数学第30章 二次函数综合与测试课时练习

这是一份数学第30章 二次函数综合与测试课时练习，共30页。试卷主要包含了若点A，抛物线的顶点坐标为，二次函数的最大值是等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数定向测评 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、若二次函数与轴的一个交点为，则代数式的值为（       ）A． B． C． D．2、已知二次函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，则下列命题中正确的是（       ）A．若a＝1，函数图象经过点(－1，1) B．若a＝－2，函数图象与x轴交于两点C．若a＜0，函数图象的顶点在x轴下方 D．若a＞0且x≥1，则y随x增大而减小3、抛物线的顶点为（       ）A． B． C． D．4、如图，要在二次函数的图象上找一点，针对b的不同取值，所找点M的个数，有下列三种说法：①如果，那么点M的个数为0；②如果．那么点M的个数为1；③如果，那么点M的个数为2．上述说法中正确的序号是（       ）A．① B．② C．③ D．②③5、若点A（－1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝2x2＋x－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（       ）A．y1＜y2＞＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y16、已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（       ）A．-2 B．-1 C．4 D．77、抛物线的顶点坐标为（　　）A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（4，5）8、二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（       ）A． B．C． D．9、二次函数的最大值是（   ）A． B． C．1 D．210、已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（       ）A．1 B．-1 C． D．无法确定第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为_________．2、已知二次函数的图象如图所示，有下列五个结论：①；②；③；④；⑤（为实数且）．其中正确的结论有______（只填序号）．3、二次函数的图像的顶点在轴上，则的值为__________．4、二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下：x…﹣30135…y…7﹣8﹣9﹣57…则一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5的解为 _____．5、在平面直角坐标系中，设点P是抛物线的顶点，则点P到直线的距离的最大值为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知，如图，直线分别与轴、轴交于点、，抛物线经过点和点，其对称轴与直线交于点．(1)求二次函数的表达式；(2)若抛物线（其中）与抛物线的对称轴交于点．与直线交于点，过点作轴交抛物线的对称轴左侧部分于点．①若点和点重合，求的值；②若点在点的下方，求、的长（用含有的代数式表示）；③在②的条件下，设的长度为个单位，的长度为个单位，若．直接写出的范围．2、高邮双黄鸭蛋已入选全世界最值得品尝百种味道，某专卖店根据以往销售数据发现：高邮双黄鸭蛋每天销售数量y（盒）与销售单价x（元/盒）的关系满足一次函数，每盒高邮双黄鸭蛋各项成本合计为40元/盒．(1)若该专卖店某天获利800元，求销售单价x（元/盒）的值；(2)当销售单价x定为多少元/盒时，该专卖店每天获利最大？最大利润为多少？(3)若该专卖店决定每销售一盒就捐出元给当地学校作为贫困学生的助学金，当每天的销售量不低于25盒时，为了确保该店每天扣除捐出后的利润随着销售量的减小而增大，则m的取值范围为______．3、如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．(1)求此抛物线的解析式；(2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．4、在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，（点在点的左侧），点是抛物线上一点．(1)若，时，用含的式子表示；(2)若，，，的外接圆为，求点的坐标和弧的长；(3)在（1）的条件下，若有最小值，求此时的抛物线解折式5、己知二次函数．