初中数学第30章 二次函数综合与测试练习题

九年级数学下册第三十章二次函数定向攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（       ）

A． B． C． D．

2、若函数，则当函数y=15时，自变量的值是（     ）

A． B．5 C．或5 D．5或

3、已知二次函数y＝x2﹣2x+m，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列结论正确的是（　　）

A．若x1+x2＜2，则y1＞y2 B．若x1+x2＞2，则y1＞y2

C．若x1+x2＜﹣2，则y1＜y2 D．若x1+x2＞﹣2，则y1＞y2

4、若二次函数y＝a（x＋b）2＋c（a≠0）的图象，经过平移后可与y＝（x＋3）2的图象完全重合，则a，b，c的值可能为（       ）

A．a＝1，b＝0，c＝﹣2 B．a＝2，b＝6，c＝0

C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2

5、将关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线经过三点、、，则、、的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

6、已知点，，都在函数的图象上，则（       ）

A． B． C． D．

7、已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（       ）

A．-2 B．-1 C．4 D．7

8、如图，在矩形ABCD中，，，动点P沿折线运动到点B，同时动点Q沿折线运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（       ）

A． B．

C． D．

9、若点，都在二次函数的图象上，且，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

10、若将抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（　　）

A．y＝2(x﹣2)2﹣1 B．y＝2(x+2)2﹣1 C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2+1

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、将二次函数的图象先向左平移2个单位， 再向下平移5个单位， 则最终所得图象的函数表达式是____________.

2、据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为，那么关于的函数解析式为_________．

3、已知二次函数y＝x2＋bx＋3图象的对称轴为x＝2，则b＝________；顶点坐标是________．

4、抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+4的最高点坐标是_____．

5、已知的三个顶点为， 将向右平移 个单位后， 某一边的中点恰好落在二次函数的图象上， 则的值为____________.

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C(0，3)，其对称轴是直线x＝1，点P是抛物线上第一象限内的点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点D，且点P的横坐标为m．

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；

(2)如图1，PE⊥BC，垂足为E，当DE＝BD时，求m的值；

(3)如图2，连接AP，交BC于点H，则的最大值是      ．

2、已知二次函数．

(1)把它配方成的形式，并写出它的开口方向、顶点的坐标；

(2)作出函数的图象（列表描出五个关键点）．

3、已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a为常数，a≠0）交x轴于点A（－1，0）和点B（5，0），交y轴于点C．

(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；

(2)若点P是抛物线上一点，且PB＝PC，求点P的坐标；

(3)点Q是抛物线的对称轴l上一点，当QA＋QC最小时，求点Q的坐标．

4、已知二次函数（a、b、c是常数，）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

(1)求该二次函数的表达式；

(2)该二次函数图像关于y轴对称的图像所对应的函数表达式是______．

5、已知：在直角坐标平面内，抛物线y＝x2+bx+6经过x轴上两点A、B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C．求：

(1)抛物线的表达式及顶点坐标；

(2)△ABC的面积．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

由题意知，平移后的抛物线解析式为，将各选项中的横坐标代入，求出纵坐标并与各选项的纵坐标比较，纵坐标相同的即为正确答案．

【详解】

解：由题意知，平移后的抛物线解析式为

将代入解析式得，与A中点坐标不同，故不符合要求；

将代入解析式得，与B中点坐标相同，故符合要求；

将代入解析式得，与C中点坐标不同，故不符合要求；

将代入解析式得，与D中点坐标不同，故不符合要求；

故选B．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于写出平移后的二次函数解析式．

2、D

【解析】

【分析】

根据题意，利用分类讨论的方法可以求得当函数y=15时，自变量x的值．

【详解】

解：当x＜3时，

令2x2-3=15，

解得x=-3；

当x≥3时，

令3x=15，

解得x=5；

由上可得，x的值是-3或5，

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．

3、A

【解析】

【分析】

由二次函数y＝x2﹣2x+m可知对称轴为x＝1，当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离小，再结合抛物线开口方向，即可判断．

【详解】

解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m，

∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，

∵x1＜x2，

∴当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，

∴y1＞y2，

故选：A．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，灵活应用x1+x2与2的关系确定点A、点B与对称轴的关系是解决本题的关键．

4、A

【解析】

【分析】

根据二次函数的平移性质得出a不发生变化，即可判断a=1．

【详解】

解：∵二次函数y=a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y=（x+3）2的图形完全叠合，

∴a=1．

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的平移性质，根据已知得出a的值不变是解题关键．

5、C

【解析】

【分析】

根据题意求得平移后的二次函数的对称轴以及开口方向，根据三个点与对称轴的距离大小判断函数值的大小即可

【详解】

解：∵关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线解析式为，

∴新抛物线的对称轴为，开口方向向上，则当抛物线上的点距离对称轴越远，其纵坐标越大，即函数值越大，

平移后的抛物线经过三点、、，

故选C

【点睛】

本题考查了二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的对称轴直线x=，图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线的开口向上，x＜时，y随x的增大而减小；x＞时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点，掌握二次函数的性质是解题的关键．

