39.数列（最值问题1） 2022届高三数学一轮复习大题练

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一轮复习大题专练39—数列（最值问题1）1．已知是数列的前项和，且，．（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项．（2）是否存在整数，使得？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．证明：（1）数列满足，，且，整理得，即（常数），所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故，故，（2）由于，所以，令，则，当时，，故函数在，上单调递增，当时，解得，当时，解得，所以的最小值为10，即的最小值为10．2．已知数列的前项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的最小项的值．解：（1）因为，所以，则，即，，当时，，当时，，且当时也适合上式，所以；（2）由（1）可知，，所以，所以，当，即，所以当时，，当时，，又，所以当时，有最小值为．3．已知数列满足：，．（1）求证数列是等比数列；（2）若数列满足，求的最大值．解：（1）证明：因为，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以数列是等比数列；（2）由（1）得，所以，则，因为，所以，即数列为递减数列，所以的最大值为．声明：试4题解析著作权属菁4．已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）若存在正整数，使得，求的最小值．解：（1）设数列的公比为，由，，成等差数列，且，得，解得．数列的通项公式为；（2）由（1）有，由得，，即．当为偶数时，，上式不成立；当为奇数时，，得．综上，的最小值为11．5．已知是等差数列，其前项和为，再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）数列的通项公式；（Ⅱ）的最小值，并求取得最小值时的值．条件①：；条件②：．解：若选择条件①：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由，得①；又，得，即②．联立①②，解得、，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，所以，根据二次函数的性质可得当时有最小值且最小值为．若选择条件②：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由，得①；又，得即②．联立①②，解得、，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，由于，所以当或时有最小值且最小值为．6+6．已知等差数列的前项和为，若，，1成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的最大项与最小项．解：（1）设的首项为，公差为，取、2．得解得当，时，，，经验证满足条件；当，时，，，不满足条件，舍去，综上，数列的通项公式为．（2），记，在与上都是增函数（如图所示）对数列，当时，递增且都大于，当时，递增且都小于，所以数列的最大项是第4项，值为9，最小项是第5项，值为．7．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求使成立的最小正整数的值．解：（1）设等差数列的公差为，因为，且、、成等比数列，所以，即，整理得，解得或（舍去），所以．（2）依题意：．所以数列的前项和．依题意：，解得，所以的最小值为51．8．无穷数列满足：且．（1）求证：为等差数列；（2）若为数列中的最小项，求的取值范围．（1）证明：由已知可得：，，是公差为1的等差数列；（2）解：由（1）可得，，结合图象易知函数在，时取到最小值，由为数列中的最小项，有，解得：，的取值范围是：．