29.数列（错位相减求和） 2022届高三数学一轮复习大题练

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一轮复习大题专练29—数列（错位相减求和）1．已知数列的前项和为，且，．数列是公差大于0的等差数列，，且，，成等比数例．（1）求数列和的通项公式；（2）若，求．解：（1）由，可得时，，解得；时，，化为，则；数列是公差大于0的等差数列，由，可得，由，，成等比数列，可得，即有，即，则，所以；（2），，上面两式相减可得，，化简可得．2．已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，求证：．解：（1）数列满足，，，．（2）证明：，，，可得：．即．3．已知数列的前项和为，，数列是等差数列，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）若，记数列的前项和为，证明：．解：（1）由，可得时，，解得，时，，又，两式相减可得，即有，可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以；设等差数列的公差为，且，，可得，所以；（2）证明：，，，两式相减可得，化简可得．因为，所以．4．已知是等差数列，其前项和为，是正项等比数列，且，，，．（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）若，记，，求．解：（Ⅰ）设公差为的是等差数列，公比为的是正项等比数列，且，，，．所以，解得，（负值舍去），所以；．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，，设①，②，②①得：，．由于，所以．5．已知数列的前项和为，且满足，数列满足，且．（1）求证：数列成等差数列，并求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．证明：（1）数列满足，．整理得（常数），所以数列是以为首项，2为公差的等差数列；所以，整理得．由于数列的前项和为，且满足①，当时，解得，当时，②，①②得：，即（常数），所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；所以（首项符合通项），故．（2）由（1）得：，所以①，②，①②得：，整理得：．6．数列是等差数列，为其前项和，且，，数列前项和为，且满足，．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，求．解：（Ⅰ）由题意，设等差数列的公差为，则，整理，得，解得，，．对于数列：当时，，解得，当时，由，可得，两式相减，可得，整理，得，数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，．（Ⅱ）由题意，记，即数列的前项和为，由（Ⅰ）知，，，，两式相减，可得，．