初中冀教版第七章 相交线与平行线综合与测试课后复习题

冀教版七年级数学下册第七章相交线与平行线章节练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  0分）

一、单选题（10小题，每小题0分，共计0分）

1、下列命题中，是假命题的是（     ）

A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

B．同旁内角互补，两直线平行

C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行

2、如图，直尺的一条边经过直角三角尺的直角顶点且平分直角，它的对边恰巧经过60°角的顶点．则∠1的大小是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

3、下列各图中，和是对顶角的是（   ）

A． B．

C． D．

4、下列说法错误的是（       ）

A．经过两点，有且仅有一条直线

B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C．两点之间的所有连线中，线段最短

D．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行

5、下列命题是真命题的是（     ）

A．内错角相等

B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C．相等的角是对顶角

D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

6、如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上．若∠1＝50°，则∠2的度数为（       ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

7、如图，已知直线，相交于O，平分，，则的度数是（       ）

A． B． C． D．

8、如图，直线b、c被直线a所截，则与是（     ）

A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角

9、北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的（如图）．下面四个图案中，可以通过平移图案得到的是（       ）

A． B． C． D．

10、一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝28°，则∠2＝（　　）

A．62° B．58° C．52° D．48°

第Ⅱ卷（非选择题  100分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、下列命题：①等角的余角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等；⑤过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段叫做这个点到这条直线的距离．叙述正确的序号是________．

2、按要求完成下列证明：如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，，．求证：．

证明：，

　　　　．

，

　　　　．

　　．

3、如图，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的补角，则∠BAH的度数是______．

4、如图，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝_______．

5、如图，小明同学在练习本上的相互平行的横格上先画了直线，度量出∠1＝112°，接着他准备在点A处画直线．若要使∥，则∠2的度数为_____度．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、完成下面的证明：

已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC．

证明：∵AB⊥AC（已知）

∴∠　   　＝90°（ 　   　）

∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知）

∴∠1+∠BAC+∠B＝　   　（ 　   　）

即∠　   　+∠B＝180°

∴AD∥BC（ 　   　）

2、如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，试判断AD与BC是否平行．

解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），

∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝　　（ 　　）．

又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，

∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD

＝2（∠1+∠2）

＝　　°（等式性质）．

又∵∠B＝64°（已知），

∴∠BAD+∠B＝　　°．

∴　　　　（ 　　）．

3、如图，已知∠1＝∠2＝52°，EFDB．

(1)DG与AB平行吗？请说明理由；

(2)若EC平分∠FED，求∠C的度数．

4、如图1，直线AC∥BD，直线AC、BD及直线AB把平面分成（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六个部分．点P是其中的一个动点，连接PA、PB，观察∠APB、∠PAC、∠PBD三个角．规定：直线AC、BD、AB上的各点不属于（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六个部分中的任何一个部分．

(1)当动点P落在第（1）部分时，可得：∠APB＝∠PAC＋∠PBD，请阅读下面的解答过程，并在相应的括号内填注理由

过点P作EF∥AC，如图2

因为AC∥BD（已知），EF∥AC（所作），

所以EF∥BD______．

所以∠BPE＝∠PBD______．

同理∠APE＝∠PAC．

因此∠APE＋∠BPE＝∠PAC＋∠PBD______，

即∠APB＝∠PAC＋∠PBD．

(2)当动点P落在第（2）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出∠APB、∠PAC、∠PBD之间满足的关系式，不必说明理由．

(3)当动点P在第（3）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论．

(4)当动点P在第（4）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论．

5、如图，方格纸中每个小正方形的边长为1cm，点A、B、C均为格点．

(1)根据要求画图：

①过C点画直线MN∥AB；②过点C画AB的垂线，垂足为D点．

(2)图中线段        的长度表示点A到直线CD的距离；

(3)三角形ABC的面积＝        cm2．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

根据垂线公理，平行线的判定，平行线的传递，平行线的性质进行判断即可．

【详解】

解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这个命题为真命题；

B、同旁内角互补，两直线平行，这个命题为真命题；

C、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，这个命题为真命题；

D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故这个命题是假命题．

故选：D．

【点睛】

本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

2、D

【解析】

【分析】

由AC平分∠BAD，∠BAD=90°，得到∠BAC=45°，再由BD∥AC，得到∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，由此求解即可．

【详解】

解：∵AC平分∠BAD，∠BAD=90°，

∴∠BAC=45°

∵BD∥AC，

∴∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，

∵∠CBD=∠ABD+∠ABC=45°+60°=105°，

∴∠1=75°，

故选D．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．

3、D

【解析】

【分析】

由题意根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答．

【详解】

解：根据对顶角的定义：

中和顶点不在同一位置，不是对顶角；

中和角度不同，不是对顶角；

中和顶点不在同一位置，不是对顶角；

中和是对顶角；

故选：．

【点睛】

此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．

4、D

【解析】

【分析】

根据垂线的性质、线段的性质、直线的性质、平行公理判断下列选项．

【详解】

解：由垂线的性质、线段的性质、直线的性质可知、、正确；

A、根据直线的性质可知选项正确，不符合题意；

B、根据垂线的性质可知选项正确，不符合题意；

C、根据线段的性质可知选项正确，不符合题意；

D、由平行公理可知选项不正确，需要保证该点不在已知直线上，符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了垂线的性质、线段的性质、直线的性质、平行公理，解题的关键是掌握相关的概念．

