北师版七年级下册数学 期末提分练案 6.2.3 分类讨论思想在等腰三角形中的六种应用类型 习题课件

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第6讲　轴对称和轴对称图形2　素养专项提升专项3　分类讨论思想在等腰三角形中的六种应用类型期末提分练案 北师版 七年级下答案显示1234见习题5见习题6见习题见习题见习题见习题【点拨】分类讨论思想是一种常用的、重要的解题思想，它在解决叙述过程复杂或条件不确定的问题时使用，分类的标准是：不重复、不遗漏．分类一方面可将复杂问题分解成若干个简单问题来解决；另一方面，恰当的分类可以避免漏解，从而提高全面考虑问题的能力，培养周密严谨的数学素养．1．若等腰三角形中有一个内角为40°，求这个等腰三角形顶角的度数．解：分两种情况讨论：(1)顶角为40°；(2)若底角为40°，则顶角为180°－40°×2＝100°.综上可知，这个等腰三角形顶角的度数为40°或100°.2．若x，y满足|x－4|＋(y－8)2＝0，求以x，y的值为边长的等腰三角形的周长．解：因为|x－4|＋(y－8)2＝0，所以x－4＝0，y－8＝0.所以x＝4，y＝8.下面分两种情况讨论：(1)当腰长为4，底边长为8时，因为4＋4＝8，所以此时不能构成三角形；(2)当腰长为8，底边长为4时，易知可以构成三角形，此时等腰三角形的周长为8＋8＋4＝20.综上可知，等腰三角形的周长为20.3．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个等腰三角形的各个内角的度数．【点拨】由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内部和在三角形外部．解：设在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.(1)当高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC的内部，如图①所示．因为∠DBC＝25°，所以∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝65°.所以∠A＝180°－2×65°＝50°.(2)当高与另一腰的夹角为25°时，如图②，当高在△ABC的内部时，因为∠ABD＝25°，所以∠A＝90°－∠ABD＝65°.所以∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝57.5°.如图③，当高在△ABC的外部时，因为∠ABD＝25°，所以∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°.所以∠BAC＝180°－65°＝115°.所以∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°.故这个等腰三角形各个内角的度数为65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.4．在△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°.求∠B的度数．解：此题分两种情况讨论：(1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝50°.因为AB＝AC，所以∠B＝∠C＝(180°－50°)÷2＝65°.(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，所以∠BAC＝130°.因为AB＝AC，所以∠B＝∠C＝(180°－130°)÷2＝25°.故∠B的度数为65°或25°.5．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其周长分成差为3 cm的两部分，求△ABC的腰长．解：因为BD为△ABC的边AC上的中线，所以AD＝CD.(1)当(AB＋AD＋BD)－(BC＋CD＋BD)＝3 cm时，即AB－BC＝3 cm.因为BC＝5 cm，所以AB＝5＋3＝8(cm)．(2)当(BC＋CD＋BD)－(AB＋AD＋BD)＝3 cm时，即BC－AB＝3 cm.因为BC＝5 cm，所以AB＝5－3＝2(cm)．但是当AB＝2 cm时，三边长分别为2 cm，2 cm，5 cm.而2＋2＜5，不合题意，应舍去．故△ABC的腰长为8 cm.6．已知O为等边△ABD的边BD的中点，AB＝4，E，F分别为射线AB，DA上的动点，且∠EOF＝120°.若AF＝1，求BE的长．解：(1)当点F在DA上时，如图①所示，作OM∥AB交AD于点M.因为△ABD为等边三角形，所以∠A＝∠ABD＝∠D＝60°，AD＝BD＝AB＝4.因为OM∥AB，所以∠DMO＝∠A＝60°，∠DOM＝∠ABD＝60°.所以△DOM为等边三角形，∠OMF＝∠BOM＝120°.所以MO＝OD＝MD.因为OD＝OB＝2，所以OM＝OB＝DM＝2.因为∠EOF＝120°，所以∠BOE＝∠MOF.又因为∠OBE＝180°－60°＝120°，所以∠OBE＝∠OMF.所以△OMF≌△OBE(ASA)．所以BE＝MF.因为AF＝1，所以FM＝1.所以BE＝1.当点F在DA的延长线上时，如图②所示，作OM∥AB交AD于点M.同(1)可得△OMF≌△OBE，DM＝2，AD＝4，所以BE＝FM.因为AF＝1，所以FM＝3.所以BE＝3.综上所述，BE的长为1或3.