72.抛物线6（取值范围问题） 2022届高三数学一轮复习大题练

这是一份72.抛物线6（取值范围问题） 2022届高三数学一轮复习大题练，共10页。试卷主要包含了椭圆具有如下的光学性质，如图等内容，欢迎下载使用。
一轮复习大题专练72—抛物线6（取值范围问题）1．椭圆具有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线会交于椭圆的另焦点上．已知焦距为2的椭圆的左、右焦点分别为，，从发出的一条不与轴重合的光线，在椭圆上依次经，两点反射后，又回到点，这个过程中光线所经过的总路程为8．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线，且满足，若，求实数的取值范围．1．解：（1）由椭圆的光学性质知过椭圆左焦点，由椭圆定义知，，，即，，所以，所以椭圆方程为；（2）由已知，设，，，，则直线方程为，联立方程组可得，则，，，，，，可得，则，消去可得，，，即，解得，．实数的取值范围：， 2．已知动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数．（1）求点的轨迹．（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且，求直线的斜率的取值范围．2．解：（1）由条件得，化简可得，所以点的轨迹方程为；（2）设直线的方程为，，，，由，得，则△，所以，所以，，因为，即，所以，所以，所以，所以，解得，所以，解得或，所以直线的斜率的取值范围为，或，． 3．如图，已知抛物线，过点作斜率为的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），直线交轴于点，过点作斜率为的直线交抛物线于另一点，且交轴于点，且满足，记，的面积分别为，．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）求的取值范围．3．解：（Ⅰ）设，，，，由题意可知，直线的方程为，联立方程组，可得，则，，所以；（Ⅱ）设，，，，，，则直线的方程为，直线的方程为，联立方程组，可得，所以，联立方程组，可得，所以，解得，所以，因为，故，所以，令，则，故的取值范围为． 4．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点，在抛物线上，其中，弦的中点为，以为端点的射线与抛物线交于点．（1）若恰好是的重心，求；（2）若，求的取值范围．4．解：（1）设，，由是的重心，得，．即，，，因为，得；（2）因为为弦的中点，即，所以，因为、、三点共线，所以．由直线斜率不为0，故设直线，由消去得．得，其中，则，因为，即有，所以． 5．如图，已知抛物线，斜率为正的直线交抛物线于，两点，交轴的负半轴于点，以为直径的圆与轴相切于点，交轴于点，．（Ⅰ）求抛物线的准线方程；（Ⅱ）求的最大值．5．解：（Ⅰ）由题意知抛物线的准线方程是．（Ⅱ）由题意可设直线，，，，．将直线的方程代入抛物线得，所以，，点的坐标，满足，．由得，代入并化简得．又，，，由勾股定理得，则，当且仅当，即时等号成立．由于，解得．记，，注意到，则存在符合题意．因此，的最大值是8． 6．如图．已知抛物线，直线过点与抛物线相交于，两点，抛物线在点，处的切线相交于点，过，分别作轴的平行线与直线上交于，两点．（Ⅰ）证明：点在直线上，且；（Ⅱ）记，的面积分别为和．求的最小值．6．解：（Ⅰ）证明：因为不平行于轴，设直线的方程为，，，，，因为，不妨令，则，所以，所以，所以过点的切线方程为，整理得，同理，过点的切线方程为，联立两切线方程，解得，，又，得，所以，，代入可得，满足，所以点在直线上，又，，所以，所以为，的中点，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，，，所以，同理，所以，当时，有最小值． 7．已知抛物线的准线经过椭圆的一个焦点．（1）求抛物线的方程；（2）过椭圆的右顶点且斜率为，的两条直线分别交抛物线于点，，，，点，分别是线段，的中点，若，求抛物线的焦点到直线的距离的最大值． 7．解：（1）因为椭圆的焦点坐标为，抛物线的准线方程为，所以，解得，故抛物线的方程为；（2）设直线的方程为，设，，，，联立，可得，则，且，，故，同理可得，则直线的方程为，即，故直线经过定点，所以焦点到直线的距离的最大值为．