60.椭圆（求直线方程） 2022届高三数学一轮复习大题练

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一轮复习大题专练60—椭圆（求直线方程）1．已知椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，，分别为椭圆的左、右顶点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆与，两点在轴上方），为直线，的交点．当点的纵坐标为时，求直线的方程．解：（1）因为，即，所以，又因为右焦点到直线的距离为，即，所以，则，所以，则椭圆的方程为；（2）设直线，，，，，联立，得，则，，设直线的方程为：，则，直线的方程为，则，则，将代入可得，即有，整理得，因为在轴上方，所以，，则，故上式为，即，，，，则，所以，解得，则直线的方程为：，即．2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，分别为椭圆的左顶点与上顶点，为坐标原点，，且的面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与直线平行，且与椭圆交于，两点，当与的面积之比为时，求直线的方程．解：（Ⅰ）由题知，，，和是，，由得，，即，由的面积为得，，所以，联立，解得，，，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，有，所以的面积为，当与的面积之比为时，有，，若直线与直线平行，则直线的斜率为，设直线的方程为，原点到直线的距离为，联立，消去得，由△，解得，，，所以，所以，所以的面积为，即，整理得，，解得或，所以或，所以直线的方程为或．3．已知椭圆的焦距为，其短轴的两个端点与右焦点的连线构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设过点的动直线与椭圆相交于，两点，当的面积最大时，求的方程．解：（Ⅰ）由题意可知：，，，，椭圆方程为：．； （Ⅱ）当时，不符合题意，由题意可设直线的方程为：，设，，，，，整理得：，当△时，即，由韦达定理可知：，，则的面积，令，则，即有，当且仅当，即有时，取得最大值，最大值为1，直线的方程为或．4．已知椭圆，直线经过椭圆的左焦点与其交于点，．（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；（Ⅱ）已知点，，直线，与直线分别交于点，．若，求直线的方程．解：（Ⅰ）由题设，得，又，所以，所以椭圆的方程为，所以椭圆的离心率为．（Ⅱ）由题意，设，，，，当直线斜率不存在时，方程为，代入椭圆的方程，解得，，直线的方程为：，即，将代入，解得，所以，因为点，关于轴对称，且位于轴上，所以点，关于轴对称，所以，所以，不合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，得，则，，直线的方程为，令，得点的纵坐标为，同理可得点的纵坐标为，所以，解得或，所以直线的方程为或．5．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，为坐标原点，的面积为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴负半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．解：（Ⅰ）由离心率为，为坐标原点，的面积为1，得，解得，，，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）设，为椭圆上一点，先证明直线的方程为，联立，得，所以△，所以椭圆在点，处的切线方程为，在直线的方程中，令，得，由题意可知，即点，直线的斜率为，所以直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，，因为，则，即，整理得，所以，因为，所以，所以，，所以直线的方程为，即．6．已知椭圆的左、右焦点为，，为上一点，垂直于轴，且、、成等差数列，．（1）求椭圆的方程；（2）直线过点，与椭圆交于，两点，且点在轴上方．记，△的内切圆半径分别为，，若，求直线的方程．解：（1）由题，，，，，，则，因为、、成等差数列，所以，解得，所以，联立，解得，，故椭圆方程为：．（2）设点，，，，直线，联立，有，△，则，，由题意，有，，由，得，由，得，有，解得，，解得，，，，，故直线的方程为．