42.立体几何（体积1）2022届高三数学一轮复习

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一轮复习大题专练42—立体几何（体积1）1．如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，点，分别是棱，上的点，点是线段上一点，．（1）若为中点，证明：平面；（2）若，求．解：（1）证明：取中点，连接，，则且，又因为且，所以，且，所以四边形为平行四边形，从而．又平面，平面，所以平面．（2）作交于，则为中点．所以平面，因为是边长为2的正三角形，且．所以．则，所以．又因为，所以．2．已知如图1所示，等腰中，，，为中点，现将沿折痕翻折至如图2所示位置，使得，、分别为、的中点．（1）证明：平面；（2）求四面体的体积．（1）证明：、分别为、的中点，，平面，平面，平面；（2）解：在原等腰三角形中，，，为中点，，，且，在折叠后的三棱锥中，，，又，平面，，，，，为中点，，可得．3．如图，在四棱锥中，，，为棱的中点，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若平面平面，试求三棱锥的体积．解：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，，为的中点，，，又已知，，且，则四边形为平行四边形，，而平面，平面，平面；（Ⅱ），取中点，连接，则，平面平面，且平面平面，平面，在底面直角梯形中，，，，，可求得，又，则，又为的中点，，，．4．如图，四棱锥中，是正方形，平面，，分别为，的中点．（1）证明：平面；（2）已知，为棱上的点，，求三棱锥的体积．（1）证明：如图，取中点，连接，，由，分别为，的中点，知，，又为的中点，故，，即，且，四边形是平行四边形，即，又平面，平面，平面；（2）解：如图，连接．平面，平面，，又，，平面，平面，平面，平面，，即，，即，又，，又，则，且，三棱锥的体积．5．如图所示，在三棱柱中，平面平面，，，，分别为，的中点，且．（Ⅰ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求三棱锥的体积．解：（Ⅰ）存在，当点与点重合时平面．证明如下：连接，，分别为，的中点，，且，可得四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，即平面；（Ⅱ）平面平面，且平面平面，又，平面，则为三棱锥的高，在中，，，则，为的中点，，．即三棱锥的体积为．6．如图，在三棱锥中，，，，设顶点在底面上的射影为．（1）求证：；（2）设为棱上的一点，且二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．1）证明：因为顶点在底面上的射影为，所以平面，则又平面，则，又，且，则平面，又平面，故，同理可得，则四边形为矩形，又，则四边形为正方形，故；（2）解：由（1）知为正方形，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示坐标系，则，0，，，8，，，0，，，8，，在直角三角形中，因为，，所以，则，0，，设，则，所以，故，，设平面的法向量为，则，令，则，平面的一个法向量为因为二面角的余弦值为，所以，解得，则，故，设点到平面的距离为，则，故三棱锥的体积为．