2021学年第二十四章 圆综合与测试练习

这是一份2021学年第二十四章 圆综合与测试练习，共12页。试卷主要包含了定点定长，共端点，等线段模型，定弦定角，共斜边的直角三角形等内容，欢迎下载使用。

模型一 定点定长（一中同长）

《墨子，经上》中说：圆，一中同长也。清朝陈澧 《东塾读书记·诸子》解释道：“《几何原本》云：‘圜之中处一圜心，一圜惟一心，无二心，圜界至中心作直线俱等。’即此所谓‘一中同长’也。
模型分析
若有一定点，一动点，且动点到定点的距离为定长，则动点的轨迹为圆
模型实例
如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E是AB中点，点F是BC上一点，把△BEF沿着EF翻折，点B落在点处，求D的最小值.
练习：
如图，OA⊥OB，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，C是线段PQ的中点，且PQ=4，则在线段PQ滑动的过程中，点C运动形成的路径长为_________
2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________
3、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是_________.
模型二 共端点，等线段模型（鸡爪模型）

模型分析
（1）若有共端点的三条等线段，可考虑构造辅助圆；
（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题。
模型典例
如图 1，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=__________度。
练习
1、如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB=AC，AC=AD，连接BD。
求证：∠1+∠2=90°。
2、如图，在△ABC 内有一点 D，使得 DA=DB=DC，若∠DAB=20°，则∠ACB=__________
模型三 定弦定角

模型分析
若有一固定线段AB及线段AB所对的角（∠C）固定，则点C可以看作是以AB为弧的圆上运动.
模型典例
如图在△ABC中，BC=2，∠A=45°，求△ABC的面积最大值.
练习
1、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，P为一动点，且PA⊥PC，连接BP，则BP的最大值为_____
2、如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2√3，D点是△ABC所在平面上的一个动点，且∠BDC＝60°，则△DBC面积的最大值是
模型四 共斜边的直角三角形
模型分析：
（1）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；
（2）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角相等重要的途径之一。
模型典例：
如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交
∠ABC的外角平分线于点F。求证：EF=DE。
练习：
1、如图，锐角△ABC中，BD、CE是高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F。
求证：FG∥BC。
2、如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB，TE⊥AC。
求证：∠AHD=∠AHE。
模型五 四边形对角互补

模型分析：
在四边形ABCD中，若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则ABCD四点共圆.
模型典例：
如图，在四边形中，是的平分线，若，求证：．
练习：
已知：如图，正方形中，为对角线，，将绕顶点逆时针旋转（），旋转后角的两边分别交于点、点，交于点、点，联结．在的旋转过程中，的大小是否改变？若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围．
综合训练：
1、如图，分别是正方形的边的中点，相交于，求证：．
2、矩形ABCD的点A是y轴上的一个动点，B是x轴上的一个动点，AB=4，AD=2，点O是坐标圆点，求OD的最大值.
3、如图，正方形 ABCD 中，∠EAF=45°，AF 与 BD 交于 N，AE 与 BD 交于 M，连接 MF、NE，求证△ANE、△AMF 是等腰直角三角形.
4、在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E，F 分别为 AD、DC 边上的点，且 EF=2， G 为 EF 的中点，P 为 BC 边上一动点，则 PA+PG 的最小值为？