人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试复习练习题

这是一份人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试复习练习题，共92页。试卷主要包含了知识点，考点点拨与训练等内容，欢迎下载使用。
专题27.2.3 相似三角形的性质及应用
典例体系（本专题共85题67页）
一、知识点
相似三角形的性质
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．
二、考点点拨与训练
考点1：高度（距离）测量
典例1：影长测高问题
（2020·无锡市东北塘中学初三月考）阅读以下文字并解答问题：在“物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．
小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m．

（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米．
（2）求出乙树的高度（画出示意图）．
（3）请选择丙树的高度为 （ ）
A、6.5米 B、5.75米 C、6.05米 D、7.25米
（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看．
方法或规律点拨
本题考查了同一时刻的阳光下，树高与其影长的比实际上就是相似比，正确画出图形，将实际问题转化为数学问题是解题关键．
巩固练习
1．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（　　）

A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
2．如图，身高为1．5米的某学生想测量一棵大树的高度，他沿着树影由向走，当走到点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合．此时三点恰好在一条直线上．经测得米，米，则树的高度为（ ）

A．3米 B．4米 C．4.5米 D．6米
3．某数学课外活动小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5m的同学的影长为1.35m，由于大树靠近一幢建筑物，因此树影的一部分落在建筑物上，如图，他们测得地面部分的影长为3.6m，建筑物上的影长为1.8m，则树的高度为（　　）

A．5.4 m B．5.8 m C．5.22 m D．6.4 m
4．（2020·湖北巴东·初三其他）如图，路边有一根电线杆 AB 和一块正方形广告牌(不考虑牌子的厚度)．有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端 A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点 G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上点 E 处，已知 BC=6 米，正方形边长为 3米，DE=5 米．则电线杆 AB 的高度是（ ）米．

A． B．13 C． D．
5．（2020·山东莱州·初二期末）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为（ ）

A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米
6．（2019·全国初三课时练习）如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高米，那么窗口底部离地面的高度BC为（ ）

A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米
7．（2020·广东南海·初三月考）如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具，移动竹竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点A，此时，竹竿与点A相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（　　）

A．6m B．8.8m C．12m D．15m
8．（2020·河南舞钢·初三期末）如图，有一张直径（BC）为1.2米的圆桌，其高度为0.8米，同时有一盏灯A距地面2米，圆桌的影子是DE，AD和AE是光线，建立图示的平面直角坐标系，其中点D的坐标是（2，0）．那么点E的坐标是____．

9．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米．

（1）求路灯A的高度；
（2）当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是多少？
10．（2019·河南平舆·初三期中）如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？

11．（2020·贵州贵阳·初三开学考试）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度．

12．（2019·全国初三课时练习）某中学平整的操场上有一根旗杆（如图），一数学兴趣小组欲测量其高度，现在测量工具有皮尺、标杆，请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案.
（1）画出你设计的测量平面图；
（2）简述测量方法，并写出测量的数据.（长度用a，b，c…表示）

13．（2020·上海市金山初级中学初三月考）据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，如果木杆长，它的影长为，测得为，求金字塔的高度．

14．（2020·江苏淮安·初三一模）如图，花丛中有一路灯.在灯光下，小明在点D处的影长，沿方向行走到达点G，，这时小明的影长.如果小明的身高为1.7m，求路灯的高度.（精确到0.lm)

15．（2020·全国初三课时练习）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离.于是他利用镜子进行两次测量.如图，第一次他把镜子放在点C处，人在点F处正好在镜中看到树尖A；第二次他把镜子放在点处，人在点F处正好在镜中看到树尖A．已知小军的眼睛距地面1.7m，量得m， m， m.求这棵古松树的高度.

16．（2020·陕西师大附中初三其他）小明放学回家途经一个小广场，广场的中央有一个羽毛球场地，场地的周围是片平坦的草坪，同时与羽毛球网在同一平面内有两个一样高的路灯，小明想测量路灯的高度但是他没有带任何测量工具．于是，小明调整自己的步伐，尽量使得每一步步长相同．小明测出离路灯较近的网杆在路灯下的影长为步，离路灯较远的网杆在路灯下的影长为步，回家后小明上网查资料得到羽毛球网杆高米，网长米，同时测得步米，求路灯的高度(结果保留一位小数)

17．（2020·无锡市钱桥中学初三月考）如图，一路灯AB与墙OP相距20米，当身高CD=1.6米的小亮在离墙17米的D处时，影长DG为1米；当小亮站在点F时，发现自己头顶的影子正好接触到墙的底部O处．
（1）求路灯AB的高度．
（2）请在图中画出小亮EF的位置；并求出此时的影长．
（3）如果小亮继续往前走，在距离墙2米的N处停下，那么小亮MN在墙上的影子有多高？

