35.数列（证明不等式2） 2022届高三数学一轮复习大题练

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一轮复习大题专练35—数列（证明不等式2）1．已知数列满足，，数列满足，．（1）证明数列为等比数列并求数列的通项公式；（2）数列满足，设数列的前项和，证明：．解：（1）证明：当时，，又，数列是首项为2，公比为2的等比数列，，；（2）证明：，，当时，当时，，当时符合，，，．又，．2．设正项数列前项和为，满足，等比数列满足，．（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）设前项和为，记，证明：．（Ⅰ）解：，当时，，解得．当时，，①，②①②得：，整理得：．，，即数列是首项为2，公差为2的等差数列．；，，则等比数列的公比，则；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，，则，．令，则，两式作差可得：．．．3．已知各项均为正数的数列满足：，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：．解：（Ⅰ）各项均为正数的数列满足：，整理得：，故，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列；所以．证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，故，由于函数在为单调递增函数，所以，故．4．设数列的前项和为，，，数列满足：，，其中．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）记，证明：．证明：（Ⅰ）数列的前项和为，，，①所以当时，，②，①②得：，故数列是以2为首项，2为公比的等比数列；所以（首项符合通项）．证明：（Ⅱ）数列满足：，，所以，故，由于，所以数列单调递增，故，所以，故，所以．5．已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．解：（1）数列满足①，当时，②，①②，得，化简，得（常数），当时，解得，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．所以．（2）由（1）得，所以．6．已知正项数列的前项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，证明：当时，．（Ⅰ）解：由得，则，化简得，又，故．当时，解得，因此数列的通项公式为．（Ⅱ）证明：由题意，．由于，且，所以，化简得．7．已知数列中，，且，，成等差数列，数列是公比大于1的等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式及其前项和．（Ⅱ）设，求证：．解：（Ⅰ）设数列是公比大于1的等比数列，则，，所以，，由，，成等差数列，可得，即，即，解得舍去），所以，即，，，两式相减可得，，所以；（Ⅱ）证明：，，则．