A、B、C是椭圆E：（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆的中心O，且AC⊥BC，|BC|＝2|AC|．则椭圆的离心率为 ．
16. 已知函数，若， ，使得，则实数的取值范围是
四、 解答题 (本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17（本小题满分10分）设t∈R，已知命题p：函数f(x)＝x2－2tx＋1有零点；命题q：∀x∈[1，＋∞)， eq \f(1,x)－x ≤ 4t2－1.
(1)当t＝1时，判断命题q的真假；
(2)若p∨q为假命题，求t的取值范围．
（本小题满分12分）已知向量＝(cs x，sin x)，＝(3，－eq \r(3))，x∈[0，π]．
(1)若∥，求x的值；
(2)记f(x)＝·，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
19．（本小题满分12分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款（年底余额），表1：
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到下表2：
（1）求z关于t的线性回归方程；
（2）用所求的线性回归方程预测，到2020年年底该银行储蓄存款额可达多少？
（附：对于线性回归方程，其中）
（本小题满分12分）已知直线l 经过抛物线y 2＝6x的焦点F，且与抛物线相交
于A、B两点．
（1）若直线l 的倾斜角为60°，求|AB|的值；
若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．

（本小题满分12分）若数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－λ(λ>0，n∈N*)．
(1)证明数列{an}为等比数列，并求an；
(2)若λ＝4，bn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an，n为奇数，,lg2an，n为偶数))(n∈N*)，求数列{bn}的前2n项和T2n.

22.（本小题满分12分）设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
2020-2021学年度邵东一中高二期中考试
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．时量120分钟．满分150分．
第Ⅰ卷
单项选择题 (本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，，则（ D ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线y＝px2(其中p为常数)过点A(1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( D )
A.eq \f(9,2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(1,18) D.eq \f(1,6)
3．命题∀x∈R，ex－x－1≥0的否定是( D )
A．∀x∈R，ex－x－1≤0 B．∀x∈R，ex－x－1≥0
C．∃x0∈R，ex0－x0－1≤0 D．∃x0∈R，ex0－x0－1<0
4.已知，，，则（ B ）
A．B． C． D．
5.．刘徽（约公元225—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（ A ）
A． B． C． D．
6.．函数的图象大致为（ A ）
A．B．C．D．
7.已知向量与的夹角是，且，，若，则实数的值为（B）
A. B. C. D.
8. 若实数 x，y 满足 x |x| +y | y | =1，则点(x，y)到直线 x+y=1 的距离的取值范围是( C )
A. (0，1] B. [1， eq \r(2) ] C. D. (1， eq \r(2)]
二、 多项选择题 （本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分)
9．已知下列四个条件，能推出成立的有（ ABD ）
A．B．C．D．
10．关于双曲线C1：与双曲线C2：，下列说法正确的是( CD )
A．它们有相同的渐近线B．它们有相同的顶点
C．它们的离心率不相等D．它们的焦距相等
11.已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则下列结论正确的是（ ABC ）
A．直线是的一条对称轴 B．是周期为2的周期函数
C．在上单调递减 D．是函数的一个零点
12. 正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点．则（ BC ）
A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面的距离相等
第Ⅱ卷
三、 填空题 (本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．若，则________．
14．已知p：a + b = 5，q：a = 2 且 b = 3，则q是p的 充分不必要 条件(用“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要”条件填空）．
15．如图所示，已知A、B、C是椭圆E：（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆的中心O，且AC⊥BC，|BC|＝2|AC|．则椭圆的离心率为 ．
16. 已知函数，若， ，使得，则实数的取值范围是 (－∞，1]
四、 解答题 (本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本小题满分10分）设t∈R，已知命题p：函数f(x)＝x2－2tx＋1有零点；命题q：∀x∈[1，＋∞)， eq \f(1,x)－x≤4t2－1.
