57.椭圆（面积最值问题2） 2022届高三数学一轮复习大题练

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一轮复习大题专练57—椭圆（面积最值问题2）1．已知椭圆上的点到焦点的最大距离为3，最小距离为1（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点，作直线与椭圆交于，两点，不为长轴顶点），过点，分别作直线的垂线，垂足依次为，，且直线，相交于点．①证明：为定点；②求面积的最大值．（1）解：设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得，，则，故椭圆的标准方程为；（2）①证明：由（1）可知，，当直线斜率不存在时，直线的方程为，所以，解得，所以直线，相交于点；当直线的斜率存在且不为零时，设，，，，则，，直线的方程为，联立方程，可得，化简可得，所以，又直线的方程为，直线的方程为，当直线与相交时，联立作差可得，，解得且，将代入，化简可得，即直线与相交于点．综上所述，为定点．②当直线的斜率不存在时，可知；当直线斜率存在且不为零时，由①可得，．综上所述，面积的最大值为．2．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线斜率为0时，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求四边形面积的最小值．解：（Ⅰ）由题意知，，则，因为，所以，则，，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知；②当两弦斜率均存在且不为0时，设，，，，且设直线的方程为，则直线的方程为．将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得，所以，所以．同理，．所以，因为当且仅当时取等号，所以．综上可得四边形面积的最小值．3．设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过原点的动直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，且．（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交于，两点，求面积的最大值．解：（1）根据对称性知，与 互相平分，则四边形 为平行四边形，则，又，结合椭圆定义知，，故，由离心率，故，椭圆方程为．（2）设，，，， 的直线方程为，联立椭圆方程与直线方程，化简得，则，则 的面积为：，令，，则上式，函数 在时，单调递增，则上式在，即时取得最大值，且最大值为．4．已知椭圆的左焦点为，过的直线交椭圆于，两点，的中点坐标为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于，两点，且在轴上有一点，当面积最大时，求实数的值．解：（1）设，，，，可得，，两式相减得，将，代入上式，即，①因为直线过点，线段的中点，，所以，代入①得，，又，即，所以，，所以椭圆的方程为．（2）由直线的方程为，则到直线的距离，由，整理得，由判别式△，解得，设，，，，则，，由弦长公式可得，所以，当且仅当时取等号，即面积最大时，实数的值为．5．已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于，两点，线段的中点是．（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与线段相交（不含端点）且交椭圆于，两点，求四边形面积的最大值．解：（1）直线与轴交于点，所以椭圆右焦点的坐标为，故，因为线段的中点是，设，，，，则，且，又，作差可得，则，得又，，所以，，因此椭圆的方程为．（2）由（1）联立，解得或，不妨令，易知直线的斜率存在，设直线，代入，得，解得或，设，，，，则，则，因为到直线的距离分别是，由于直线与线段（不含端点）相交，所以，即，所以，四边形的面积，令，，则，所以，当，即时，，因此四边形面积的最大值为．6．已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为，且其离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，已知，是椭圆上的两点，且满足，求面积的最大值．解：（1）由椭圆的定义得，，又离心率，，则，椭圆的标准方程为；（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程得，设，，，，则，，由，得，又，，，，即，即，或．原点到直线的距离为，当时，，此时．当且仅当，即时等号成立．当时，，此时．当直线的斜率不存在时，设，，，，由，得，又，解得，，不妨取，，可得．综上，面积的最大值为．