辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含答案）

辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高二数学上学期期中试题

考试时间：120分钟试卷总分：150分

注意事项：

本试卷由第I卷和第II卷两部分组成。第I卷和第II卷选择题部分，一律用2B铅笔按题号依次填涂在答题卡上；第I卷和第II卷非选择题部分，按要求答在答题卡相应位置上。

第I卷(选择题)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知复数z＝，则的虚部为

A.1     B.－1     C.i     D.－i

2.设向量{，，}是空间的一个基底，则一定可以与向量＝＋，＝－构成空间的另一个基底的向量是

A.     B.     C.     D.或

3.已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是

A.外离     B.外切     C.相交     D.内切

4.已知空间A、B、C、D四点共面，但任意三点不共线，若P为该平面外一点且，则实数x的值为

A.     B.－     C.     D.－

5.已知直线kx－y－k－1＝0和以M(－3，1)，N(3，2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为

A.k≤     B.k≥－     C.－≤k≤     D.k≤－或k≥

6.已知三棱锥P－ABC中，∠PAC＝∠PAB＝45°，且∠BAC＝60°，则直线PA与底面ABC所成角的正弦值为

A.     B.     C.     D.

7.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(0，4)，C(0，－4)，顶点B在椭圆上，则＝

A.     B.     C.     D.

8.设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是

A.4     B.10     C.     D.5

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.已知方程表示双曲线，则此时

A.双曲线的离心率为              B.双曲线的渐近线方程为x±y＝0

C.双曲线的一个焦点坐标为(，0)    D.双曲线的焦点到渐近线的距离为1

10.设几何体ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，A1C与B1D相交于点O，则

A.＝a2    B.＝a2    C.＝－a2    D.＝a2

11.下列说法错误的是

A.“a＝－1”是“直线a2x－y＋1＝0与直线x－ay－2＝0互相垂直”的充要条件

B.直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角θ的取值范围是

C.过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为

D.经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0

12.已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则实数a的值可以为

A.－5     B.－4     C.0     D.2

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)则x，y满足的关系式为         。

14.已知M，N分别是四面体OABC的校OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP＝2PN，设向量，，，则＝         (用{，，}表示)

15.已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是         。

16.若直线x＋y－m＝0与曲线y＝2－没有公共点，则实数m所的取值范围是         。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知复数z＝(m2－5m＋6)＋(m2－8m＋15)i，i为虚数单位，m为实数。

(1)当z为纯虚数时，求m的值；

(2)当复数z－8i在复平面内对应的点位于第四象限时，求m的取值范围。

18.(12分)

已知平面内两点A(－1，2)，B(1，4)。

(1)求过点P(2，－3)且与直线AB平行的直线l的方程；

(2)一束光线从B点射向(1)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程。

19.(12分)

如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°。点D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，PA＝AC＝4，AB＝2。

(I)求证：MN//平面BDE；

(II)求直线MN到平面BDE的距离；

(III)求二面角B－DE－P的大小。

20.(12分)

已知双曲线C1的方程为，椭圆C2与双曲线有相同的焦距，F1，F2是椭圆的上、下两个焦点，已知P为椭圆上一点，且满足，若△PF1F2的面积为9。

(1)求椭圆C2的标准方程；

(2)点A为椭圆的上顶点，点B是双曲线C1右支上任意一点，点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程。

21.(12分)

如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，BD⊥CD。将△ABD沿BD折起，折起后点A的位置为点P，得到几何体P－BCD，如图2所示，且平面PBD⊥平面BCD。

(1)证明：PB⊥平面PCD；

(2)若AD＝2，当PC和平面PBD所成角的正切值为时，试判断线段BD上是否存在点E，使二面角D－PC－E平面角的余弦值为？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由。

22.(12分)

已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey－12＝0关于直线x＋2y－4＝0对称，且圆心在y轴上。

(1)求⊙C的标准方程；

(2)已知动点M在直线y＝10上，过点M引⊙C的两条切线MA、MB，切点分别为A，B。

①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值；

②证明直线AB恒过定点。