6、C

【解析】

【分析】

把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可．

【详解】

解：点，，都在函数的图象上，

，，，

，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．

7、C

【解析】

【分析】

根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解

【详解】

解：∵二次函数，当时，x的取值范围是，

∴，二次函数开口向下

解得，对称轴为

当时，，

经过原点，

根据函数图象可知，当，，

根据对称性可得时，

二次函数图象经过点，

或

不可能是4

故选C

【点睛】

本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键．

8、D

【解析】

【分析】

分别求出点P在AD，BD上，利用三角形面积公式构建关系式，可得结论．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=4，∠A=∠C=90°，AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC=60°，

∴∠ABD=∠CDB=30°，

∴BD=2AD=8，

当点P在AD上时，PE⊥BQ

S△PBQ =·BQ·PE

=•（8-2t）•（4-t）•sin60°

=（4-t）2（0＜t＜4），

当点P在线段BD上时，QE’⊥BP

S△PBQ=·BP·QE’

=[12-2(t-4)]•（t-）sin60°

=-t2+t-16（4＜t≤8），

观察图象可知，选项D满足条件，

故选：D．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．

9、D

【解析】

【分析】

先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质，当点和在直线的右侧时；当点和在直线的两侧时，然后分别解两个不等式即可得到的范围．

【详解】

抛物线的对称轴为直线，

∵，，

当点和在直线的右侧，则，

解得，

当点和在直线的两侧，则，

解得，

综上所述，的范围为．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．

10、D

【解析】

【分析】

由题意知平移后的函数关系式为，进行整理即可．

【详解】

解：由题意知平移后的函数关系式为：，

故选D．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于牢记二次函数图象平移时上加下减，左加右减．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．

【详解】

解：由题意得，最终所得图象的函数表达式是=，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k (a，b，c为常数，a≠0)，确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键．

2、

【解析】

【分析】

根据题意可得2020年的蔬菜产量为，2021年的蔬菜产量为，2021年的蔬菜产量为y万吨，由此即可得．

【详解】

解：根据题意可得：2020年的蔬菜产量为，

2021年的蔬菜产量为，

∴，

故答案为： ．

【点睛】

题目主要考查二次函数的应用，理解题意，熟练掌握增长率问题是解题关键．

3、     4     （2，7）

【解析】

【分析】

由对称轴公式即可求得b，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标．

【详解】

解：∵二次函数y＝x2＋bx＋3图象的对称轴为x＝2，

∴−＝2，

∴b＝4，

∴二次函数y＝−x2＋4x＋3，

∵y＝−x2＋4x＋3＝−（x−2）2＋7，

∴顶点坐标是（2，7），

故答案为：4，（2，7）．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象和性质，熟知对称轴公式和二次函数解析式的三种表现形式是解题的关键．

4、

【解析】

【分析】

根据，顶点坐标是，可得答案．

【详解】

解：抛物线为，

开口向下，则最高点坐标是顶点坐标，

顶点坐标．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质以及顶点式，解题的关键是准确理解顶点式．

5、

【解析】

【分析】

求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得平移后的中点坐标，再根据平移后的中点在二次函数的图象上，进而算出m的值．

【详解】

解：∵△ABC的三个顶点为A(-1，-1)，B(-1，3)，C(-3，-3)，

∴AB边的中点(-1，1)，BC边的中点(-2，0)，AC边的中点(-2，-2)，

∵将△ABC向右平移m(m＞0)个单位后，

∴AB边的中点平移后的坐标为(-1+m，1)，BC边的中点平移后的坐标为(-2+m，0)，AC边的中点平移后的坐标为(-2+m，-2)，

∵二次函数的图象在x轴的下方，点(-1+m，1)在x轴的上方，

∴AB边的中点不可能在二次函数的图象上，

把(-2+m，0)代入，得

-2(-2+m)2=0，

解得m=2；

把(-2+m，-2)代入，得

-2(-2+m)2=-2，

解得m1=1，m2=3；

∴的值为1，2，3，

故答案为1，2，3．

【点睛】

此题主要考查了平移的性质，中点坐标公式，二次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握二次函数图象上的点(x，y)的横纵坐标满足二次函数解析式．

三、解答题

1、 (1)

(2)m=2

(3)

