冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试课后复习题

这是一份冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试课后复习题，共26页。试卷主要包含了抛物线y＝﹣2，二次函数的最大值是等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数专题练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知点、在二次函数的图象上，当，时，．若对于任意实数、都有，则的范围是（ ）．
A． B． C．或 D．
2、已知二次函数的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、根据表格对应值：
x
1.1
1.2
1.3
1.4
ax2＋bx＋c
﹣0.59
0.84
2.29
3.76
判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝2的一个解x的范围是（ ）
A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．无法判定
4、已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5、抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴是（　　）
A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣4
6、如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④一元二次方程的两根分别为；⑤若为方程的两个根，则且．其中正确的结论个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7、二次函数的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
8、如图，要在二次函数的图象上找一点，针对b的不同取值，所找点M的个数，有下列三种说法：①如果，那么点M的个数为0；②如果．那么点M的个数为1；③如果，那么点M的个数为2．上述说法中正确的序号是（ ）

A．① B．② C．③ D．②③
9、二次函数 的图像如图所示， 现有以下结论： （1） ： （2） ； （3）， （4） ； （5） ； 其中正确的结论有（ ）

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个．
10、如图，给出了二次函数的图象，对于这个函数有下列五个结论：①＜0；②ab＞0；③；④；⑤当y＝2时，x只能等于0．其中结论正确的是（ ）

A．①④ B．③⑤ C．②⑤ D．③④
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知抛物线与轴相交于，两点.若线段的长不小于2，则代数式的最小值为_______．
2、二次函数 y  2x21 的图象开口方向______．（填“向上”或“向下”）
3、若点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则a与b的大小关系是：a______b（填“＞”，“＜”或“＝”）．
4、将二次函数y＝﹣x2＋2图象向下平移3个单位，得到的函数图象顶点坐标为_____．
5、二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象如图所示，则关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝﹣4的根为______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求公司销售该商品获得的最大日利润．
2、已知抛物线经过点，与y轴交于点C，连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上方抛物线上取一点P，过点P作轴交边于点Q，求的最大值；
(3)在直线上方抛物线上取一点D，连接．交于点F，当时，求点D的坐标．
3、已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a．
(1)求该二次函数图象的对称轴以及抛物线与x轴的交点坐标；
(2)若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求△OPQ的面积；
(3)若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请直接写出t的最大值．
4、已知二次函数y＝x2－2x－3的图象为抛物线C．
(1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当2≤x≤4时，求该二次函数的函数值y的取值范围；
(3)将抛物线C先向右平移2个单位长度，得到抛物线C1；再将抛物线C1向下平移1个单位长度，得到抛物线C2，请直接写出抛物线C1，C2对应的函数解析式．
5、如图，一名垒球运动员进行投球训练，站在点O开始投球，球出手的高度是2米，球运动的轨迹是抛物线，当球达到最高点E时，水平距离EG=20米，与地面的高度EF=6米，掷出的球恰好落在训练墙AB上B点的位置，AB=3米．

(1)求抛物线的函数关系式；
(2)求点O到训练墙AB的距离OA的长度．

-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
先根据二次函数的对称性求出b的值，再根据对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，则二次函数y=x2-4x+n的最小值大于或等于1即可求解．
【详解】
解：∵当x1=1、x2=3时，y1=y2，
∴点A与点B为抛物线上的对称点，
∴，
∴b=-4；
∵对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，
∴二次函数y=x2-4x+n的最小值大于或等于1，
即，
∴c≥5．
故选：A．
【点睛】
本题考察了二次函数的图象和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其对称轴是直线：，顶点纵坐标是，抛物线上两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线：．
2、B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】
解：抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2-4ac>0，故①是错误的；
由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c>0，因此③是错误的；
由开口方向可得，a>0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，因此b-2
因此④正确的，
综上所述，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】
考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
3、B
【解析】
【分析】
利用表中数据可知当x=1.3和x=1.2时，代数式ax2＋bx＋c的值一个大于2，一个小于2，从而判断当1.2＜x＜1.3时，代数式ax2＋bx＋c的值为2．
【详解】
解：当x=1.3时，ax2＋bx＋c=2.29，
当x=1.2时，ax2＋bx＋c=0.84，
∵0.84＜2＜2.29，
∴方程解的范围为1.2＜x＜1.3，
故选：B
【点睛】
本题考查估算一元二次方程的近似解，解题关键是观察函数值的变化情况．
4、D
【解析】
【分析】
先求出对称轴x＝，再由已知可得 b≥1，即可求b的范围．
【详解】
解：∵，
∴对称轴为直线x＝b，开口向下，
在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴1不在对称轴左侧，
∴b≤1，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，充分理解对称轴与函数增减性之间的关系是解题的关键．
5、A
【解析】
【分析】
直接利用抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4，求得对称轴方程为：x=3．
【详解】
解：抛物线y=﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴方程为：直线x=3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质与图象，解题的关键是掌握：二次函数的顶点式与对称轴的关系．
6、C
【解析】
【分析】
根据图像，确定a，b，c的符号，根据对称轴，确定b，a的关系，当x=-1时，得到a-b+c=0，确定a，c的关系，从而化简一元二次方程，求其根即可，利用平移的思想，把y=的图像向上平移1个单位即可，确定方程的根．
【详解】
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右边，
∴b＜0，
∴，
故①正确；
∵二次函数的图像与x轴交于点，
∴a-b+c=0，
根据对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
当x=-2时，y＞0即，
故②正确；
∵，

