65.双曲线1 2022届高三数学一轮复习大题练

这是一份65.双曲线1 2022届高三数学一轮复习大题练，共8页。试卷主要包含了已知双曲线的离心率为2等内容，欢迎下载使用。
一轮复习大题专练65—双曲线11．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左顶点为，右焦点为；点在双曲线上，直线与双曲线交于，两点，且当直线的斜率为时，．（1）求双曲线的方程；（2）若，求到直线的距离．1．解：（1）当直线的斜率为时，即，又，可得为等腰直角三角形，且，设，可得，则，可得，，由点在双曲线上，可得，解得，，，则双曲线的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，，关于轴对称，设，，，，由，可得，且，解得，则直线的方程为，则到直线的距离为；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，，，由可得，△，，，，由，可得，即，可得，所以到直线的距离为．综上可得，到直线的距离为． 2．已知双曲线的离心率为2．且过点．（1）求双曲线的方程；（2）设点、分别为双曲线的右顶点、左焦点，点为上位于第二象限的动点，是否存在常数，使得？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．2．解：（1）离心率，，又，双曲线方程，把点代入双曲线方程得，，解得，故双曲线的方程为：；（2）由（1）知：双曲线方程，，，①当直线的斜率不存在时，则，，，，此时．②当直线的斜率存在时，设，，，，其中，，渐近线方程为：，，，又，，，，又，，，综上：存在常数满足：． 3．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，，点为坐标原点．（1）求双曲线的标准方程；（2）当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点，，若，求实数的取值范围．3．解：（1），双曲线渐近线方程为，以为直径的圆过点，，不妨取，，，，，双曲线的标准方程为；（2）由题意可知，设，，，，线段中点，，联立，得，依题意，即①，，，，，，，，②，又③，由①②③得或，的取值范围为． 4．已知双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为．（Ⅰ）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）若斜率为的直线与双曲线交于两个不同的点，，线段的中垂线与轴交于点，求实数的取值范围．4．解：（Ⅰ）双曲线的渐近线方程为，由一条渐近线的倾斜角为，可得，由双曲线经过点，可得，解得，，所以双曲线的方程为；（Ⅱ）设直线的方程为，，，，，联立直线与双曲线方程，得，所以，，所以，△，即，①所以线段中点为，，所以线段的垂直平分线的方程为，又因为线段的垂直平分线过点，所以，化为，代入①式，得，解得，或，或，且，所以的取值范围为，，，，． 5．设双曲线的左、右焦点分别是，，渐近线分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，且的面积为．（1）求双曲线的离心率；（2）动直线分别交直线，于，两点，分别在第一、四象限），且的面积恒为8，是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线，若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由．5．解：（1）由双曲线性质知，由，，得，解得，所以双曲线的离心率．（2）由 （1）得渐近线，，设双曲线得方程为，依题意得直线的斜率不为零，因此设直线的方程为，设直线交轴于点，，，，，联立得，同理得．由的面积，得，即，联立得，，因为，所以，直线与双曲线只有一个公共点当且仅当△，即△，将（1）式代入可得，因此双曲线的方程为，因此，存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线，双曲线的方程为．6．已知双曲线的右焦点为，离心率为2，直线与的一条渐近线交于点，且．（1）求双曲线的标准方程；（2）设为双曲线右支上的一个动点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．解：（1）根据双曲线的对称性，不妨设直线与渐近线的交点为，且的坐标为，，由，可得，又，即，由可得，则，所以双曲线的标准方程为；（2）假设存在满足题设条件．由（1）可得双曲线的右焦点，设，为双曲线右支上一点，则，①当时，，因为，所以，于是，所以，即．②当时，，，因为，所以，当时，上式化为，又，即，代入上式，可得，所以，解得，即；当时，，即，也满足．综上可得，满足条件的存在，其坐标为．