第二章 章末复习课学案

章末复习课

一、导数的计算

1．此部分内容涉及到导数的几何意义，基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导，作为数形结合的桥梁，导数的几何意义成为最近几年高考的高频考点，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值，难度中低档．

2．通过求切线方程的有关问题，培养数学运算、数学抽象等核心素养．

例1　(1)已知函数f(x)＝，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)等于(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　根据题意，知函数f(x)＝，

其导函数f′(x)＝

＝＝.

(2)设f′(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)＝x·ln(2x－1)，则f′(1)＝________.

答案　2

解析　因为f(x)＝x·ln(2x－1)，

所以f′(x)＝ln(2x－1)＋·(2x－1)′

＝ln(2x－1)＋，则f′(1)＝2.

反思感悟　导数的运算是解决一切导数问题的基础，熟练掌握基本初等函数的求导法则，掌握函数的和、差、积、商的运算法则，复合函数求导的关键是分清层次，逐层求导，一般我们只解决有两层复合的关系，求导时不要忘了对内层函数求导即可．

跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝ln x＋2x2－4x，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为(　　)

A．x－y＋3＝0   B．x＋y－3＝0

C．x－y－3＝0   D．x＋y＋3＝0

答案　C

解析　由f(x)＝ln x＋2x2－4x，得f′(x)＝＋4x－4，

所以f′(1)＝1，又f(1)＝－2，

所以函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＋2＝1×(x－1)，即x－y－3＝0.

(2)已知曲线f(x)＝aln x＋x2在点(1,1)处的切线与直线x＋y＝0平行，则实数a的值为(　　)

A．－3  B．1  C．2  D．3

答案　A

解析　由f(x)＝aln x＋x2，得f′(x)＝＋2x，则曲线在点(1,1)处的切线斜率为k＝a＋2，由切线与直线x＋y＝0平行，可得k＝－1，即a＋2＝－1，解得a＝－3.

二、函数的单调性与导数

1．利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题，是最近几年高考的重点内容，难度中高档．

2．通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养．

例2　已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.

(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围．

解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，

f′(x)＝ex＋2x－1，令φ(x)＝ex＋2x－1，

由于φ′(x)＝ex＋2>0，

故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0，

故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

(2)由f(x)≥x3＋1得，

ex＋ax2－x≥x3＋1，其中x≥0，

①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意；

②当x>0时，分离参数a得，a≥－，

记g(x)＝－，

g′(x)＝－，

令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)，

则h′(x)＝ex－x－1，

令t(x)＝h′(x)，x≥0，则t′(x)＝ex－1≥0，

故h′(x)单调递增，h′(x)≥h′(0)＝0，

故函数h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0，

由h(x)≥0可得ex－x2－x－1≥0恒成立，

故当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；

当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；

因此，g(x)max＝g(2)＝，

综上可得，a的取值范围是.

反思感悟　利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的．

跟踪训练2　设函数f(x)＝＋ln x，则(　　)

A．x＝为f(x)的极大值点

B．x＝为f(x)的极小值点

C．x＝2为f(x)的极大值点

D．x＝2为f(x)的极小值点

答案　D

解析　因为f(x)＝＋ln x，x>0，

所以f′(x)＝－＋，令f′(x)＝0，

即－＋＝＝0，解得x＝2.

当0<x<2时，f′(x)<0；

当x>2时，f′(x)>0，

所以x＝2为f(x)的极小值点．

三、与导数有关的综合性问题

1．以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间．导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具，多以选择题和填空题的形式出现，难度中低档．从近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一般出现在解答题中．其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．一般出现在高考题解答题中，难度中高档．

2．通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，解决函数方程问题，提升逻辑推理，直观想象及数学运算等核心素养．

例3　已知函数f(x)＝－ax2＋ln x(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若存在x∈(1，＋∞)，使f(x)>－a，求a的取值范围．

解　(1)f′(x)＝－2ax＋＝(x>0)，

当a≤0时，f′(x)>0，

所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝，

令f′(x)>0，得x∈；

令f′(x)<0，得x∈，

所以f(x)在上单调递增，

在上单调递减．

(2)由f(x)>－a，得a(x2－1)－ln x<0，

因为x∈(1，＋∞)，所以－ln x<0，x2－1>0，

当a≤0时，a(x2－1)－ln x<0，符合题意；

当a≥时，设g(x)＝a(x2－1)－ln x(x>1)，

则g′(x)＝>0，

所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，

所以g(x)>g(1)＝0，不符合题意；

当0<a<时，令g′(x)>0，

得x∈，

令g′(x)<0，得x∈，

所以g(x)min＝g<g(1)＝0，

则存在x∈(1，＋∞)，使g(x)<0，

综上，a的取值范围是.

反思感悟　综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数学中的思想方法，关键是分类讨论时，是否做到了不重不漏；数形结合时是否掌握了函数图象的变化趋势；构造函数时是否合理等问题．

跟踪训练3　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．

(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；

(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

解　(1)因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的建造成本为160πr2元，

所以蓄水池的总建造成本为(200πrh＋160πr2)元，

又200πrh＋160πr2＝12 000π，

所以h＝(300－4r2)，

所以V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．

因为r>0，又由h>0可得r<5，

故函数V(r)的定义域为(0,5)．

(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，

所以V′(r)＝(300－12r2)．

令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．

当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上单调递增；当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上单调递减．

由此可知，V(r)在r＝5处取得极大值也为最大值，此时h＝8，

即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．

1．曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处的切线斜率为8，则实数a的值为(　　)

A．－6  B．6  C．12  D．－12

答案　A

解析　由y＝x4＋ax2＋1，得y′＝4x3＋2ax，

则曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处的切线斜率为－4－2a＝8，得a＝－6.

2．函数y＝1＋3x－x3有(　　)

A．极小值－1，极大值1   B．极小值－2，极大值3

C．极小值－2，极大值2   D．极小值－1，极大值3

答案　D

解析　y′＝3－3x2，令y′＝3－3x2＝0，得x＝±1，

所以当x＝－1时取得极小值－1，当x＝1时取得极大值3.

3．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为(　　)

A．(－∞，－1)和(0,1)

B．(－1,0)和(1，＋∞)

C．(－1,1)

D．(－∞，－1)和(1，＋∞)

答案　A

解析　y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0，得x<－1或0<x<1，故选A.

4．已知a>0，函数f(x)＝2x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值是________．

答案　6

解析　f′(x)＝6x2－a，令f′(x)>0，得x>或x<－，所以≤1，解得0<a≤6.