初中数学冀教版七年级下册第十一章 因式分解综合与测试一课一练

冀教版七年级数学下册第十一章 因式分解课时练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列等式中，从左到右是因式分解的是（             ）

A． B．

C． D．

2、若、、为一个三角形的三边长，则式子的值（       ）

A．一定为正数 B．一定为负数 C．可能是正数，也可能是负数 D．可能为0

3、若a、b、c为一个三角形的三边，则代数式（a-c）2-b2的值（       ）

A．一定为正数 B．一定为负数

C．为非负数 D．可能为正数，也可能为负数

4、把多项式分解因式，其结果是（     ）

A． B．

C． D．

5、下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（       ）

A． B．

C． D．

6、下列因式分解正确的是（       ）

A．16m2－4＝（4m＋2）（4m－2） B．m4－1＝（m2＋1）（m2－1）

C．m2－6m＋9＝（m－3）2 D．1－a2＝（a＋1）（a－1）

7、下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（       ）

A． B．

C． D．

8、下列因式分解正确的是（     ）

A． B．

C． D．

9、下列变形，属因式分解的是（       ）

A． B．

C． D．

10、下列各式因式分解正确的是（            ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、因式分解___________．

2、若，，则的值为______．

3、因式分解：______．

4、把多项式2a3﹣2a分解因式的结果是___．

5、分解因式__________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、阅读理解：

若满足，求的值．

解：设，，

则，，

．

迁移应用：

(1)若满足，求的值；

(2)如图，点，分别是正方形的边、上的点，满足，为常数，且，长方形的面积是，分别以、作正方形和正方形，求阴影部分的面积．

2、我们知道，任意一个正整数c都可以进行这样的分解：c=a×b（．b是正整数，且a≤b），在c的所有这些分解中，如果a，b两因数之差的绝对值最小，我们就称a×b是c的最优分解并规定：M（c）=，例如9可以分解成1×9，3×3，因为9-1＞3-3，所以3×3是9的最优分解，所以M（9）==1

（1）求M（8）；M（24）；M[（c+1）2]的值；

（2）如果一个两位正整数d（d=10x+y，x，y都是自然数，且1≤x≤y≤9），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和为66，那么我们称这个数为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中M（d）的最大值．

3、因式分解：

(1)；

(2)．

4、下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．

解：设

原式（第一步）

第二步）

（第三步）

（第四步）

(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______．

A.提取公因式                       B.两数和乘以两数差公式

C.两数和的完全平方公式         D. 两数差的完全平方公式

(2)该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______．

(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．

5、仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．

解：设另一个因式为（x+n），得

x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），

则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n

∴

解得：n＝﹣7，m＝﹣21

∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．

问题：仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，进行求解即可．

【详解】

解：A、，不是整式积的形式，不是因式分解，不符而合题意；

B、，是因式分解，符合题意；

C、，不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；

D、，不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；

故选B．

【点睛】

本题主要考查了因式分解的定义，熟知定义是解题的关键．

2、B

【解析】

【分析】

先分解因式，再根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．

【详解】

解：原式=(a-c+b)(a-c-b)，

∵两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

∴a-c+b＞0，a-c-b＜0，

∵两数相乘，异号得负，

∴代数式的值小于0．

故选：B．

【点睛】

本题利用了因式分解，以及三角形中三边的关系：在三角形中，任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．

3、B

【解析】

【分析】

根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．

【详解】

解：∵a、b、c为一个三角形的三边，

∴a-c+b＞0，a-c-b＜0，

∴（a-c）2-b2=（a-c+b）（a-c-b）＜0．

∴代数式（a-c）2-b2的值一定为负数．

故选：B．

【点睛】

本题考查了运用平方差公式因式分解，利用了三角形中三边的关系：在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

4、B

【解析】

【分析】

因为−6×9＝−54，−6＋9＝3，所以利用十字相乘法分解因式即可．

【详解】

解：x2+3x−54＝（x−6）（x＋9）；

故选：B．

【点睛】

本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．

5、B

【解析】

【分析】

根据因式分解的定义逐个判断即可．

【详解】

解：、是单项式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；

、是因式分解，利用了完全平方差公式进行了因式分解，故本选项符合题意；

、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；

、因式分解错误，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了因式分解的定义，解题的关键是能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

6、C

【解析】

【分析】

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据因式分解的定义即可求解．

【详解】

解：A、16m2-4=4（4 m2-1）=4（m+1）（m-1），故该选项错误；

B、m4-1=（m2+1）（m2-1）=（m+1）（m-1）（m2+1），故该选项错误；

C、m2-6m+9=（m-3）2，故该选项正确；

D、1-a2=（a+1）（1-a），故该选项错误；

故选：C．

【点睛】

本题考查了因式分解的意义，属于基础题，关键是掌握因式分解的定义．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