(1)若此二次函数图象的对称轴为，求它的解析式；(2)当时，y随x增大而减小，求k的取值范围． -参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】把代入即可求出，则，进而可求出代数式的值．【详解】解：二次函数与轴的一个交点为，时，，，，故选：D．【点睛】本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是把代入求出的值．2、B【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质逐项分析即可．【详解】A、当a=1，x=-1时，，故函数图象经过点(－1，2)，不经过点(－1，1)，故命题错误；B、a＝－2时，函数为，令y=0，即，由于，所以方程有两个不相等的实数根，从而函数图象与x轴有两个不同的交点，故命题正确；C、当a<0时， ，其顶点坐标为，当a=−1时，顶点坐标为(1，0 )，在x轴上，故命题错误；D、由于，抛物线的对称轴为直线x=1，当a＞0且x≥1时，y随x增大而增大，故命题错误．故选：B【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．3、B【解析】【分析】根据抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k可得顶点坐标是（h，k）．【详解】解：∵y=2（x-1）2+3，∴抛物线的顶点坐标为（1，3），故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）．4、B【解析】【分析】把点M的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断．【详解】解：∵点M（a，b）在抛物线y=x（2-x）上， 当b=-3时，-3=a（2-a），整理得a2-2a-3=0，∵△=4-4×（-3）＞0，∴有两个不相等的值，∴点M的个数为2，故①错误；当b=1时，1=a（2-a），整理得a2-2a+1=0，∵△=4-4×1=0，∴a有两个相同的值，∴点M的个数为1，故②正确；当b=3时，3=a（2-a），整理得a2-2a+3=0，∵△=4-4×3＜0，∴点M的个数为0，故③错误；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．5、B【解析】【分析】由题意可知函数图象的对称轴、增减性；根据对称将A转化到对称轴的右侧，得到的坐标表示，然后比较三点横坐标的大小，进而判断三点纵坐标的大小即可．【详解】解：由知该函数图象开口向上，对称轴是直线，在对称轴的右侧，y随x的增加而增大∴点A对称的点的坐标为∵∴故选B．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于掌握该函数图象与性质．6、C【解析】【分析】根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解【详解】解：∵二次函数，当时，x的取值范围是，∴，二次函数开口向下解得，对称轴为当时，，经过原点，根据函数图象可知，当，，根据对称性可得时，二次函数图象经过点，或不可能是4故选C【点睛】本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键．7、A【解析】【分析】根据抛物线的顶点坐标为 ，即可求解．【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键．8、D【解析】【分析】根据二次函数图象性质解题．【详解】解：A.由图可知，二次函数图象的对称轴为：x=1，即，故A不符合题意；B.二次函数图象与y轴交于负半轴，即c<0，故B不符合题意；C.由图象可知，当x=1时，y=，故C不符合题意，D.由图象的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），当x=-2时，，，故D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．9、D【解析】【分析】由图象的性质可知在直线处取得最大值，将代入解析式计算求解即可．【详解】解：由图象的性质可知，在直线处取得最大值∴将代入中得∴最大值为2故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的最值．解题的关键在于掌握二次函数的图象与性质．10、C【解析】【分析】分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；【详解】当a＞0时，∵对称轴为x=，当x=1时，y有最小值为2，当x=3时，y有最大值为4a+2，∴4a+2-2=4．∴a=1，当a＜0时，同理可得y有最大值为2； y有最小值为4a+2，∴2-(4a+2)=4，∴a=-1，综上，a的值为故选：C【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．