61.椭圆（求值问题） 2022届高三数学一轮复习大题练

这是一份61.椭圆（求值问题） 2022届高三数学一轮复习大题练，共10页。试卷主要包含了已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上等内容，欢迎下载使用。
一轮复习大题专练61—椭圆（求值问题）1．已知椭圆的离心率为，点是椭圆短轴的一个四等分点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，且点，直线，分别交于异于点的点，，设直线的斜率为，求实数，使得恒成立．解：（1）由题意可得，，又，解得：，，所以椭圆的标准方程为：；（2）方法一：设，，，，，，直线方程为，则直线方程为，与联立，得，由，解得，又，即，代入上式，得，所以，即，同理，所以，将，，代入上式，则，所以，即，所以，实数，使得恒成立．方法二：设，，，，，，直线方程为，将直线与联立得，，则，，所以，所以所以直线方程，与联立得，则，，所以则，由及，即，解得，所以，所以，实数，使得恒成立．方法三：与两直线地位对等，，两点地位对等，设直线的方程为：，的方程为，联立，，同理，所以，将点向下平移两个单位，椭圆方程变为，即，①平移后，方程：，即，②将①式中是一次式通过乘以②式中的，可将①式化为全是二次，即同除以，所以，由于平移，即，的斜率（平移不改变斜率），，由韦达定理可知，，，所以，所以，所以，实数，使得恒成立．2．已知椭圆的离心率为，右焦点为，且上一点到的最大距离3．（1）求椭圆的方程；（2）若，为椭圆上的两点，线段过点，且其垂直平分线交轴于点，，求．解：（1）由题意可知，解得，，椭圆的方程为：．（2）由（1）可知，设，，，，若直线的斜率不存在，易求，直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程，消去得：，，，，解得：，，时，直线关于轴对称，直线的垂直平分线与轴的交点是同一个点，不妨取，此时直线的垂直平分线的斜率为，又线段的中点坐标为，，直线的垂直平分线的方程为，令得：，点，，．3．已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆相切于点，与抛物线的准线相交于点，若点为平面内一点，且，求点的坐标．解：（1）由题得解得所以椭圆的方程为．（2）根据题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立消去并整理得．由△，得，所以，即．因为抛物线的准线方程为，所以当时，，所以．设点，因为，所以，所以，即，当即，时，方程恒成立，所以点的坐标为．4．已知椭圆其左、右焦点分别为、，且离心率为，点为椭圆的一个顶点，三角形的面积为2．（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆的左顶点，点在椭圆上，线段的垂直平分线与轴相交于点，若为等边三角形，求点的横坐标．解：（1）由题意有：解得：所以椭圆的方程为：．（2）方法1：设，，则，且，若点为右顶点，则点为上（或下）顶点，，不是等边三角形，不合题意，所以，，设线段中点为，所以，因为，所以，因为直线的斜率，所以直线的斜率，又直线的方程为，令，得到，因为，所以，因为为正三角形，所以，即，化简，得到，解得，（舍，故点的横坐标为．方法2：设，，直线的方程为，当时，点为右顶点，则点为上（或下）顶点，，，不是等边三角形，不合题意，所以．联立方程，消元得，所以△，所以，设线段中点为，所以，，所以，因为，所以，所以直线的方程为，令，得到，因为为正三角形，所以，所以，化简，得到，解得，（舍，所以，故点的横坐标为．方法3：设，，当直线的斜率为0时，点为右顶点，则点为上（或下）顶点，，，不是等边三角形，不合题意，所以直线的斜率不为0．设直线的方程为，联立方程，消元得，，所以，设线段中点为，所以，，所以，因为，所以，所以直线的方程为，令，得到因为为正三角形，所以所以化简，得到，解得，（舍所以，故点的横坐标为．5．已知椭圆经过点，过右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点在椭圆上，直线与交于点，过点作的垂线，与轴交于点，若，求点的坐标．解：（Ⅰ）由条件知，设，，将代入椭圆方程得，得，直线被截得的线段长为3，即，所以，因此椭圆的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线，点，，设直线的方程为，点，，联立，得，则，于是，，即，在直线的方程中，令，得，则直线的方程为，令，得，即，因为，所以，即，所以，，所以点的坐标为．