典例2：镜面测高问题
为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离B（树底）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，求树AB的高度．

方法或规律点拨
本题考查了相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．
巩固练习
1．如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她想到了物理学中平面镜成像的原理，她在与旗杆底部A同一水平线上的E处放置一块镜子，然后推到C处站立，使得刚好可以从镜子E看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.6m，她离镜子的水平距离CE＝1.2m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝3.6m，且A、C、E三点在同一水平直线你上，则旗杆AB的高度为（　　）

A．2.7m B．3.6m C．4.8m D．6.4m
3．如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE＝BC＝0.6米，求A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝12米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得GE＝2米，小明身高EF＝1.6米，则凉亭的高度AB约为（　　）

A．9米 B．9.6米 C．10米 D．10.2米
4．（2020·北京海淀·人大附中初三其他）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为，旗杆底部与平面镜的水平距离为．若小明的眼睛与地面的距离为，则旗杆的高度为（单位：m）（ ）

A．12.4 B．12.5 C．12.8 D．16
5．（2020·全国初三课时练习）如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（　　）

A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m
7．小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米.当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角＝反射角）

8．星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由．

9．（2019·全国初三课时练习）如图，雨后初晴，小明在运动场上玩，当他在E点时发现前面2米处有一处积水C，从积水中看到旗杆顶端的倒影，若旗杆底部B距积水处40米，此时眼睛距地面1.5米.求旗杆的高度.

典例3：其他测量问题
（2018·全国初三单元测试）如图，一条东西走向的笔直公路，点A、B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C表示电视塔所在的位置．小王在公路PQ南侧直线行走，当他到达点P的位置时，观察树A恰好挡住电视塔，即点P、A、C在一条直线上，当他继续走180米到达点Q的位置时，以同样方法观察电视塔，观察树B也恰好挡住电视塔．假设公路两侧AB∥PQ，且公路的宽为60米，求电视塔C到公路南侧PQ的距离．

方法或规律点拨
本题考查了相似三角形的性质与应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与应用.
巩固练习
1．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为( )

A． B． C． D．
2．（2019·河南南阳·初三期中）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢恰好与山峰处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高的长为（结果保留到整数，1丈=10尺）( )

A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈
3．如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=30cm，EF=15cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=7m，则树高AB=（　　）m．

A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
4．（2019·陕西初三专题练习）中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF，观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（　　）

A． B． C． D．
5．（2019·北京市十一学校初三月考）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m.
6．（2020·陕西交大附中分校初三月考）如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为____________米

7．（2019·全国初三课时练习）我军侦察员在距敌方100m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物物测量，机灵的侦察员将自己的食E指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，如图所示.若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm，则敌方建筑物的高度约是_______m.

8．（2020·上海浦东新·初三月考）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10mm，AC被分为60等份，如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE//AB），那么小管口径DE的长是__________mm．

9．（2020·重庆南开（融侨）中学校初二期末）我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示、若此时眼睛到食指距离约为，食指长约为，旗杆高度为米，则对方与我军距离约为____________米．

10．（2020·福州·福建师范大学附属中学初中部初三月考）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题： “今有井径尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末 望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图， 井径尺，立木高尺，寸尺，则井深为__________尺．

11．（2019·山东青岛·初三期中）如图，为了测量一棵树CD的高度，测量者在B处立了一根高为2.5m的标杆，观测者从E处可以看到杆顶A，树顶C在同一条直线上，若测得BD＝7m，FB＝3m，EF＝1.6m，则树高为_____m．

12．（2020·陕西交大附中分校初三月考）如图有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（　　）

A． B． C． D．
13．（2020·上海中考真题）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米．

14．（2019·安徽初三月考）如图，一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2．按图中要求加工成一个正方形桌面，则桌面的边长为_____m．

15．（2018·北京房山·初三期中）为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是_____．

16．（2020·山东莱州·初二期末）小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF=32cm，垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？

18．如图，在相对的两栋楼中间有一堵墙，甲、乙两人分别在这两栋楼内观察这堵墙，视线如图1所示．根据实际情况画出平面图形如图2（CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF），甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处，点B是DF的中点，墙AB高5.5米，DF=100米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离之差（结果精确到0.1米）
19．某学校的学生为了对小雁塔有基本的认识，在老师的带领下对小雁塔进行了测量．测量方法如下：如图，间接测得小雁塔地部点D到地面上一点E的距离为115.2米，小雁塔的顶端为点B，且BD⊥DE，在点E处竖直放一个木棒，其顶端为C，CE＝1.72米，在DE的延长线上找一点A，使A、C、B三点在同一直线上，测得AE＝4.8米．求小雁塔的高度．

20．（2020·陕西初三其他）20世纪90年代以来，我国户外广告行业取得了突飞猛进的发展，户外广告装置多设立于城市道路、铁路、公路等主要交通干道边上，面向密集的车流和人流．某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路．上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是21.6km/h，假设AB∥PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离．

考点2：利用相似三角形的性质解决纯数学问题
典例：（2020·广东三水·初三一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，有一点到终点运动即停止，设运动时间为t秒.
（1）t为何值时，△PBQ的面积为12cm2；
（2）若PQ⊥DQ，求t的值.