二、填空题1、2【解析】【分析】首先求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标，然后根据“特征三角形”是等腰直角三角形列方程求解即可．【详解】解：∵∴，代入得：∴抛物线的顶点坐标为∵当时，即，解得：，∴抛物线与x轴两个交点坐标为和∵的“特征三角形”是等腰直角三角形，∴，即解得：．故答案为：2．【点睛】此题考查了二次函数与x轴的交点问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标．2、③④⑤【解析】【分析】先利用二次函数的开口方向，与轴交于正半轴，二次函数的对称轴为：判断的符号，可判断①，由图象可得：在第三象限，可判断②，由抛物线与轴的一个交点在之间，则与轴的另一个交点在之间，可得点在第一象限，可判断③，由在第四象限，抛物线的对称轴为： 即 可判断④，当时，，当， 此时： 可判断⑤，从而可得答案.【详解】解：由二次函数的图象开口向下可得： 二次函数的图象与轴交于正半轴，可得 二次函数的对称轴为： 可得 所以： 故①不符合题意；由图象可得：在第三象限， 故②不符合题意；由抛物线与轴的一个交点在之间，则与轴的另一个交点在之间， 点在第一象限， 故③符合题意；在第四象限， 抛物线的对称轴为： 故④符合题意； 当时，，当， 此时： 故⑤符合题意；综上：符合题意的有：③④⑤，故答案为：③④⑤．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的应用二次函数的图象与性质判断代数式的符号是解题的关键.3、【解析】【分析】顶点在x轴上，即纵坐标为0．利用顶点坐标公式即可求出m的值．【详解】解：∵抛物线y=2x2-4x+3m的顶点在x轴上，∴，∴m=．故答案为．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-），应熟练掌握．4、，【解析】【分析】从表中找到三对数值，将三对数值分别代入y=ax2+bx+c组成方程组，求出a、b、c的值，然后再运用因式分解法求解方程即可得到结论．【详解】解：将（-3，7），（0，-8），（1，-9）代入y=ax2+bx+c得， 整理得， ②×3+①，得 ∴ 把代入②得， ∴ 又 ∴一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5可变形为： 即：∴ ∴，或 解得，，故答案为：，【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式和一元二次方程的解法，从图表中找到相关的量是解题的关键．5、5【解析】【分析】根据抛物线解析式求出点P坐标，由直线解析式可知直线恒过点B（0，-3），当PB与直线垂直时，点P到直线的距离最大，根据两点间距离公式可出最大距离．【详解】解：∵∴P（3，1）又直线恒过点B（0，-3），如图，∴当PB与直线垂直时，点P到直线的距离最大，此时， ∴点P到直线的距离的最大值为5故答案为：5．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，以及点到直线间的距离，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．三、解答题1、 (1)(2)①；②，当时，；当时，；③【解析】【分析】（1）先确定A（-3，0），B（0，3），分别代入解析式，求得b，c的值即可；（2）①利用对称轴与直线y=x+3的交点，确定点C（-1，2），代入解析式中，求的值；②分当＜m＜1和m≥1两种情况解答即可；③根据得b=m+1，结合前面的解答直接写出的范围即可．(1)∵直线分别与轴、轴交于点、，∴A（-3，0），B（0，3），把A（-3，0），B（0，3）分别代入解析式，得，解得∴抛物线的解析式为：．(2)①∵的对称轴为直线，直线AB的解析式为y=x+3，∴点、，∵点和点重合，∴，解得：，∵，∴．②∵点、，且点D在点C的下方，∴CD=2-（）=；∵点D在点C的下方，∴，当x=1时，，∵轴，∴点F的纵坐标为，∴=即=0，解得x== -1±|m-1|，当时，x=-1+1-m=-m，此时，交点D不满足在C的下方，舍去；或x=-1-1+m=m-2，∴EF=；当m≥1时，x=-1+m-1=m-2，此时，交点D不满足在C的下方，舍去；或x=-1-m+1=-m，∴EF=．③∵，∴=，∴=，∴b=m+1，b=-（m+1）舍去，∴m≥1．【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，一元二次方程的解法，抛物线的平移，熟练掌握抛物线的性质，正确解方程是解题的关键．2、 (1)60或80(2)当销售单价x定70元/盒时，该专卖店每天获利最大，最大利润，900元(3)【解析】【分析】（1）利用利润等于每天的销售额减去总成本，列出方程，即可求解；（2）设该专卖店每天获利 元，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解；（3）设该店每天扣除捐出后的利润为 元，每天销售量为 盒，则每盒的销售单价为元/盒 ，每盒的利润为 元，根据题意列出关于的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．