69.抛物线3（定点问题2） 2022届高三数学一轮复习大题练

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一轮复习大题专练69—抛物线3（定点问题2）1．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上一点且三角形的面积为（其中为坐标原点），不过点的直线与抛物线交于，两点，且以为直径的圆经过点，过点作交于点．（1）求抛物线的方程；（2）求证直线恒过定点，并求出点的轨迹方程．1．解：（1）由题意得，故，解得，故拋物线的方程为．（2）证明：易得，由题意可设直线的方程为，，，，，由，消去，得，故△，，，因为，所以，即，整理得，即，即，所以，所以或，当，即时，直线的方程为，此时直线过点，不合题意舍去；当，即时，直线的方程为，此时直线恒过定点．设，则由，即，得，即，即轨迹是以为直径的圆（除去点． 2．已知抛物线，是坐标原点，是的焦点，是上一点，，．（1）求的标准方程；（2）设点，在上，过作两条互相垂直的直线，，分别交于，两点（异于点）．证明：直线恒过定点．2．解：（1）由，，可得，代入．解得或（舍，所以抛物线的方程为：．（2）证明：由题意可得，直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，，，，由，得，从而，且，．又，，，故，整理得．即，从而或，即或．若，则，过定点，与点重合，不符合：若，则，过定点．综上，直线过异于点的定点． 3．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离为，到直线距离为，且，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知斜率之和为的两条直线，相交于点，直线，与曲线分别相交于，，，四点，且线段、线段的中点分别为，，问：直线是否过定点？若过定点，请求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．3．解：（1）因为动点到点的距离为，到直线距离为，且，则动点到点的距离等于到直线的距离，所以点的轨迹为抛物线，其焦点坐标为，故曲线的方程为；（2）设，的方程分别为，，联立方程组，可得，所以，则，同理可得，所以，由，所以，则直线的方程为，整理可得，故直线恒过定点． 4．在平面直角坐标系中，已知点，，直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设曲线与轴交于、两点，过定点的直线与曲线交于、两点（与、不重合），证明：直线，的交点在定直线上．4．解：（1）设，点，，直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为，，化简整理可得，，故点的轨迹是椭圆，方程为．（2）证明：由题意知，直线的斜率不为0，设过点的直线方程为，代入椭圆的方程，化简整理可得，，△，设，，，，，，由韦达定理可得，，①，由（1）得，，则直线的方程为，直线的方程为，联立两直线方程，消去可得，②，将，代入②，整理可得③，将①式代入③，整理可得，，即直线与直线的交点的横坐标恒等于，故直线，的交点恒在定直线上． 5．设抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，已知，．（1）求抛物线的方程；（2）过焦点作直线交于，两点，为上异于，的任意一点，直线，分别与的准线相交于，两点，证明：以线段为直径的圆经过轴上的两个定点．5．解：（1）设点，，因为点在抛物线上，，则，即，即．．因为，则．因为，则，即．，所以，化简得，解得，所以抛物线的方程是．（2）设直线的方程为，代入，得．设点，，，，则，．设点，，则，直线 的方程为，令，得，所以点．同理，点．设以线段为直径的圆与轴的交点为，则，．因为，则，即，则，解得或．故以线段为直径的圆经过轴上的两个定点和． 6．已知椭圆过点，离心率为，抛物线的准线交轴于点，过点作直线交椭圆于，．（1）求椭圆的标准方程和点的坐标；（2）若是线段的中点，求直线的方程；（3）设，是直线上关于轴对称的两点，问：直线于的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．
6．解：（1）因为椭圆过点，离心率为，则有，且，解得，，故椭圆的方程为，所以准线为，故点；（2）设，，因为是线段的中点，则，由题意可得，，解得，所以直线的方程为；（3）设，，设直线的方程为，设，，，联立方程组，可得，所以，则直线，直线，联立直线与，可得交点横坐标为，又，解得，所以与的交点恒在直线上．