方法或规律点拨
此题考查了矩形的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质；解题的关键是根据三角形相似的性质列出方程．
巩固练习
1．（2020·上海市金山初级中学初三月考）已知，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（2020·无锡市东北塘中学初三月考）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
3．（2020·河南卧龙·初三期末）如图，平行四边形中，为边的中点，交于点，则图中阴影部分面积与平行四边形的面积之比为（ ）

A． B． C． D．
4．（2020·广西初三其他）已知与是位似图形，且相似比为，若的面积为27，则的面积为（ ）
A．7 B．12 C．10 D．18
5．（2020·广东顺德·）如图，△ABC与△DEF形状完全相同，且AB=3.6，BC=6，AC=8，EF=2，则DE的长度为（ ）

A．1.2 B．1.8 C．3 D．7.2
6．（2020·江苏姜堰·初三期末）如图，P、Q是⊙O的直径AB上的两点，P在OA上，Q在OB上，PC⊥AB交⊙O于C，QD⊥AB交⊙O于D，弦CD交AB于点E，若AB=20，PC=OQ=6，则OE的长为（ ）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
7．（2020·上海宝山·月考）如图，、都是的垂线，，，，是上一点，联结、，所得两个三角形相似，则的长是_______．

9．（2020·上海宝山·月考）如图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，，点到的距离是，则点到的距离是_______．

10．（2020·上海宝山·月考）两个相似三角形对应高的比为，且已知这两个三角形的周长差为，则较小的三角形的周长为_______．
11．（2020·射阳县第二初级中学月考）△ABC中，AB＝10，AC＝6，点D在AC上，且AD＝3，若要在AB上找一个点E，使△ADE与△ABC相似，则AE＝__________．
12．（2020·上海浦东新·初三月考）有一个三角形的三边长为2，4，5，若另一个和它相似的三角形的最短边为4，则第二个三角形的周长为________．
13．（2019·泉州市第六中学初三期中）△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积的比为________．
14．（2020·上海市南汇第四中学初三月考）如果，，，，，则________．
15．（2020·上海宝山·月考）如图，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，已知的边，高，求：正方形的边长和面积．

16．（2020·聊城市茌平区振兴街道中学月考）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上的一点，AE交BD于O，△AOB∽△EOD，若DE＝AB，AB＝9，AO＝6，求DE和AE的长．.版权所有

17．（2020·上海浦东新·初三月考）两个相似三角形对应边的比是2：3，它们的面积和为65平方厘米，求较小三角形的面积．
18．（2019·陕西初三专题练习）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm，球目前在E点位置，AE＝60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．求BF的长．

19．（2019·江苏海陵·泰州中学附属初中初三期末）证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比．已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， ．求证 ．（先填空，再证明）证明：

20．（2020·酒泉市第二中学期中）如图，如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm， 高AD=80mm， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）求证：APQ∽ABC
（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？

考点3：相似三角形性质的综合应用
典例：（2020·山东安丘·东埠初中初三月考）如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，问：
（1）经过多少时间，的面积等于矩形面积的？
（2）当点到达时，两点同时停止运动，经过多长时间，长？
（3）是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

方法或规律点拨
此题考查了相似三角形的判定，正方形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程．要掌握正方形和相似三角形的性质，才会灵活的运用．注意：一般关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可．
巩固练习
1．（2020·安徽包河·初三二模）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（ ）

A．2 B． C． D．
2．（2020·深圳市罗湖外语学校初中部初三月考）如图，点D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝2：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝______．

3．（2020·中国科技大学附属中学初三月考）如图，△OAB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4．折叠该纸片，使点A落在线段OB上，折痕与边OA交于点C，与边AB交于点D．

（1）若折叠后使点A与点O重合，此时OC＝ ；
（2）若折叠后使点A与边OB的中点重合，求OC的长度；
（3）若折叠后点A落在边OB上的点为E，且使DE∥OA，求此时OC的长度．
4．（2020·无锡市钱桥中学初三月考）如图，平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O，
（1）求证：△EBC是等腰三角形；
（2）已知：AB=7，BC=5，求的值．

5．（2020·聊城市茌平区振兴街道中学月考）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm，请问它们同时出发多少秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似？

7．（2021·山西初三月考）在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上，O为坐标AB//OC，线段OA，AB的长分别是方程的两个根（OA