7、B

【解析】

【分析】

因式分解的结果是几个整式的积的形式．

【详解】

解：A.从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；

B.从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意；

C. ，故本选项不符合题意；

D.，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

8、C

【解析】

【分析】

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据因式分解的定义和方法即可求解．

【详解】

解：A、，错误，故该选项不符合题意；

B、，错误，故该选项不符合题意；

C、，正确，故该选项符合题意；

D、，不能进行因式分解，故该选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

9、A

【解析】

【分析】

依据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式判断即可．

【详解】

解：A、是因式分解，故此选项符合题意；

B、分解错误，故此选项不符合题意；

C、右边不是几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；

D、分解错误，故此选项不符合题意；

故选：A．

【点睛】

本题主要考查的是因式分解的意义，掌握因式分解的定义是解题的关键．

10、B

【解析】

【分析】

根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解）及完全平方公式依次进行判断即可得．

【详解】

解：A、不能进行因式分解，错误；

B、选项正确，是因式分解；

C、选项是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；

D、，选项因式分解错误；

故选：B．

【点睛】

题目主要考查因式分解的定义及方法，深刻理解因式分解的定义是解题关键．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

先提公因式再根据平方差公式因式分解即可

【详解】

解：

故答案为：

【点睛】

本题考查了提公因式和公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．

2、±1

【解析】

【分析】

先把提取公因式，根据，求出的值，再根据，求出的值，即可得出的值．

【详解】

解：，

，

，

，

，

；

故答案为：．

【点睛】

此题考查了因式分解的应用，解决此类问题要整体观察，根据具体情况综合应用相关公式进行整体代入是解决这类问题的基本思想．

3、

【解析】

【分析】

先提取公因式，再用完全平方公式分解即可．

【详解】

解：，

=，

=

故答案为：．

【点睛】

本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用提取公因式和公式法进行因式分解．

4、

【解析】

【分析】

直接利用提取公因式法分解因式，进而利用平方差公式分解因式即可．

【详解】

解：2a3﹣2a

=

=；

故答案为2a(a+1)(a-1)

【点睛】

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

5、

【解析】

【分析】

直接利用提公因式法分解因式即可．

【详解】

解：．

故答案为：．

【点睛】

此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．

三、解答题

1、 (1)-3

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据题意设，，可得，，根据，代入计算即可得出答案；

（2）设正方形的边长为，则，，可得，；利用题干中的方法可求得，利用阴影部分的面积等于正方形与正方形的面积之差即可求得结论．

(1)

解：设，，则：

，．

，

．

．

．

(2)

解：设正方形的边长为，则，，

．

长方形的面积是，

．

，

．

，

，

．

．

【点睛】

本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的几何背景，本题是阅读型题目，利用换元的方法解答是解题的关键．

2、（1）；；1；（2）；

【解析】

【分析】

（1）根据c=a×b中，c的所有这些分解中，如果a，b两因数之差的绝对值最小，就称a×b是c的最优分解，因此M（8）==，M（24）==，M[（c+1）2]= ；

（2）设这个两位正整数d交换其个位上的数与十位上的数得到的新数为d'，则d+d'=（10x+y）+（10y+x）=11x+11y=11（x+y）=66，由于x，y都是自然数，且1≤x≤y≤9，所以满足条件的“吉祥数”有15、24、33所以M（15）=，M（24）==，M（33）=，所以所有“吉祥数”中M（d）的最大值为．

【详解】

解：（1）由题意得，

M（8）==；

M（24）==；

M[（c+1）2]=；

（2）设这个两位正整数d交换其个位上的数与十位上的数得到的新数为d'，

则d+d'=（10x+y）+（10y+x）=11x+11y=11（x+y）=66，

∵x，y都是自然数，且1≤x≤y≤9，

∴满足条件的“吉祥数”有15、24、33

∴M（15）=，M（24）==，M（33）=，

∵＞＞，

∴所有“吉祥数”中M（d）的最大值为．

【点睛】

本题考查了分解因式的应用，根据示例进行分解因式是解题的关键．

3、 (1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）先提公因式，再逆用平方差公式进行因式分解；

（2）先提公因式，再逆用完全平方公式进行因式分解．

(1)

解：；

(2)

解：．

【点睛】

本题主要考查综合运用公式法、提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法是解决本题的关键．

4、 (1)C

(2)不彻底 ，

(3)

【解析】

【分析】

（1）先根据多项式乘以多项式计算，再用完全平方公式因式分解计算即可

（2）利用完全平方公式因式分解即可

（3）模仿给出的步骤，进行因式分解即可

(1)

∵，

∴运用了两数和的完全平方公式．

故选C．

(2)

∵，

∴因式分解不彻底．

故答案为：不彻底，．

(3)

，

解：设，

则原式

．

【点睛】

本题考查因式分解、完全平方公式、多项式乘以多项式以及幂的乘方．理解题意，利用换元法是解题的关键．

5、另一个因式为（2x+13），k的值为65．

【解析】

【分析】

设另一个因式为（2x+a），根据题意列出等式，利用系数对应相等列出得到关于a和k的方程求解即可．

【详解】

解：设另一个因式为（2x+a），得2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+a）

则2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣10）x﹣5a

∴，

解得：a＝13，k＝65．

故另一个因式为（2x+13），k的值为65．

【点睛】

此题考查了因式分解和整式乘法的关系，解题的关键是根据题意设出另一个因式列出等式求解．