38.数列（恒成立问题2） 2022届高三数学一轮复习大题练

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一轮复习大题专练38—数列（恒成立问题2）1．已知数列和的前项和分别是，，其中，，．（Ⅰ）求与的值；（Ⅱ）若，对任意的，均有，求实数的取值范围．解：（Ⅰ），，，，，当时，，，，又适合上式，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，所以由题意知，记，则，所以，即单调递增，故，所以．2．已知等差数列满足，，数列的前项和，．（1）求数列、的通项公式；（2）记数列的前项和为，若存在正数，使对一切恒成立，求的取值范围．解：（1）数列是等差数列，，，由，得，．又，，则；，则，当时，，当时，，验证时成立，；（2）由（1）得，，，，两式作差可得：，．对一切恒成立，对一切恒成立，即对一切恒成立，令，则，当且仅当时等号成立．．故实数的取值范围是．3．已知数列的前项和为，，，数列满足，对任意，都有．（1）求数列、的通项公式；（2）令，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围．解：（1），，，，数列为常数列，又，，即；由，知数列是等比数列，其首项、公比均为，数列的通项公式；（2）依题意，，，则，，，不等式即为，即，亦即，即对任意恒成立，设，当时，恒成立，符合题意；当时，由二次函数性质知不恒成立，不合题意；当时，由于对称轴，故在，单调递减，（1）恒成立，符合题意．综上，实数的取值范围为，．4．已知正项数列的前项和为，数列为等比数列，且满足，，．（1）求证：数列为等差数列；（2）若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围．解：（1）证明：正项数列的前项和为，数列为等比数列，满足，，．，，两式相减，得，，，，，，当时，，，是首项为1，公差为2的等差数列．（2），，，，，，由，得，设，则，，2时，，当时，，即，，解得．实数的取值范围是．5．已知数列的前项和满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）数列的前项和是，若存在，使得成立，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）数列的前项和满足①．所以当时，解得，当时，②，①②得：，整理得（首项符合通项），故．（Ⅱ），所以，若存在，使得成立，即成立，故，整理得，只需满足即可，设，当且仅当时，等号成立．即．6．已知点，在直线上，数列的前项和为，已知，．（1）求数列，的通项公式；（2）已知数列的前项和为，若对任意，，均有成立，求实数的取值范围．解：（1）由题意，又，，两式相减得，即，又，，，，是等比数列，；（2），①，则②，①②得：，．对任意，，不等式可化为，设，，时，，，时，，，中（6）最大，，．