初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试随堂练习题

这是一份初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试随堂练习题，共38页。试卷主要包含了若二次函数y＝a，抛物线，，的图象开口最大的是等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数重点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则（　　）

A．b＞0，c＞0，Δ＝0 B．b＜0，c＞0，Δ＝0
C．b＜0，c＜0，Δ＝0 D．b＞0，c＞0，Δ＞0
2、一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
3、若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点（﹣1，1），（4，6），（3，1），则（ ）
A．y≤3 B．y≤6 C．y≥-3 D．y≥6
4、函数向左平移个单位后其图象恰好经过坐标原点，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．或3
5、如图，给出了二次函数的图象，对于这个函数有下列五个结论：①＜0；②ab＞0；③；④；⑤当y＝2时，x只能等于0．其中结论正确的是（ ）

A．①④ B．③⑤ C．②⑤ D．③④
6、若二次函数y＝a（x＋b）2＋c（a≠0）的图象，经过平移后可与y＝（x＋3）2的图象完全重合，则a，b，c的值可能为（ ）
A．a＝1，b＝0，c＝﹣2 B．a＝2，b＝6，c＝0
C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2
7、抛物线，，的图象开口最大的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
8、如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④一元二次方程的两根分别为；⑤若为方程的两个根，则且．其中正确的结论个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9、已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10、将二次函数y=2x2的图像先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数图像的表达式为（ 　）
A．y=2(x+2)2+3 B．y=2(x-2)2+3 C．y=2(x+2)2-3 D．y=2(x-2)2-3
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、将抛物线y＝﹣2x2+3x+1向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是_____．
2、二次函数的图像上横坐标与纵坐标相等的点的坐标为__________．
3、已知抛物线与轴相交于，两点.若线段的长不小于2，则代数式的最小值为_______．
4、中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至人水的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，该运动员起跳点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面______m．

5、抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0）．
(1)求a的值．
(2)求二次函数图象与x轴的交点坐标．
2、已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点．

(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)联结，试判断与是否相似，并证明你的结论；
(3)抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
3、如图，Rt中，．点P从点A出发，沿射线方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A重合时，将线段绕点P旋转使（点在点P右侧），过点作交射线于点M，设点P运动的时间为t（秒）．

(1)的长为___________（用含t的代数式表示）
(2)当落在的角平分线上时，求此时t的值．
(3)设与重叠部分图形的面积为S（平方单位），求S关于t的函数关系式．并求当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？
4、如图，一名垒球运动员进行投球训练，站在点O开始投球，球出手的高度是2米，球运动的轨迹是抛物线，当球达到最高点E时，水平距离EG=20米，与地面的高度EF=6米，掷出的球恰好落在训练墙AB上B点的位置，AB=3米．

(1)求抛物线的函数关系式；
(2)求点O到训练墙AB的距离OA的长度．
5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的一点，过P点作轴，交BC于点D，点E在直线BC上，且四边形PEDF为矩形，求矩形PEDF周长的最大值以及此时点P的坐标；
(3)在（2）问的条件下，将抛物线沿射线EP方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为平面内一点，将绕点Q顺时针方向旋转90°后得到，若的两个顶点恰好落在新抛物线上时，直接写出此时点的坐标，并把求其中一个点的坐标过程写出来．

-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定△的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．
【详解】
解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∵抛物线与x轴有一个交点，
∴Δ=0，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与系数的关系，牢记抛物线的对称轴公式．
2、C
【解析】
【分析】
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】
A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限．
3、C
【解析】
【分析】
根据图像经过三点求出函数表达式，再根据最值的求法求出结果．
【详解】
解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c经过（﹣1，1），（4，6），（3，1），
∴，
解得：，
∴函数表达式为y＝x2-2x-2，开口向上，
∴函数的最小值为=，即y≥-3，
故选C．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的最值，属于基础题，解题的关键是掌握二次函数最值的求法．
4、C
【解析】
【分析】
把函数解析式整理成顶点式形式，再根据向左平移横坐标减表示出平移后的抛物线解析式，再把原点的坐标代入计算即可得解．
【详解】
解：，
向左平移个单位后的函数解析式为，
函数图象经过坐标原点，
，
解得．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化求解更加简便，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5、D
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
①由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2-4ac＞0，故①错误；
②由抛物线的开口方向向下可推出a＜0；
因为对称轴为x==2＞0，又因为a＜0，∴b＞0，故ab＜0；②错误；
③由图可知函数经过（-1,0），∴当，，故③正确；
④对称轴为x=，∴，故④正确；
⑤当y＝2时，，故⑤错误；
∴正确的是③④
故选：D
【点睛】
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=−判断符号．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．
6、A
【解析】
【分析】
根据二次函数的平移性质得出a不发生变化，即可判断a=1．
【详解】
解：∵二次函数y=a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y=（x+3）2的图形完全叠合，
∴a=1．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的平移性质，根据已知得出a的值不变是解题关键．
7、A
【解析】
【分析】
先令x=1，求出函数值，然后再比较二次项系数的绝对值的大小即可解答．
【详解】
解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1，）（1，-3），（1，1），
∵||＜|1|＜|-3|，
∴抛物线开口最大．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数解析式的二次项系数的绝对值越小，函数图象的开口越大．
8、C
【解析】
【分析】
根据图像，确定a，b，c的符号，根据对称轴，确定b，a的关系，当x=-1时，得到a-b+c=0，确定a，c的关系，从而化简一元二次方程，求其根即可，利用平移的思想，把y=的图像向上平移1个单位即可，确定方程的根．
【详解】
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右边，
∴b＜0，
∴，
故①正确；
∵二次函数的图像与x轴交于点，
∴a-b+c=0，
根据对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
当x=-2时，y＞0即，
故②正确；
∵，