【解析】

【分析】

（1）根据对称轴是直线x=1，利用二次函数对称轴方程可求出b，再根据抛物线与y轴的交点坐标C（0，3）可求出c，即可求出二次函数解析式；

（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，可得OB=OC，继而得出△OBC是等腰直角三角形，由PQ⊥OB，PE⊥BC，可得△DQB和△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BQ=DQ，BD=，DE=PD，由P的横坐标是m，用含m表示出DE、BD的长，再根据DE=BD列方程求解；

（3）过点A作垂直x轴直线交BC与点G，先直线BC解析式，再求AG，由 PQ⊥OB，AG⊥OB，可得 PQ∥AG，继而可得△PDH∽△AHG，由相似三角形的性质可得，再根据二次函数求最值求解即可

(1)

将C （0，3）代入y=-x2+bx+c可得c=3，

∵对称轴是直线x=1，

∴=1，即-=l，解得b=2，

∴二次函数解析式为y=-x2+2x+3；

(2)

令解得，

∴A(-1，0)，B（3，0），

∴OB=3，

∵OC=3，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠OBC=45°，BC=，

∵PQ⊥OB，PE⊥BC，

∴∠PQB=∠PED=90°，

∴∠QDB=∠PDE=∠OBC=45°，

∴△DQB和△PED是等腰直角三角形，

∴BQ=DQ，BD=，DE=，

∵P点横坐标是m，且在抛物线上，

∴PQ=，OQ=m，

∴BQ=DQ=3-m，BD=，

∴PD=PQ-DQ=，DE=，

∵DE＝BD，

∴，

解得：（舍去），

∴m=2

(3)

过点A作x轴的垂线交BC于点G，

设直线BC的解析式为：y=kx+b，

将B（3，0），C（0，3）代入，可得：

，

解得，

∴直线BC的解析式为：y=-x+3，

∵A（-1，0），

∴G（-1，4），

∴AG=4，

∴PQ⊥OB，AG⊥OB，

∴PQ∥AG，

∴△PDH∽△AHG，

∴，

∴当a=时，有最大值，最大值是．

故答案为：

【点睛】

本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数最值问题，相似三角形的性质与判定等知识，第（3）问将比例转化是解题关键．

2、 (1)，开口向下，顶点的坐标为

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）按题目要求配方成顶点式，根据顶点式写出开口方向和顶点坐标；

（2）根据解析式列表、描点、连线画二次函数图象

(1)

解：∵，

∴开口向下，顶点的坐标为

(2)

列表：

描点、连线如图，

【点睛】

本题考查了将二次函数化为顶点式，画二次函数图象，掌握顶点式的图象的性质是解题的关键．

3、 (1)，

(2)或

(3)

【解析】

【分析】

（1）对于，当时，，求得，解方程组即可得到结论；

（2）根据，，得到，连接，设的中点为，求得，，得到直线的解析式为，设，解方程即可得到结论；

（3）由（1）知，抛物线的对称轴为直线，根据轴对称的性质得到，，当，，三点共线时，最小，即最小，求得直线的解析式为，把代入即可得到结论．

(1)

解：对于，当时，，

，

抛物线为常数，交轴于点和点，

，

解得，

抛物线的解析式为；

(2)

解：，，

，

连接，设的中点为，

，，

直线的解析式为，

，

点在直线上，

设，

点是抛物线上一点，

，

解得，

点的坐标为，或，；

(3)

解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线，

点与点关于对称，点在直线上，

，，

当，，三点共线时，最小，即最小，

设直线的解析式为，

，

解得，

直线的解析式为，

把代入得，，

，

当最小时，求点的坐标．

【点睛】

本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，轴对称最短路线问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式．

4、 (1)二次函数的表达式为： ；

(2)．

【解析】

【分析】

（1）观察表格数据，由、可知，二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数的表达式为，再选一组值代入即可求出a值，解析式即可确定；

（2）先根据顶点坐标求出关于y轴对称的顶点坐标，然后设抛物线解析式为，结合表中数据可得函数图象经过，代入求解即可确定抛物线解析式．

(1)

解：观察表格数据，由、可知，二次函数图象的顶点坐标为，

设二次函数的表达式为，

把代入得，

，

∴，

∴，

即 ；

(2)

解：抛物线的顶点是，关于y轴的对称点，开口方向与原抛物线相同，

设二次函数的表达式为，

在y轴上且在函数图象上，

将其代入函数表达式为：，

解得：，

∴关于y轴对称的图象所对应的函数表达式为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的轴对称变换问题，求出关键点的对称点坐标是解题关键．

5、 (1)

(2)3

【解析】

【分析】

（1）把点的坐标代入抛物线，即可得出抛物线的表达式；

（2）先求出，，，再利用三角形面积公式求解即可．

(1)

解：把点的坐标代入抛物线，

得，

解得，

所以抛物线的表达式：；

(2)

解：抛物线的表达式，

令时，，

解得：，

，

当，，

，

，

．

【点睛】

本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确的设出抛物线的解析式．