74.抛物线8（求值问题） 2022届高三数学一轮复习大题练

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一轮复习大题专练74—抛物线8（求值问题）1．已知抛物线的焦点为，点，，为抛物线上相异三点．（1）若，求使取得最小值时的点的坐标：（2）在（1）的条件下，若直线和直线的斜率，满足，求直线的斜率．1．解：（1）因为抛物线，点，所以点在抛物线内，设点到准线的距离为，则，当点，，三点共线时，最小，此时点的纵坐标为4，故点的坐标为；（2）设，又，所以，，因为，所以，故，解得，故直线的斜率为． 2．已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于，，，两点，．（1）求抛物线的方程；（2）为坐标原点，为上一点，若，求的值．2．解：（1）直线的方程可表示为，与抛物线方程联立可得方程组，消去得，解得，．由，得，解得，所以抛物线的方程为．（2）由（1）可得，，设，，由，得，所以，因为点在抛物线上，所以，化简得，解得或． 3．已知圆，点是圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为．（1）若点满足，求点的轨迹方程；（2）若过点且斜率分别为，的两条直线与（1）中的轨迹分别交于点、，、，并满足，求的值．3．解：（1）设的坐标为，的坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，，，，，，又点是圆上的动点，，即，．（2）设，，，，所在的直线方程为，联立直线，化简整理可得，，则，，，同理可得，，，，化简可得，，又，，故． 4．已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最小值为4．（1）求的方程；（2）设点，，过点且斜率存在的两条直线分别交曲线于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．4．解：（1）由题意可知，，，，，，抛物线的方程为．（2）由题意可知，直线和直线的斜率存在且不为0，分别设为，，则直线的方程为，直线的方程为，联立方程，消去得：，由题意知△恒成立，设，，，，则，，，同理可得，由得，，，． 5．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点．（1）求抛物线的方程；（2）已知直线与抛物线交于，两点，在抛物线上是否存在点，使得直线，分别于轴交于，两点，且，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．5．解：（1）平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点，故可设抛物线的方程为，把点的坐标代入，可得，求得，故抛物线的方程为．（2）如图：由，可得，△，，且，．设抛物线上存在点，，使得直线，分别于轴交于，两点，且，则，．，，故存在点，使得成立． 6．已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，直线过点与抛物线相交于，两点（点位于第一象限）．（1）求证：；（2）如图，连接，并延长分别交抛物线于，点，设直线的斜率为，直线，的斜率为，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 6．解：（1）设直线方程为，，，，，联立直线与抛物线的方程，，消去，得，故，又，所以，即．（2）设，，，，由焦点，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，消去，得，所以，，则，同理可得，，所以，又，所以，即为定值．