∴b= -2a，
∴3a+c=0，
∴2a+c=2a-3a= -a＜0，
故③正确；
根据题意，得，
∴，
解得，
故④错误；
∵=0，
∴，
∴y=向上平移1个单位，得y=+1，
∴为方程的两个根，且且．
故⑤正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了抛物线的图像与系数的符号，抛物线的对称性，抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的增减性，平移，熟练掌握抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键．
9、D
【解析】
【分析】
先求出对称轴x＝，再由已知可得 b≥1，即可求b的范围．
【详解】
解：∵，
∴对称轴为直线x＝b，开口向下，
在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴1不在对称轴左侧，
∴b≤1，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，充分理解对称轴与函数增减性之间的关系是解题的关键．
10、A
【解析】
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【详解】
解：抛物线y=2x2先向左平移2个单位得到解析式：y=2（x+2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=2（x+2）2+3．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
二、填空题
1、
【解析】
【分析】
根据向下平移，纵坐标要减去3，即可得到答案．
【详解】
解：抛物线向下平移3个单位，
抛物线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】
主要考查了函数图象的平移，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
2、、
【解析】
【分析】
设函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是，则，求出的值即可．
【详解】
解：设函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是，则，即，
解得．
故符合条件的点的坐标是：、．
故答案为：、．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，解题的关键是掌握即二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
3、-1
【解析】
【分析】
将抛物线解析式配方，求出顶点坐标为（1，-2）在第四象限，再根据抛物线与x轴有两个交点可得，设为A，B两点的横坐标，然后根据已知，求出的取值范围，再设，配方代入求解即可．
【详解】
解：
=
=
∴抛物线顶点坐标为（1，-2），在第四象限，
又抛物线与轴相交于A，两点.
∴抛物线开口向上，即
设为A，B两点的横坐标，
∴
∵线段的长不小于2，
∴
∴
∴
∴
∴
解得，
设
当时，有最小值，最小值为：
故答案为：-1
【点睛】
本题主要考查发二次函数的图象与性质，熟记完全平方公式和根与系数的关系是解题的关键．
4、
【解析】
【分析】
如图建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，再求顶点坐标即可．
【详解】
解：建立平面直角坐标系如图：

根据题意可知，点A的坐标为（3，10），点C的坐标为（5，0），抛物线的对称轴为直线x=3.5，
设抛物线的的解析式为y＝ax2+bx+c，把上面信息代入得，
，
解得，，
抛物线解析式为：，
把代入得，；
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题关键是建立平面直角坐标系，求出二次函数解析式，利用二次函数解析式的性质求解．
5、
【解析】
【分析】
设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为 则是的两根，且 再利用两个交点之间的距离为4列方程，再解方程可得答案.
【详解】
解：设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为
是的两根，且

两个交点之间的距离为4，


解得： 经检验：是原方程的根且符合题意，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是二次函数与轴的交点坐标，两个交点之间的距离，掌握“求解二次函数与轴的交点坐标”是解本题的关键.
三、解答题
1、 (1)3
(2)（2，0）和（0，0）
【解析】
【分析】
（1）将（2，0）代入函数表达式，求出a值即可；
（2）根据所得函数表达式，令y=0，求出x值，可得坐标．
(1)
解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0），
∴0＝a（2-1）2-3，
解得：a=3；
(2)
由（1）可知：二次函数的表达式为y＝3（x-1）2-3，
令y=0，则3（x-1）2-3=0，
解得：x=2或x=0，
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（0，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数的表达式，与x轴的交点问题，解题的关键是求出函数表达式．
2、 (1)，顶点坐标为：；
(2)，证明见解析；
(3)存在点P，，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意设抛物线解析式为：，将点C代入解得，代入抛物线可得函数解析式；将一般式化为顶点式即可确定顶点坐标；
（2）结合图象，分别求出的三边长，的三边长，由勾股定理逆定理可得为直角三角形，且两个三角形的三条边对应成比例，即可证明；
（3）设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，可得，，利用等腰直角三角形的性质可得，，再由勾股定理可得，设，根据直角坐标系中两点之间的距离利用勾股定理可得，同理可得=，利用代入消元法解方程即可确定点F的坐标，然后求出直线AF的直线解析式，联立抛物线解析式求交点坐标即可得．
(1)
解：抛物线经过点，，，
设抛物线解析式为：，
将点C代入可得：，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为：；
(2)
解：如图所示：

