68.抛物线2（定点问题1） 2022届高三数学一轮复习大题练

这是一份68.抛物线2（定点问题1） 2022届高三数学一轮复习大题练，共9页。试卷主要包含了已知抛物线上一点，到焦点的距离等内容，欢迎下载使用。
一轮复习大题专练68—抛物线2（定点问题1）1．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上一点且的面积为（其中为坐标原点），不过点的直线与抛物线交于，两点，且以为直径的圆经过点．（1）求抛物线的方程；（2）求证直线恒过定点．1．（1）解：由题意，抛物线的焦点为，点，是抛物线上一点，可得，又由的面积为，可得，解得，所以抛物线的方程为．（2）证明：设，，，，直线，联立方程组，消去得，则△，且，，所以，，因为以为直径的圆经过点，可得，所以，解得或，当时，恒过（不满足题意，舍去）；当时，恒过，所以直线恒过定点． 2．过点的任一直线与抛物线交于两点，，且．（1）求的值；（2）已知，为抛物线上的两点，分别过，作抛物线的切线和，且，求证：直线过定点．2．解：（1）、依题意可设直线的方程为：，设，，，，由得，可得，，因为．即有，则，（2）证明：设，，，，由（1）可知，，则在，处的切线的斜率分别为，，，，即，设直线的方程为，联立，，，，，直线过定点． 3．已知抛物线上一点，到焦点的距离．（1）求的方程；（2）点、在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．3．解：（1）由抛物线定义，得，由题意得，，解得所以抛物线的方程为．（2）证明：①直线斜率不存在时，不成立；②直线斜率不存在时，设直线解得，设，，，，则，，因为，所以，得，所以，得，即，当时，过定点，不符合题意；当时，直线过点，所以点在以为直径的圆上，故当为的中点时，定值． 4．已知过点的直线与抛物线相切于点，．（1）求，；（2）设直线与相交于点，，射线，与的另一个交点分别为，，问：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．4．解：（1）由题意可设切线的方程为：，联立，化为：，则△，化为：，又，，解得：，，．（2）设，，，，联立，化为：，△，解得．，，射线的方程为：，，射线的方程为：，，联立，化为：，，，，可得，．同理可得，，直线的方程为：，化为：，，即，化为：，直线经过定点． 5．设，为双曲线的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形．（1）求双曲线的离心率；（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点点距离的最小值为3，（ⅰ）求双曲线方程；（ⅱ）已知直线，分别交直线于，两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．5．解：（1）由轴时，为等腰直角三角形，可得，所以，即，故，因为，解得，故双曲线的离心率为2；（2）由双曲线的几何性质可知双曲线左顶点到右焦点的距离最小，最小距离为，即，又，所以，，所以，所以双曲线的方程为：，由题知直线的斜率不为0，设直线，，，，，联立直线与双曲线的方程得，化简得，，根据根与系数的关系得，，，①所以，②，③设直线，直线，令，可得，，，，设是以为直径的圆上的任意一点，则，则以为直径的圆的方程为：，由对称性可得，若存在定点，则一定在轴上，令，可得，即，将①②③代入，可得，即，解得或2，所以以为直径的圆过定点，． 6．在平面直角坐标系中，抛物线上一点，到焦点的距离，不经过点的直线与交于，．（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线，的斜率之和为2，证明：直线过定点． 6．（1）解：抛物线的焦点，准线方程为，因为抛物线上一点，到焦点的距离，由抛物线的定义得，所以．所以抛物线的标准方程是；（2）证明：将代入可得或（舍，所以点坐标为，因为直线的斜率不等于0，设直线的方程是，，，，，联立，得，因为直线与有两个交点，所以△，即．由韦达定理得，因为直线，的斜率之和为2，所以，所以，将代入上式可得：，即，所以直线的方程是，它过定点．