5、D

【解析】

【分析】

根据平行线的性质、垂直的判定、对顶角和平行线的判定进行判断即可．

【详解】

解：A、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题；

B、在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；

C、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；

D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题；

故选：D．

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、垂直的判定、对顶角和平行线的判定．

6、B

【解析】

【分析】

由平角的定义可求得∠BCD的度数，再利用平行线的性质即可求得∠2的度数．

【详解】

解：如图所示：

∵∠1＝50°，∠ACB＝90°，

∴∠BCD＝180°﹣∠1﹣∠BCD＝40°，

∵a∥b，

∴∠2＝∠BCD＝40°．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．

7、C

【解析】

【分析】

先根据角平分线的定义求得∠AOC的度数，再根据邻补角求得∠BOC的度数即可．

【详解】

解：∵OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，

∴∠AOC＝∠EOC＝50°，

∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝130°．

故选：C．

【点睛】

本题考查角平分线的有关计算，邻补角．能正确识图是解题关键．

8、B

【解析】

【分析】

根据对顶角、同位角、内错角、同旁内角的特征去判断即可．

【详解】

∠1与∠2是同位角

故选：B

【点睛】

本题考查了同位角的含义，理解同位角的含义并正确判断同位角是关键．

9、A

【解析】

【分析】

根据平移只改变图形的位置不改变图形的形状和大小解答．

【详解】

解：能通过平移得到的是A选项图案．

故选：A

【点睛】

本题考查了利用平移设计图案，熟记平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状并准确识图是解题的关键．

10、A

【解析】

【分析】

过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等）即可求解．

【详解】

解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，

∵直尺的两边互相平行，

∴，

∴，

∴，

故选：A．

【点睛】

本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．

二、填空题

1、①

【解析】

【分析】

根据相交线与平行线中的一些概念、性质判断，得出结论．

【详解】

①等角的余角相等，故正确；

②中，需要前提条件：过直线外一点，故错误；

③中，相等的角不一定是对顶角，故错误；

④中，仅当两直线平行时，同位角才相等，故错误；

⑤中应为垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，故错误．

故答案为：①．

【点睛】

本题考查概念、性质的判定，注意，常考错误类型为某一个性质缺少前提条件的情况，因此我们需要格外注意每一个性质的前提条件．解题的关键是熟练掌握以上概念、性质的判定．

2、，两直线平行，内错角相等；，等量代换；同位角相等，两直线平行

【解析】

【分析】

由题意知由两直线平行，内错角相等可得，由，可知．

【详解】

解：证明：

两直线平行，内错角相等）

（已知）

（等量代换）

（同位角相等，两直线平行）

故答案为：，两直线平行，内错角相等；，等量代换；同位角相等，两直线平行．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质与判定．解题的关键在于用角的数量关系判断两直线的位置关系．

3、60°##60度

【解析】

【分析】

设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，由题意知∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，如图，过点B作BM∥AD，过点F作FN∥AD，由AD∥CE可得AD∥FN∥BM∥CE，有∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y°，∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°由于∠F的余角等于2∠B的补角，可知90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），进行求解可得x的值，进而可求出∠BAH的值．

【详解】

解：设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°

∵∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F

∴∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，

如图，过点B作BM∥AD，过点F作FN∥AD

∵AD∥CE

∴AD∥FN∥BM∥CE

∴∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，∠ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y°

∴∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°

∵∠AFC的余角等于2∠ABC的补角

∴90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y）

解得：x＝30

∴∠BAH＝60°

故答案为：60°．

【点睛】

本题考查了角平分线，平行线的性质，余角、补角等知识．解题的关键在于正确的表示角度之间的数量关系．

4、540°

【解析】

【分析】

首先过点E、F作EG、FH平行于AB，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案．

【详解】

如图，过点E、F作EG、FH平行于AB，

∵AB∥CD，

∵AB∥EG∥FH∥CD，

∴∠1+∠MEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFN+∠4＝180°，

∴∠1+∠MEF+∠EFN+∠4＝540°，

故答案为：540°．

【点睛】

此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．

5、68

【解析】

【分析】

根据平行线的性质，得出，根据平行线的判定，得出，即可得到，进而得到的度数．

【详解】

解：∵练习本的横隔线相互平行，

，

∵要使，

∴，

又，

，

即，

 故答案为：68．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质与判定条件，解题时注意：两直线平行，同位角相等；同旁内角互补，两直线平行．

三、解答题

1、见解析

【解析】

【分析】

先根据垂直的定义可得，再根据角的和差可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证．

【详解】

证明：∵（已知），

∴（垂直的定义），

∵，（已知），

∴（等量关系），

即，

∴（同旁内角互补，两直线平行）．

【点睛】

本题考查了垂直、平行线的判定等知识点，熟练掌握平行线的判定是解题关键．

2、2∠2；角平分线的定义；116；180；AD；BC；同旁内角互补，两直线平行

【解析】

【分析】

由AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，利用角平分线的定义可得出∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2，结合∠EAF＝∠1+∠2＝58°可得出∠BAD＝116°，由∠B＝64°，∠BAD＝116°，可得出∠BAD+∠B＝180°，再利用“同旁内角互补，两直线平行”即可得出AD∥BC．