为直角三角形且三边长分别为：，，，
的三边长分别为：，
，，
∴，
∴为直角三角形，
∵，
∴；
(3)
解：设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，如（2）中图：
∴，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，即
解得：，
设，
∴，，
∴，
整理得：①，
=，
即②，
将①代入②整理得：，
解得：，，
∴，，
∴或（不符合题意舍去），
∴，，
设直线FA解析式为：，将两个点代入可得：
，
解得：，
∴，
∴联立两个函数得：，
将①代入②得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，
∴．
【点睛】
题目主要考查待定系数法确定函数解析式，相似三角形得判定和性质，中垂线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
3、 (1)
(2)
(3)，当时，S有最大值
【解析】
【分析】
（1）先利用勾股定理求出，然后证明，得到，即，则，，即可得到；
（2）延长交BC于D，由，得到，，则
再由在∠ABC的角平分线上，，，得到，则，由此求解即可；
（3）先求出当点正好落在BC上时，，然后讨论当△ABC与重叠部分即为，然后求出当点M恰好与B重合时，，讨论当时，如图3所示，△ABC与重叠部分即为四边形PMTS，当时，如图4所示，，△ABC与重叠部分即为△BPS，由此求解即可．
(1)
解：由旋转的性质可得，
∵在Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴；
(2)
解：如图所示，延长交BC于D，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵，
∴，，
∴
∵在∠ABC的角平分线上，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得；

(3)
解：如图2所示，当点正好落在BC上时，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
解得，
当，如图1所示，△ABC与重叠部分即为，
∴此时；

当点M恰好与B重合时，此时，
∴，
解得，
当时，如图3所示，△ABC与重叠部分即为四边形PMTS，
∴，
同理可证，
∴，即，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴；

当时，如图4所示，，△ABC与重叠部分即为△BPS，
同理可证，
∴，即，
∴，，
∴，
∴综上所述，
∴，
∴由二次函数的性质可知，
∴当时，S有最大值．

【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键．
4、 (1)抛物线的关系式为y=-0.01（x-20）2+6；
(2)点O到训练墙AB的距离OA的长度为（20+10）米．
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的顶点设关系式为y=a（x-20）2+6，再根据点C的坐标可得关系式；
（2）把y=3代入可得答案．
(1)
解：由题意得，顶点E（20，6）和C（0，2），
设抛物线的关系式为y=a（x-20）2+6，
∴2=a（0-20）2+6，
解得a=-0.01，
∴抛物线的关系式为y=-0.01（x-20）2+6；
(2)
（2）当y=3时，3=-0.01（x-20）2+6，
解得x1=20+10，x2=20-10（舍去），
答：点O到训练墙AB的距离OA的长度为（20+10）米．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，利用待定系数法得到抛物线的关系式是解题关键．
5、 (1)
(2)矩形PEDF周长的最大值为，此时点
(3)或
【解析】
【分析】
（1）将点，点，代入解析式，待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意转化为求最长时点的坐标，进而求得周长即可；
（3）将抛物线沿射线EP方向平移个单位长度得到新抛物线，即沿轴正方向向上平移, 轴正方向向右平移个单位，进而得到平行后的新的抛物线的解析式，根据题意分情况讨论，根据的两个顶点恰好落在新抛物线上时，根据旋转可得若的两个顶点恰好落在新抛物线上时，只有或落在抛物线上，进而分类讨论，根据直线与抛物线交点问题，一元二次方程根与系数的关系求解即可．
(1)
解：将点，点，代入解析式，得

解得
抛物线的解析式为：
(2)






四边形是矩形

即
设，则
则矩形PEDF周长为，

当取得最大值时，矩形PEDF周长的最大
设直线的解析式为，将点代入得，
则
解得
直线的解析式为
设，则



即
当时，取得最大值，最大值为
此时矩形PEDF周长为
当时，
即

(3)
由（2）可知，则，
过点作，则，

将抛物线沿射线EP方向平移个单位长度得到新抛物线，即沿轴正方向向上平移, 轴正方向向右平移个单位，
则新抛物线解析式为：
即
将绕点Q顺时针方向旋转90°后得到，
轴，
旋转90°后，则轴
则轴，
若的两个顶点恰好落在新抛物线上时，只有或落在抛物线上，
轴
设直线为


①当在抛物线上时，如图，

设点，的横坐标分别为，

则
则为的两根
即方程
，
则
即
解得
则
解得

②当在抛物线上时，如图，

设点，的横坐标分别为，
，
则
，

中，






直线的解析式为
设直线的解析式为
则为的两根
即
，
则
即
解得
直线的解析式为
则
解得
当时，

综上所述或
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，旋转的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，一次函数的平移问题，二次函数的平移问题，一元二次方程根与系数的关系，二次函数求函数值的问题，熟练掌握以上知识并正确的计算是解题的关键．