∴b= -2a，
∴3a+c=0，
∴2a+c=2a-3a= -a＜0，
故③正确；
根据题意，得，
∴，
解得，
故④错误；
∵=0，
∴，
∴y=向上平移1个单位，得y=+1，
∴为方程的两个根，且且．
故⑤正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了抛物线的图像与系数的符号，抛物线的对称性，抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的增减性，平移，熟练掌握抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键．
7、D
【解析】
【分析】
由图象的性质可知在直线处取得最大值，将代入解析式计算求解即可．
【详解】
解：由图象的性质可知，在直线处取得最大值
∴将代入中得
∴最大值为2
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值．解题的关键在于掌握二次函数的图象与性质．
8、B
【解析】
【分析】
把点M的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断．
【详解】
解：∵点M（a，b）在抛物线y=x（2-x）上，

当b=-3时，-3=a（2-a），整理得a2-2a-3=0，
∵△=4-4×（-3）＞0，
∴有两个不相等的值，
∴点M的个数为2，故①错误；
当b=1时，1=a（2-a），整理得a2-2a+1=0，
∵△=4-4×1=0，
∴a有两个相同的值，
∴点M的个数为1，故②正确；
当b=3时，3=a（2-a），整理得a2-2a+3=0，
∵△=4-4×3＜0，
∴点M的个数为0，故③错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
9、C
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：（1）∵函数开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右边，∴，∴b＞0，故命题正确；
（2）∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故命题正确；
（3）∵当x=-1时，y＜0，∴a-b+c＜0，故命题错误；
（4）∵当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，故命题正确；
（5）∵抛物线与x轴于两个交点，∴b2-4ac＞0，故命题正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
10、D
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
①由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2-4ac＞0，故①错误；
②由抛物线的开口方向向下可推出a＜0；
因为对称轴为x==2＞0，又因为a＜0，∴b＞0，故ab＜0；②错误；
③由图可知函数经过（-1,0），∴当，，故③正确；
④对称轴为x=，∴，故④正确；
⑤当y＝2时，，故⑤错误；
∴正确的是③④
故选：D
【点睛】
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=−判断符号．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．
二、填空题
1、-1
【解析】
【分析】
将抛物线解析式配方，求出顶点坐标为（1，-2）在第四象限，再根据抛物线与x轴有两个交点可得，设为A，B两点的横坐标，然后根据已知，求出的取值范围，再设，配方代入求解即可．
【详解】
解：
=
=
∴抛物线顶点坐标为（1，-2），在第四象限，
又抛物线与轴相交于A，两点.
∴抛物线开口向上，即
设为A，B两点的横坐标，
∴
∵线段的长不小于2，
∴
∴
∴
∴
∴
解得，
设
当时，有最小值，最小值为：
故答案为：-1
【点睛】
本题主要考查发二次函数的图象与性质，熟记完全平方公式和根与系数的关系是解题的关键．
2、向上
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的性质，a＞0，抛物线开口向上，a＜0，抛物线开口向下可求解．
【详解】
∵a=2>0，
∴二次函数y=2x2+1图象的开口方向是向上，
故答案为：向上．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，由a的符号确定抛物线的开口方向是解题的关键．
3、＜
【解析】
【分析】
根据二次函数的解析式求得对称轴以及开口方向，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断的大小关系．
【详解】
解：∵二次函数y＝（x﹣1）2，，开口向上，对称轴为
又点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，


