初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试复习练习题

九年级数学下册第三十章二次函数定向测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、对于抛物线下列说法正确的是（       ）

A．开口向下 B．其最大值为-2 C．顶点坐标 D．与x轴有交点

2、若函数，则当函数y=15时，自变量的值是（     ）

A． B．5 C．或5 D．5或

3、在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象大致如图（　　）

A． B．

C． D．

4、二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

5、已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

6、同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（       ）

A．  B．

C．  D．

7、如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，若抛物线的顶点在直线上移动，且与线段、都有公共点，则h的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

8、二次函数y＝ax2+bx+c的图像全部在x轴的上方，下列判断中正确的是（       ）

A．a＜0，c＜0 B．a＜0，c＞0 C．a＞0，c＜0 D．a＞0，c＞0

9、已知二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，则a的取值范围是（       ）

A．a＜4 B．a≤4 C．a＜4且a≠0 D．a≤4且a≠0

10、已知二次函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，则下列命题中正确的是（       ）

A．若a＝1，函数图象经过点(－1，1) B．若a＝－2，函数图象与x轴交于两点

C．若a＜0，函数图象的顶点在x轴下方 D．若a＞0且x≥1，则y随x增大而减小

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、最大值与最小值之和为_________．

2、抛物线的对称轴是直线，则它的顶点坐标为______

3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），直线经过点；当时，直线分别与轴，抛物线交于，两点；当时，直线分别与轴，抛物线交于，两点；……；当（为正整数）时，直线分别与轴，抛物线交于，两点，则线段长为______．（用含的代数式表示）

4、已知二次函数的图象如图所示，有下列五个结论：①；②；③；④；⑤（为实数且）．其中正确的结论有______（只填序号）．

5、当x≥m时，两个函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2和y2＝﹣（x﹣3）2＋1的函数值都随着x的增大而减小，则m的最小值为_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知二次函数．

(1)把它配方成的形式，并写出它的开口方向、顶点的坐标；

(2)作出函数的图象（列表描出五个关键点）．

2、已知二次函数的图象经过点．

(1)求二次函数的表达式；

(2)求二次函数的图象与轴的交点坐标．

3、某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图，其中AB段为反比例函数图像的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为w（万元）．

(1)请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；

①求出当4≤x≤8时的函数关系式；

②求出当8＜x≤28时的函数关系式．

(2)求出这种电子产品的年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；

(3)求出年利润的最大值．

4、已知二次函数的图像经过点（1，4）和点（2，3）．

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)求该二次函数图像的顶点坐标．

(3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？

5、二次函数（、、是常数，）的自变量和函数值部分对应值如下表：

根据以上列表，回答下列问题：

(1)直接写出、的值；

(2)求此二次函数的解析式．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质对各选项分析判断即可得解．

【详解】

解：由y=（x-1）2-2，可知，a=1＞0，则抛物线的开口向上，

∴A选项不正确；

由抛物线，可知其最小值为-2，∴B选项不正确；

由抛物线，可知其顶点坐标，∴C选项不正确；

在抛物线中，△=b²-4ac=8>0，与与x轴有交点，∴D选项正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，掌握开口方向，对称轴、顶点坐标以及与x轴的交点坐标的求法是解决问题的关键．

2、D

【解析】

【分析】

根据题意，利用分类讨论的方法可以求得当函数y=15时，自变量x的值．

【详解】

解：当x＜3时，

令2x2-3=15，

解得x=-3；

当x≥3时，

令3x=15，

解得x=5；

由上可得，x的值是-3或5，

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．

3、B

【解析】

【分析】

分别利用函数解析式分析图象得出答案．

【详解】

解：A、二次函数开口向下，k＜0；一次函数图象经过第一、三象限，k＞0，故此选项错误；

B、两函数图象符合题意；

C、二次函数开口向上，k＞0；一次函数图象经过第二、四象限，k＜0，故此选项错误；

D、一次函数解析式为：y=kx-2，图象应该与y轴交在负半轴上，故此选项错误．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确得出k的符号是解题关键．

