湘教版八年级下册2.7 正方形精练

2.7 正方形

要点感知1  有一组邻边相等且有一个角是直角的__________四边形叫作正方形.

预习练习1-1  已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(    )

  A.∠D=90°              B.AB＝CD            C.AD=BC             D.BC=CD

要点感知2  正方形的四条边都__________，四个角都是__________.正方形的对角线__________，且互相_________.

预习练习2-1  已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=16 cm，则DO=_________cm，BO=_________cm，∠OCD=__________.

要点感知3  正方形是中心对称图形，__________是它的对称中心.正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，__________都是它的对称轴.

预习练习3-1  如图，正方形的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为__________cm2.

知识点1  正方形的性质

1.正方形是轴对称图形，它的对称轴有(    )

  A.2条               B.4条               C.6条                D.8条

2.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为(    )

  A.45°              B.55°            C.60°               D.75°

第2题图                 第4题图

3.已知正方形ABCD的对角线AC=，则正方形ABCD的周长为__________.

4.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是__________.

5.如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点.求证：AE=CE.

知识点2  正方形的判定

6.下列说法不正确的是(    )

  A.一组邻边相等的矩形是正方形

  B.对角线相等的菱形是正方形

  C.对角线互相垂直的矩形是正方形

  D.有一个角是直角的平行四边形是正方形

7.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是()

  A.AC=BD，AB∥CD，AB=CD

  B.AD∥BC，∠A=∠C

  C.AO=BO=CO=DO，AC⊥BD

  D.AO=CO，BO=DO，AB=BC

8.如图正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G，求证：AE=BF.

9.如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE等于(    )

  A.2                 B.3               C.2                  D.2

第9题图                            第10题图

10.如图，将n个边长都为2的正方形按照如图所示摆放，点A1,A2，…,An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是(    )

  A.n                 B.n-1              C.()n-1              D.n

11.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是(    )

  A.选①②               B.选②③               C.选①③              D.选②④

12.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为__________.

第12题图                         第13题图

13.如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是__________.

14.如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F.求证AM=EF.

15.如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G.

  （1）求证：AE＝CF；

  （2）若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小.

16.正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是AB,BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.

  (1)求证：EF=FM；

  (2)当AE=1时，求EF的长.

17.如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.

  (1)判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；

  (2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形.

18.如图所示，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC,PF⊥BM，垂足分别为点E,F.

  (1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并说明理由.

  (2)在(1)中，当P点运动到什么位置时，矩形PEMF为正方形，为什么？

参考答案

要点感知1  平行

预习练习1-1  D

要点感知2  相等  直角  相等  垂直平分

预习练习2-1  8  8  45°

要点感知3  对角线的交点  以及过每一组对边中点的直线

预习练习3-1  8

1.B  2.C    3.4    4.22.5°

5.证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABD=∠CBD.

又BE=BE，

∴△ABE≌△CBE(SAS).

∴AE=CE.

6.D  7.C

8.证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°.

∵AE⊥BF，垂足为G，

∴∠CBF+∠AEB=90°.

∴∠BAE=∠CBF.

在△ABE与△BCF中，

∴△ABE≌△BCF(ASA).

∴AE=BF.

9.C  10.B  11.B    12.5    13.

14.证明：连接MC.

∵正方形ABCD，

∴AD=CD，∠ADM=∠CDM.

又DM=DM，

∴△ADM≌△CDM(SAS).

∴AM=CM.

∵ME∥CD，MF∥BC，

∴四边形CEMF是平行四边形.

∵∠ECF=90°，

∴□CEMF是矩形.

∴EF=MC.

又AM=CM，

∴AM=EF.

15.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC＝90°.

∵BE⊥BF，∴∠EBF＝90°.

∴∠ABE＝∠CBF.

∵AB=BC，∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，

∴△ABE≌△CBF，

∴AE＝CF.

  （2）∵BE＝BF，∠EBF＝90°，

∴∠BEF＝45°.

∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°，

∴∠GBE＝35°.

∴∠EGC＝80°.

16.(1)证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，

∴DE=DM，∠EDM=90°.

∴∠EDF+∠FDM=90°.

∵∠EDF=45°，

∴∠FDM=∠EDF=45°.

又∵DF=DF，

∴△DEF≌△DMF.

∴EF=MF.

  (2)设EF=x，

∵AE=CM=1，

∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x.

∵EB=2，

∴在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2.

即22+(4-x)2=x2，解得x=.

∴EF的长为4.

17.(1)DE⊥FG，

理由如下：由题意得∠A=∠EDB=∠GFE，∠ABC=∠DBE=90°，

∴∠BDE+∠BED=90°.

∴∠GFE+∠BED=90°.

∴∠FHE=90°，即DE⊥FG.

  (2)∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，

∴CB∥GE，CB=GE.

∴四边形CBEG是平行四边形.

∵∠ABC=∠GEF=90°，

∴四边形CBEG是矩形.

∵BC=BE，

∴四边形CBEG是正方形.

18.(1)当矩形ABCD的长是宽的2倍时，四边形PEMF为矩形.

理由：∵四边形ABCD为矩形，

∴∠BAM=∠CDM=90°，AB=CD.

又AD=2AB=2CD，AM=DM，

∴AM=AB=DM=DC.

∴∠AMB=∠DMC=45°.

∴∠BMC=90°.

又PE⊥CM，PF⊥BM，

∴∠PEM=∠PFM=90°.

∴四边形PEMF为矩形.

  (2)当点P运动到BC的中点时，矩形PEMF为正方形.

理由：由(1)知∠AMB=∠DMC=45°，

∴∠ABM=∠DCM=45°.

∴∠PBF=∠PCE=45°.

又∠PFB=∠PEC=90°，PB=CP，

∴△BPF≌△CPE，

∴PE=PF.

∴矩形PEMF为正方形.