(1)解：根据题意得： ，解得： ，答：若该专卖店某天获利800元，销售单价为60或80元/盒；(2)解：设该专卖店每天获利 元，根据题意得：，∴当销售单价x定70元/盒时，该专卖店每天获利最大，最大利润，900元；(3)解：设该店每天扣除捐出后的利润为 元，每天销售量为 盒，则每盒的销售单价为元/盒 ，每盒的利润为 元，根据题意得： ，∵ ，∴该图象开口向下，对称轴为： ，根据题意得：当 时， 随 的减小而增大，∴ ，解得： ，∵ ，∴m的取值范围为 ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．3、 (1)y＝x2+2x﹣3；(2)（﹣，）(3)（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，）或（-1，）【解析】【分析】（1）把点A，B代入y＝ax2+bx﹣3即可；（2）设P（x，x2+2x﹣3），求出直线AB的解析，用含x的代数式表示出点E坐标，即可用含x的代数式表示出PE的长度，由函数的思想可求出点P的横坐标，进一步求出其纵坐标；（3）设点Q（-1，a），然后分类讨论利用勾股定理列出关于a的方程求解．(1)解：把A（﹣3，0）和C（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，得，，解得，，∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；(2)解：设P（x，x2+2x﹣3），直线AB的解析式为y＝kx+b，由抛物线解析式y＝x2+2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴B（0，﹣3），把A（﹣3，0）和B（0，﹣3）代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣3，∵PE⊥x轴，∴E（x，﹣x﹣3），∵P在直线AB下方，∴PE＝﹣x﹣3﹣（ x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+）2+，当x＝﹣时，y＝x2+2x﹣3＝，∴当PE最大时，P点坐标为（﹣，）；(3)存在，理由如下，∵x＝﹣＝-1，∴抛物线的对称轴为直线x＝-1，设Q（-1，a），∵B（0，-3），A（-3，0），①当∠QAB＝90°时，AQ2+AB2＝BQ2，∴22+a2+32+32＝12+（3+a）2，解得：a＝2，∴Q1（-1，2），②当∠QBA＝90°时，BQ2+AB2＝AQ2，∴12+（3+a）2+32+32＝22+a2，解得：a＝﹣4，∴Q2（-1，﹣4），③当∠AQB＝90°时，BQ2+AQ2＝AB2，∴12+（3+a）2+22+a2＝32+32，解得：a1＝或a1＝，∴Q3（-1，），Q4（-1，），综上所述：点Q的坐标是（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，）或（-1，）．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，解题的关键是用含有未知数的代数式表达点的坐标和线段的长度．4、 (1)(2)E点坐标为，弧长为(3)【解析】【分析】（1）将，代入，计算求解即可；（2）将与代入，得到，然后将解析式因式分解，得到点坐标分别为；如图，在直角坐标系中作，连接；点为中点，坐标为；点为中点，坐标为，，，有，，，，，得的值，进而可求出点坐标；，知，，AE= ，根据求解即可；（3），知，， 最小时，有，解得值，故可得值，进而可得出抛物线的解析式．(1)解：将与代入得∴用含的式子表示为．(2)解：将与代入得∴∴点坐标分别为如图，作，连接∴，∴点为中点，坐标为即；点为中点，坐标为即∵∴∴∴∵，，∴∴点坐标为∵∴∴∴AE= ∴的坐标为，的长为．(3)解：由题意知∵，∴∵最小时，有解得∴∴．【点睛】本题考查了代数式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值，三角形相似的判定与性质，三角形的外接圆，弧长等知识．解题的关键与难点在于对知识的熟练掌握并能灵活运用．5、 (1)y= x 2−2x−3(2)【解析】【分析】（1）直接根据二次函数对称轴的概念可得答案；（2）根据二次函数的性质可得问题的答案.(1)解：由题意，得：a=1，b=−k，c= k−5；∴对称轴x=，解得：k=2，∴二次函数解析式y= x 2−2x−3；(2)解：二次函数，a=1>0，∴其图象开口向上，∵时，y随x 的增大而减小，∴对称轴位于x＝1的右侧或对称轴为直线x＝1，∴，解得：.【点睛】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，掌握对称轴的概念、二次函数的图象的性质是解决此题关键．