【详解】

解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），

∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线的定义）．

又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，

∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD

＝2（∠1+∠2）

＝116°（等式性质）．

又∵∠B＝64°（已知），

∴∠BAD+∠B＝180°．

∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．

故答案为：2∠2；角平分线的定义；116；180；AD；BC；同旁内角互补，两直线平行．

【点睛】

此题考查了角平分线的定义，角的计算，平行线的判定．正确掌握线段、角、相交线与平行线的知识是解题的关键，还需掌握推理能力．

3、 (1)平行，理由见解析

(2)65°

【解析】

【分析】

（1）DG与AB平行．由可得∠1＝∠D，由∠1＝∠2，可得∠2＝∠D，结论可求得；

（2）由EC平分∠FED，可得∠DEC＝∠DEF＝65°，再利用得到∠C＝∠DEC，结论可求．

(1)

解： DG与AB平行．理由：

∵，

∴∠1＝∠D．

∵∠1＝∠2，

∴∠D＝∠2．

∴．

(2)

解：∵EC平分∠FED，

∴∠DEC＝∠DEF．

∵∠1＝50°，

∴∠DEF＝180°﹣∠1＝130°．

∴∠DEC＝∠DEF＝65°．

∵，

∴∠C＝∠DEC＝65°．

【点睛】

此题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定定理及性质定理并综合应用是解题的关键．

4、 (1)平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；等式性质；

(2)∠APB＋∠PAC＋∠PBD＝180°

(3)∠PAC＝∠APB＋∠PBD

(4)∠PAC＋∠APB＝∠PBD

【解析】

【分析】

（1）根据平行公理、平行线的性质、等式的性质分别解答；

（2）过点P作EF∥AC，证明EF∥BD，推出∠BPF+∠PBD=180°，同理∠APF+∠PAC=180°．由此得到结论∠APB＋∠PAC＋∠PBD＝360°；

（3）过点P作EF∥AC，如图4，根据平行线的性质可得出∠PAC=∠APB+∠PBD；

（4）过点P作EF∥AC，如图5，根据平行线的性质可得出∠PAC+∠APB=∠PBD．

(1)

解：过点P作EF∥AC，如图2

因为AC∥BD（已知），EF∥AC（所作），

所以EF∥BD平行于同一直线的两直线平行．

所以∠BPE＝∠PBD两直线平行，内错角相等．

同理∠APE＝∠PAC．

因此∠APE＋∠BPE＝∠PAC＋∠PBD等式的性质，

即∠APB＝∠PAC＋∠PBD．

故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；等式性质；

(2)

解：过点P作EF∥AC，如图（3），

因为AC∥BD，EF∥AC，

所以EF∥BD．

所以∠BPF+∠PBD=180°．

同理∠APF+∠PAC=180°．

因此∠APF＋∠BPF+∠PAC＋∠PBD=360°，

即∠APB+∠PAC+∠PBD＝360°．

(3)

解：过点P作EF ∥ AC，如图4，

∵AC∥BD，EF∥AC，

∴EF∥BD．

∴∠MPF=∠PBD．∠APF+∠PAC=180°．

∵∠APF＋∠MPF+∠APB =180°，

∴∠PAC＝∠APB＋∠PBD；

(4)

解：过点P作EF ∥ AC，如图5，

∵AC∥BD，EF∥AC，

∴EF∥BD．

∴∠MPF=∠PBD．∠APN=∠PAC．

∵∠MPF=∠NPB =∠APB＋∠APN，

∴∠PAC＋∠APB＝∠PBD．

【点睛】

本题考查了平行公理，平行线的性质以及数形结合思想的应用，是基础知识比较简单．

5、 (1)画图见详解．

(2)AD##DA

(3)2.5####

【解析】

【分析】

（1）①根据方格纸的特点，过C点与AB平行的直线MN，应是过点C的相连的三个横方格左下角到右上角连成的对角线所在的直线．②过C点与AB垂直的直线CD，应是过点C的相连的三个竖方格左上角到右下角连成的对角线所在的直线．

（2）因为CD与AB垂直，所以点A到CD的距离就是线段AD的长度．

（3）三角形ABC的面积等于三角形所在的方格所形成的长方形的面积减掉三个小三角形的面积．

(1)

如图所示①直线MN即为所求作的图形；

②CD即为所求的AB的垂线；

(2)

∵CD⊥AB

∴点A到直线CD的距离就是线段AD的长度．

(3)

三角形ABC的面积

=3×2-(1×2÷2+1×2÷2+1×3÷2)

=6-3.5

=2.5（cm2）

【点睛】

本题考查了作图-应用与设计作图、点到直线的距离、平行线的判定和性质、三角形的面积，解决本题的关键是准确画图．