(1)当t＝1时，判断命题q的真假；
(2)若p∨q为假命题，求t的取值范围．
解：(1)当t＝1时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－x))max＝0，eq \f(1,x)－x≤3在[1，＋∞)上恒成立，故命题q为真命题．
(2)若p∨q为假命题，则p，q都是假命题．
当p为假命题时，Δ＝(－2t)2－4<0，解得－1当q为真命题时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－x))max≤4t2－1，即4t2－1≥0，解得t≤－eq \f(1,2)或t≥eq \f(1,2)，
∴当q为假命题时，－eq \f(1,2)（本小题满分12分）已知向量＝(cs x，sin x)，＝(3，－eq \r(3))，x∈[0，π]．
(1)若∥，求x的值；
(2)记f(x)＝·，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
[解] (1)因为a＝(cs x，sin x)，b＝(3，－eq \r(3))，a∥b，
所以－eq \r(3)cs x＝3sin x．则tan x＝－eq \f(\r(3),3).又x∈[0，π]，所以x＝eq \f(5π,6).
(2)f(x)＝a·b＝(cs x，sin x)·(3，－eq \r(3))＝3cs x－eq \r(3)sin x＝2eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))).
因为x∈[0，π]，所以x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，从而－1≤cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))≤eq \f(\r(3),2).
于是，当x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，即x＝0时，f(x)取到最大值3；
当x＋eq \f(π,6)＝π，即x＝eq \f(5π,6)时，f(x)取到最小值－2eq \r(3).
19．（本小题满分12分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款（年底余额），表1：
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到下表2：
（1）求z关于t的线性回归方程；
（2）用所求的线性回归方程预测，到2020年年底该银行储蓄存款额可达多少？
（附：对于线性回归方程，其中）
19．【解析】（1），，，，，， ∴． （5分）
（2），代入得到：，即， （9分）
∴，
∴预测到2020年年底，该银行储蓄存款额可达15.6千亿元． （12分）
（本小题满分12分）已知直线L 经过抛物线y 2＝6x的焦点F，且与抛物线相交
于A、B两点．
（1）若直线L的倾斜角为60°，求|AB|的值；
若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
解：（1）由y2＝6x，准线方程为x＝﹣1.5，焦点F（1.5，0）．
直线l的方程为y﹣0＝tan60°（x﹣1.5），即y＝x﹣．
与抛物线方程联立，消y，整理得4x2﹣20x+9＝0，其两根为x1，x2，且x1+x2＝5．
由抛物线的定义可知，|AB|＝p+x1+x2＝8．所以，线段AB的长是8．-------6分
（2）|AB|＝p+x1+x2＝9，则＝4.5∴线段AB的中点M到准线的距离为4.5．-12分
（本小题满分12分）若数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－λ(λ>0，n∈N*)．
(1)证明数列{an}为等比数列，并求an；
(2)若λ＝4，bn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an，n为奇数，,lg2an，n为偶数))(n∈N*)，求数列{bn}的前2n项和T2n.
解：(1)∵Sn＝2an－λ，当n＝1时，得a1＝λ，
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－λ，∴Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即an＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，
∴数列{an}是以λ为首项，2为公比的等比数列，∴an＝λ·2n－1.
(2)∵λ＝4，∴an＝4·2n－1＝2n＋1，∴bn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2n＋1，n为奇数，,n＋1，n为偶数，))
∴T2n＝22＋3＋24＋5＋26＋7＋…＋22n＋2n＋1＝(22＋24＋…＋22n)＋(3＋5＋…＋2n＋1)
＝eq \f(4－4n·4,1－4)＋eq \f(n3＋2n＋1,2)＝eq \f(4n＋1－4,3)＋n(n＋2)，
∴T2n＝eq \f(4n＋1,3)＋n2＋2n－eq \f(4,3).
22.（本小题满分12分）设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点.
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,
则△=,即
,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,
综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
因为,
所以,
,
①当时
因为所以,所以,
所以当且仅当时取”=”.
当时,.
当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,
综上, |AB |的取值范围为即:
年份x
2011
2012
2013
2014
2015
储蓄存款y（千亿元）
5
6
7
8
10
时间代号t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5
年份x
2011
2012
2013
2014
2015
储蓄存款y（千亿元）
5
6
7
8
10
时间代号t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5