4、D

【解析】

【分析】

根据二次函数图象性质解题．

【详解】

解：A.由图可知，二次函数图象的对称轴为：x=1，即，故A不符合题意；

B.二次函数图象与y轴交于负半轴，即c<0，故B不符合题意；

C.由图象可知，当x=1时，y=，故C不符合题意，

D.由图象的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），当x=-2时，，，故D符合题意，

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

5、C

【解析】

【分析】

由二次函数的性质,取得开口方向以及对称轴，进而可确定出的范围．

【详解】

解：，

抛物线开口向上，对称轴为，

当时，随的增大而减小，

在时，随的增大而减小，

，

解得，

故选：C．

【点睛】

本题考查二次函数图象性质，不等式的解法．能够得出关于的不等式，并正确求解不等式是解题关键．

6、D

【解析】

【分析】

根据一次函数，二次函数的图象与性质逐一分析两个解析式中的的符号，再判断即可.

【详解】

解：选项A：由的图象可得：

由的图象可得：则 故A不符合题意；

选项B：由的图象可得：

由的图象可得：则

而抛物线的对称轴为： 则 故B不符合题意；

选项C：由的图象可得：

由的图象可得：则 故C不符合题意；

选项D：由的图象可得：

由的图象可得：则

而抛物线的对称轴为： 则 故D符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键.

7、B

【解析】

【分析】

将与联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线可求得k＝−h，于是可得到抛物线的解析式为y＝（x−h）2−h，由图形可知当抛物线经过点B和点C时抛物线与线段AB、BO均有交点，然后将点C和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围．

【详解】

解：∵将与联立得：，

解得：．

∴点B的坐标为（−2，1），

由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k），

∵将x＝h，y＝k，代入得y＝−x得：−h＝k，解得k＝−h，

∴抛物线的解析式为y＝（x−h）2−h，

如图1所示：当抛物线经过点C时，

将C（0，0）代入y＝（x−h）2−h得：h2−h＝0，解得：h1＝0（舍去），h2＝；

如图2所示：当抛物线经过点B时，

将B（−2，1）代入y＝（x−h）2−h得：（−2−h）2−h＝1，整理得：2h2＋7h＋6＝0，解得：h1＝−2，h2＝−（舍去）．

综上所述，h的范围是−2≤h≤，即−2≤h≤

故选：B．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与线段AB、BO均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点O是解题解题的关键．

8、D

【解析】

【分析】

由抛物线全部在轴的上方，即可得出抛物线与轴无交点且，进而即可得出、，此题得解．

【详解】

解：二次函数的图象全部在轴的上方，

，，

，

，

．

，．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的性质．

9、D

【解析】

【分析】

由二次函数的定义得a≠0，再由二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点得到Δ≥0，解不等式即可．

【详解】

解：∵二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，

∴Δ＝42﹣4a×1≥0，且a≠0，

解得：a≤4，且a≠0．

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与x轴的交点，关键是Δ＝b2−4ac决定抛物线与x轴交点的个数．

10、B

【解析】

【分析】

根据二次函数的图象与性质逐项分析即可．

【详解】

A、当a=1，x=-1时，，故函数图象经过点(－1，2)，不经过点(－1，1)，故命题错误；

B、a＝－2时，函数为，令y=0，即，由于，所以方程有两个不相等的实数根，从而函数图象与x轴有两个不同的交点，故命题正确；

C、当a<0时， ，其顶点坐标为，当a=−1时，顶点坐标为(1，0 )，在x轴上，故命题错误；

D、由于，抛物线的对称轴为直线x=1，当a＞0且x≥1时，y随x增大而增大，故命题错误．

故选：B

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．

二、填空题

1、##

【解析】

【分析】

将已知式子化成，分和两种情况，再利用一元二次方程根的判别式可得一个关于的不等式，然后利用二次函数的性质求出的取值范围，从而可得的最大值与最小值，由此即可得出答案．

【详解】

解：由得：，

①当时，；

②当时，则关于的方程根的判别式大于或等于0，

即，

整理得：，

解方程得：，

则对于二次函数，当时，的取值范围为，且，

综上，的取值范围为，

所以的最大值为3，最小值为，

所以的最大值与最小值之和为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式、二次函数的性质等知识，将求最值问题转化为一元二次方程问题是解题关键．

