66.双曲线2 2022届高三数学一轮复习大题练

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一轮复习大题专练66—双曲线21．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，且经过点，．（1）求双曲线的标准方程；（2）已知，是双曲线上关于原点对称的两点，垂直于的直线与双曲线有且仅有一个公共点，当点位于第一象限，且被轴分割为面积比为的两部分时，求直线的方程．1．解：（1）由题意，双曲线的右焦点为，则①，又双曲线经过点，，所以②，由①②可得，，，所以双曲线的标准方程为；（2）因为，是双曲线上关于原点对称的两点，设，，则，，连接，连接交轴于点，连接，令直线交直线于点，过点作于，则，所以，则，过点作于点，且交轴于点，，所以，则，故，，又，由题意，被轴分割为面积比为的两部分，所以，解得，因为直线于双曲线只有一个交点，，所以直线的方程为，故，又，所以，因为点，在双曲线上，则，解得，所以，由题意可知，，故，所以直线的方程为．2．已知双曲线的离心率为2，点在上，为的右焦点．（1）求双曲线的方程；（2）设为的左顶点，过点作直线交于，，不与重合）两点，点是的中点，求证：．2．解：（1）由题意可得，解得，，所以双曲线的方程为；（2）证明：当直线的斜率为0时，此时，中有一个点与重合，不符合题意，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设，，，，联立，整理可得：，则，可得，且，，因为，，，所以，所以可证得．3．在平面直角坐标系中，已知双曲线．（1）写出过双曲线的左顶点且与双曲线两条渐近线平行的直线方程；（2）设是的左焦点，是右支上一点．若，求过点的坐标；（3）设斜率为的直线交于、两点，若与圆相切，求证：．3．解：（1）双曲线，所以，双曲线的左顶点，渐近线方程为，渐近线的斜率为，所以过双曲线的左顶点且与双曲线两条渐近线平行的直线方程，即或；（2）双曲线左焦点，设，则，由点是右支上的一点，可知，所以，得，所以，；（3）证明：设直线的方程为，因直线与已知圆相切，故，即①，由，得，设，，，，则，，又．所以．由①式可知，所以，．4．已知双曲线的一个焦点为，且经过点．（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点是上一定点，过点的动直线与双曲线交于，两点，若为定值，求点的坐标及实数的值．4．解：（1）由题意可得，，且，解得，所以双曲线的方程为．（2）设，过点的动直线为，设，，，，联立得，所以，由，且△，解得且，，即，即，化简得，，化简得，由于上式对无穷多个不同的实数都成立，所以，将①代入②得，从而，如果时，那么，此时不在双曲线上，舍去，因此，从而，代入，解得，，此时，在双曲线上，综上，，，或者，，．5．已知双曲线，焦距为，渐近线方程为．（1）求双曲线的方程；（2）已知，是双曲线上关于轴对称的两点，点是上异于，的任意一点，直线、分别交轴于点、，试问：是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中是坐标原点）．5．解：（1），，又因为渐近线方程为．，，，，．（2）是定值，定值为2．法一：设直线的方程为，，，，代入，得，因为渐近线方程为，与渐近线不平行，设点，，，，则，，由韦达定理可得：，由，，三点共线得，，，即为定值．法二：是定值，定值为2，设点，，，，则，，，令，，同理：，因为点，，，，在双曲线上，，，（3），由（1）（2）可得：，，代入（3）可得：（定值）．6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，过焦点且斜率为的直线与的两条渐近线分别交于，两点，且满足．（1）求的方程；（2）过点且斜率不为0的直线交于，两点，且，求直线的方程．6．解：（1）双曲线的渐近线方程为，过点且斜率为的直线方程为，联立方程组，解得，联立方程组，解得，由于，即，则，解得，所以双曲线的方程为；（2）设的方程为，联立方程组，可得，则△，解得且，设，，，，则，则，所以，的中点的坐标为，由于，所以，则，所以，化简可得，解得或，由于且，故，所以直线的方程为．