63.椭圆（证明题） 2022届高三数学一轮复习大题练

这是一份63.椭圆（证明题） 2022届高三数学一轮复习大题练，共7页。试卷主要包含了已知椭圆的离心率为，且过点等内容，欢迎下载使用。
一轮复习大题专练63—椭圆（证明题）1．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且与轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线交于，两点，证明：为定值．解：（1）由题意，得，，且，则，即，所以故椭圆的方程为．（2）证明：当直线的斜率为零时．点，为椭圆长轴的端点，则，当直线不与轴重合时，设直线的方程为，点，，，，联立消去，得，，则恒成立，由韦达定理，得，所以，综上，为定值．2．已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，，直线，分别与直线交于点，．求证：以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值．解：（1）由条件有，解得，，所以椭圆的方程为．（2）证明：，设直线的方程为，，，，．联立椭圆方程，整理得，，．直线的方程为，令，得，同理，．所以．中点为，即．故以线段为直径的圆被轴截得的弦长为．即：以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值．3．已知椭圆经过点，，点为椭圆的上顶点，且直线与直线相互垂直．（1）求椭圆的方程；（2）若不垂直轴的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点在轴上方），直线，分别与轴交于，两点，为坐标原点，求证：．解：（1）由题可得，因为直线与直线相互垂直，所以，即，解得，所以椭圆的方程为：；证明：（2）设直线方程为，联立得，设，，，，则有，，，令，则，同理可得，所以，则，因为，所以，即，得证．4．椭圆的右焦点为，规定直线为椭圆的右准线，椭圆上的任意一点到右焦点的距离与其到右准线的距离之比为．已知椭圆．（1）若点，是椭圆上的任意一点，求的最小值；（2）若，分别是椭圆的左、右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点，非顶点），证明：直线与的交点在椭圆的右准线上．解：（1）根据条件可得椭圆的右准线为，，若垂直于右准线，如图，则，即，所以，故当仅当，，三点共线时，最短，即为到右准线的距离，故的最小值为5；证明：（2）由题意，设，，，，，联立得：，则，，又，，则，，当时，，，而，即，所以直线与的交点在椭圆的右准线上，得证．5．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过定点的直线与椭圆相交于、两点，已知点，设直线、的斜率分别为、，求证：．解：（1）因为椭圆离心率为，且过点，所以，解得，，所以椭圆的方程为．（2）证明：若的斜率不存在，则，，此时，若的斜率存在，设，，，，设的方程为，，得，由韦达定理得，，则，，所以，，所以．6．已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆右焦点与上顶点，原点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2），是椭圆上两动点，，是一定点，且满足，证明：直线过定点．解：（1）由题可得，解得，，，所以椭圆的方程为；证明：（2）设，，，，当直线斜率不存在时，则、两点坐标关于轴对称，设直线方程为，，联立，得，①又，②由①②解得或（舍去），所以直线方程为，即直线过定点；当直线斜率存在时，由椭圆的对称性，定点一定在轴上，设其方程为联立得，则△，即有，，，同理可得，又，化简得，解得或，当时，直线为，恒过定点，；当时，直线为，恒过定点．