70.抛物线4（面积最值问题1） 2022届高三数学一轮复习大题练

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一轮复习大题专练70—抛物线4（面积最值问题1）1．已知抛物线，过点的直线交抛物线于，，且为坐标原点）．（1）求抛物线的方程；（2）过作与直线垂直的直线交抛物线于、，求四边形面积的最小值．1．解：（1）设直线为，，，，，联立方程，消去得：，，，，由得：，，解得，抛物线的方程为．（2）由（1）得，，，，，，令，则，故当时，四边形面积有最小值． 2．已知抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，且的中点的纵坐标为2．（1）求的方程；（2）已知，，若在线段上，，是抛物线的两条切线，切点为，，求面积的最大值．2．解：（1）设点，，，，则，．直线的斜率为1，，把、的坐标代入抛物线方程，可得，两式作差得，，即，，即，得．抛物线的方程为；（2），，在线段上，，且．设，，，，则切线，的斜率存在，设直线的方程为，与抛物线联立，可得．，即，则，切线的方程为，即；同理可得切线的方程为．又点在切线、上，，得直线的方程为，即．联立，得，．又点到直线的距离，．，，，则．即面积的最大值为． 3．已知曲线上任意一点到点的距离与到直线距离之比为，在曲线上取、两点，使得线段的中点在圆上．（1）求曲线的方程；（2）若为坐标原点，求面积的最大值．3．解：（1）设曲线上任一点，则，化简得的方程；（2）当轴时，位于轴上，且，由可得，所以，当不垂直轴时，设的方程为，与椭圆交于，，，，由得，所以，从而， 由在圆上，可得，因为，设到直线的距离为，则，所以，故，当且仅当时，即时，等号成立，所以，当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为2． 4．如图，已知抛物线，斜率为1的直线与抛物线交于两个不同的点，，过，分别作抛物线的切线，交于点．（Ⅰ）求点的横坐标；（Ⅱ）已知为抛物线的焦点，连接，，，记面积为，面积为，记面积为，求的最小值．4．解：（Ⅰ）直线的斜率为1，故可设直线的方程为，设，，，，，，联立直线与抛物线的方程可得：，化简可得，由已知方程有两个不同的解，方程判别式△，即，，，，，切线的方程为，又，切线的方程为，①同理切线的方程为：，②①②可得，，，，点的横坐标为2．（Ⅱ）直线的方程为，点的坐标为，，，设点到直线的距离，点到直线的距离，则，，又，同理，设点到直线的距离，则，又，，，，设，则，，设，则，令可得，当时，，当时时，，，的最小值为． 5．已知点，直线，的斜率之积为，设点的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；（Ⅱ）若抛物线与曲线交于点，，设，求面积最大时的值．5．解：（Ⅰ）设，因为直线，的斜率之积为，且点，则，化简可得，故曲线的轨迹方程为；（Ⅱ）不妨设抛物线和曲线在第一象限内的交点为，则，因为点满足，所以，令，则，令，解得，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，取得最大值，此时，故抛物线过点，所以，解得．  6．已知抛物线，直线经过点，并与抛物线交于，两点．（1）证明，在轴上存在一个定点，使得；（2）若直线，分别交轴与，两点，设的面积为，的面积为，求的最小值．6．（1）证明：设，，，，，直线的方程为，联立方程组，整理得，可得，，由，可得，即，因为，可得，整理得，即，又因为，，所以，当时，此时直线方程为，此时，关于轴对称，显然；当时，解得，此时点，能使得，综上可得，在轴上存在一点，使得．（2）解：由，又由，则，又由直线的方程为，令，可得，同理可得，所以，两式相加可得，即，当直线的斜率不存在时，此时，可得，且，此时；当直线的斜率存在时，此时，则，又由，整理得，可得，代入上式，可得，所以，令，可得，令，则，所以，又因为函数在上为单调递增函数，所以，综上可得，面积的最小值为．