41.数列（最值问题2） 2022届高三数学一轮复习大题练

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一轮复习大题专练41—数列（最值问题2）1．已知数列的前项和为，．（1）证明数列为等比数列并求其通项公式；（2）若，设数列的前项和，求使成立的最小正整数．（1）证明：由题意，当时，，解得，当时，由，可得，两式相减，可得，化简整理，可得，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，，，（2）由（1），可得，，恒成立，，即，所求最小正整数为2021．2．设公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，求使得成立的最小正整数．解：（1）设等差数列的公差为．因为，，成等比数列，所以，即，整理得①．又因为②．所以联立①②，解得，．所以．（2）由（1）可得，所以，，，，由在，是单调减函数，是单调减函数，则是单调递减数列．又，，则能使得成立的最小正整数为3．已知数列满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）设，数列的前项和为，求的最小值．解：（1）因为满足，，．故数列的通项公式．（2）令①，②，①②：，，故数列的前项和．（3）由（1）得，令，，所以是单调递增数列，故．故的最小值为．4．设正项数列的前项和满足．（1）求的通项公式；（2）令，数列的前项和为，求使得成立的的最小值．解：（1）因为，，所以，于是，，令，则，，所以是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为．（2），则，，所以的最小值为24． 5．已知项数为的数列为递增数列，且满足，若，则为的“关联数列”．（Ⅰ）数列1，4，7，10是否存在“关联数列”？若存在，求其“关联数列”；若不存在，请说明理由．（Ⅱ）若为的“关联数列”， 是否一定具有单调性？请说明理由．（Ⅲ）已知数列存在“关联数列” ，且，，求的最大值．解：，4，7，10是项数为4的递增等差数列，其中，，，所以，则，故，，，所以，，，，所以数列1，4，7，10存在“关联数列”为7，6，5，4；（Ⅱ）因为为递增数列，所以，则，所以，故数列具有单调递减性；（Ⅲ）由于，则，故，所以，又，所以，解得，所以存在“关联数列” ，所以，因为为2020的正约数，且，故的最大值为20，所以的最大值为21．66．已知数列的前项和为，，．（1）证明数列为等差数列，并由此求出通项公式；（2）若数列满足，记，求满足成立最小自然数的值．注：已知等差数列的公差，，则．证明：（1）数列的前项和为，，，整理得（常数），所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列；所以．（2）由（1）得：数列满足．所以，故，由于满足成立，即，故，所以的最小值为2021．网所有，未经书7面同意，不得复制发7．已知数列满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求最小值．解：（1）由，得，是以2为公比的等比数列，记公比为，又，，；（2），，，两式相减，得，即，又，单调递增，时，最小，最小值为．8．已知数列中，，且是2与的等差中项．（1）求数列的前项和；（2）设，判断数列是否存在最大项和最小项？若存在求出，不存在说明理由．解：（1）数列中，，且是2与的等差中项．整理得（常数），故数列是以为首项，2为公差的等差数列；所以．当时，，当时，，所以当时，，当时，．故．（2）根据数列的通项公式，可知：，，各项都为负值，当时，，所以，，故，，，，，，由于，，所以最大项为第4项，最大值为945．由于，，当时，，所以没有最小值， 日期：2021/7/26 10:29:46；用户：尹丽娜；邮箱：13603210371@zz.com；学号：19839377