故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
4、（0，-1）
【解析】
【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
解：将二次函数y＝-x2+2图象向下平移3个单位，
得到y＝-x2+2-3=-x2-1，
顶点坐标为（0，-1），
故答案为：（0，-1）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
5、x=-5或x=0##或
【解析】
【分析】
根据图象求出方程ax2＋bx＋4=0的解，再根据方程的特点得到x+1=-4或x+1=1，求出x的值即可．
【详解】
解：由图可知：二次函数y＝ax2＋bx＋4与x轴交于（-4，0）和（1，0），
∴ax2＋bx＋4=0的解为：x=-4或x=1，
则在关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝-4中，
x+1=-4或x+1=1，
解得：x=-5或x=0，
即关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝-4的解为x=-5或x=0，
故答案为：x=-5或x=0．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据题意利用数形结合求出方程的解是解答此题的关键．
三、解答题
1、 (1)y=-x+120；
(2)最大日利润是2025元．
【解析】
【分析】
（1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，也可以根据关系直接写出关系式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值．
(1)
解：设解析式为y=kx+b，
将（40，80）和（60，60）代入，可得，
解得：，
所以y与x的关系式为y=-x+120；
(2)
解：设公司销售该商品获得的日利润为w元，
w=（x-30）y=（x-30）（-x+120）
=-x2+150x-3600
=-（x-75）2+2025，
∵x-30≥0，-x+120≥0，
∴30≤x≤120，
∵-1＜0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当x=75时，w最大=2025，
答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．
【点睛】
本题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．
2、 (1)
(2)
(3)（1，4）或（2，3）
【解析】
【分析】
（1）根据题意待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据二次函数解析式求得点得到坐标，进而求得直线的解析式，设P点坐标为，则Q点坐标为，进而表示出的长，根据二次函数的性质求得最大值即可；
（3）过点D作BC的平行线交x轴于G，交y轴于E，根据∆COF与∆CDF共高，面积比转化为底边比，求得,根据平行线分线段成比例求得，进而求得的长，即可求得的坐标，根据一次函数的平移可得直线EG解析式为：y= -x+5，联立直线与抛物线解析式，即可求得点的坐标
(1)
抛物线经过点，

解得
抛物线的解析式为：
(2)
抛物线的解析式为：
令，则


设直线的解析式为
则
解得
直线BC的解析式为：
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设P点坐标为，

则Q点坐标为，
则


∴PQ的最大值是．
(3)
∵∆COF与∆CDF共高，面积比转化为底边比，
OF：DF=S△COF：S△CDF＝3：2
过点D作BC的平行线交x轴于G，交y轴于E，
根据平行线分线段成比例，
OF：FD=OC：CE=3：2

∵OC=3，
∴OE=5，
∴E（0，5）
∴直线EG解析式为：y= -x+5
联立方程，得：
解得：，
则点D的坐标为（1，4）或（2，3）；
【点睛】
本题考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数的性质求最值，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．
3、 (1)对称轴x＝2；交点坐标为（1，0）和（3，0）
(2)10
(3)4
【解析】
【分析】
（1）解析式化成顶点式即可求得对称轴，令y＝0，得到关于x的方程，解方程即可求得抛物线与x轴的交点坐标；
（2）构建方程求出a的值，再求出△OPQ的面积即可解决问题；
（3）当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，推出当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合且在点Q关于对称轴对称点的右边时，满足条件，可得t+1≤5且t≥﹣1，由此即可解决问题．
(1)
解：∵y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，
∴对称轴x＝2；
令y＝0，则ax2﹣4ax+3a＝0，
解得x＝1或3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）；
(2)
解：∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，
∴当x＝2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2，即P（2，2），
∴4a﹣8a+3a＝2，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2x2+8x﹣6，
∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴当x＝1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．
∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x＝4时，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6．
∴当1≤x≤4时，y的最小值为﹣6，即Q（4，﹣6）．
∴△OPQ的面积为4×（2+6）﹣2×2÷2﹣4×6÷2﹣（4﹣2）×（2+6）÷2＝10；
(3)
解：∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，
∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合且在点Q关于对称轴对称点的右边时，满足条件，
∴t+1≤5且t≥﹣1，
∴﹣1≤t≤4，
∴t的最大值为4．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，函数的最值问题等知识，解题的关键是读懂题意、灵活运用所学知识解决问题．
4、 (1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为
(2)
(3)，
【解析】
【分析】
（1）将二次函数化为顶点式，由此可得答案；
（2）分别求出时，时的函数值，根据函数的增减性解答；
（3）根据二次函数的平移规律解答．
(1)
解：∵，∴抛物线C的开口向上．
∵，
∴抛物线C的对称轴为直线，顶点坐标为．
(2)
解：当时，y随x的增大而增大；
∵当时，；当时，．
∴函数值y的取值范围是．
(3)
解：抛物线对应的函数解析式为；
抛物线对应的函数解析式为．
【点睛】
此题考查了将二次函数化为顶点式，二次函数的性质，利用函数的增减求出函数值的取值范围，二次函数的平移规律，熟记各知识点是解题的关键．
5、 (1)抛物线的关系式为y=-0.01（x-20）2+6；
(2)点O到训练墙AB的距离OA的长度为（20+10）米．
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的顶点设关系式为y=a（x-20）2+6，再根据点C的坐标可得关系式；
（2）把y=3代入可得答案．
(1)
解：由题意得，顶点E（20，6）和C（0，2），
设抛物线的关系式为y=a（x-20）2+6，
∴2=a（0-20）2+6，
解得a=-0.01，
∴抛物线的关系式为y=-0.01（x-20）2+6；
(2)
（2）当y=3时，3=-0.01（x-20）2+6，
解得x1=20+10，x2=20-10（舍去），
答：点O到训练墙AB的距离OA的长度为（20+10）米．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，利用待定系数法得到抛物线的关系式是解题关键．