28.数列（裂项相消求和） 2022届高三数学一轮复习大题练
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一轮复习大题专练28—数列（裂项相消求和）
1．已知数列为等比数列，首项为函数的最小值，公比，且，是关于的方程的根．其中为常数．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求使的最大值．
解：（1）令，，在，递减，可得，
又，是关于的方程的根．其中为常数，可得，
由，解得舍去），则；
（2），
，
．
由，可得，解得，
则的最大值为48．
2．已知等比数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
解：（1）由题意，设等比数列的公比为，
则当时，，
，
，
显然不符合题意，故，
当时，，
，，
，
，
即，
化简，得，
且，，
，．
（2）由（1）知，，，
则，
．
3．在数列中，，当时，，
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
解：（1）依题意，由当时，，①
可得当时，，
则当时，，②
故当时，①②，可得，
整理，得，
，
当时，，
，，
显然当时，满足上式，而当时，不满足上式，
．
（2）由题意，可知当时，，，
则由（1），可得，
．
4．已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，且，求数列的前项和．
解：（1）设等差数列的公差为，，，
，，
解得：，．
．
（2）设数列满足，且，
则
．
，
数列的前项和
5．已知数列，满足，，，且为等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列，满足，求数列的前项和．
解：（1）由，可得，
结合，，可得，，
因为数列为等比数列，所以数列的公比，
所以；
（2）由（1）可得，
所以，
所以
．
6．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
解：（1）由题意：，①
当时，，②
①②得，即，
当时，满足上式，所以．
（2）因为，
所以，
所以．
7．设等比数列的前项和为，已知，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和．
解：（1）设等比数列的公比是，由得．
，，成等差数列，
，解得．
．（4分）
（2）数列是以1为首项，以3为公比的等比数列，
．
，
．（12分）
8．等比数列中，，．
（1）求；
（2）设，且，求数列的前项和．
解：（1）设公比为，，代入，
解得或．
当时，；
当时，．
（2）当时，，矛盾．
，
，
．
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