2、

【解析】

【分析】

根据顶点坐标公式求得横坐标等于2，即可求得的值，进而求得顶点坐标．

【详解】

抛物线的对称轴是直线

即抛物线解析式为

当时，

它的顶点坐标为

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，求得的值是解题的关键．

3、

【解析】

【分析】

根据抛物线解析式结合题意可求出A点坐标，又点A在直线上，即可求出，即得出直线解析式．当时，直线解析式即为，即可求出此时的坐标．联立抛物线解析式和直线解析式，即可求出的坐标，再代入抛物线解析式，可求出其纵坐标．最后利用两点的距离公式就出结果即可．

【详解】

∵与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），

令，则，

解得：，．

∴A点坐标为(-1，0)．

∵直线经过点A，

∴，

解得：，

∴该直线解析式为．

当时，直线解析式为，

令，则，

∴的坐标为(0，n)．

联立，即，

解得：，．

∴的横坐标为n+1．

将代入中，得：，

∴的坐标为()．

∴

故答案为：．

【点睛】

本题为二次函数与一次函数综合题，较难．考查二次函数图象与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求函数解析式，二次函数图象与一次函数图象的交点以及两点的距离公式．正确求出和的坐标是解答本题的关键．

4、③④⑤

【解析】

【分析】

先利用二次函数的开口方向，与轴交于正半轴，二次函数的对称轴为：判断的符号，可判断①，由图象可得：在第三象限，可判断②，由抛物线与轴的一个交点在之间，则与轴的另一个交点在之间，可得点在第一象限，可判断③，由在第四象限，抛物线的对称轴为： 即 可判断④，当时，，当， 此时： 可判断⑤，从而可得答案.

【详解】

解：由二次函数的图象开口向下可得：

二次函数的图象与轴交于正半轴，可得

二次函数的对称轴为： 可得

所以： 故①不符合题意；

由图象可得：在第三象限，

故②不符合题意；

由抛物线与轴的一个交点在之间，则与轴的另一个交点在之间，

点在第一象限，

故③符合题意；

在第四象限，

抛物线的对称轴为：

故④符合题意；

当时，，

当，

此时：

故⑤符合题意；

综上：符合题意的有：③④⑤，

故答案为：③④⑤．

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的应用二次函数的图象与性质判断代数式的符号是解题的关键.

5、4

【解析】

【分析】

先确定两个函数的开口方向和对称轴，再得出符合条件的x的取值范围，从而得到m的最小值．

【详解】

解：函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2开口向下，对称轴为直线x=4，

函数y2＝﹣（x﹣3）2＋1开口向下，对称轴为直线x=3，

当函数值都随着x的增大而减小，

则x≥4，即m的最小值为4，

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的基本性质．

三、解答题

1、 (1)，开口向下，顶点的坐标为

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）按题目要求配方成顶点式，根据顶点式写出开口方向和顶点坐标；

（2）根据解析式列表、描点、连线画二次函数图象

(1)

解：∵，

∴开口向下，顶点的坐标为

(2)

列表：

描点、连线如图，

【点睛】

本题考查了将二次函数化为顶点式，画二次函数图象，掌握顶点式的图象的性质是解题的关键．

2、 (1)y＝x 2+ x﹣；

(2)（0，﹣）．

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法，把代入函数解析式即可求；

（2）令x＝0，求得y的值即可得出结论．

(1)

解：∵二次函数y＝a（x+1）2﹣2的图象经过点（﹣5，6），

∴a（﹣5+1）2﹣2＝6．

解得：a＝．

∴二次函数的表达式为：y＝（x+1）2﹣2，即y＝x 2+ x﹣；

(2)

解：令x＝0，则y＝×（0+1）2﹣2＝﹣，

∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣）．

【点睛】

本题主要考查了待定系数法确定抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键．

3、 (1)①y＝；②y＝－x+28

(2)

(3)年利润最大为114元

【解析】

【分析】

（1）①当4≤x≤8时，设（k≠0）.将点A（4，40）的坐标代入计算即可；

②当8＜x≤28时，设y=k′x+b（k′≠0）. 分别将点B（8，20），C（28，0）的坐标代入y＝k′x+b，计算即可；

（2）分4≤x≤8、8＜x≤28两种情况，利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；

（3）分4≤x≤8、8＜x≤28两种情况，分别求出w的最大值，进而求解；

(1)

①当4≤x≤8时，设（k≠0）.

将点A（4，40）的坐标代入，得k＝4×40＝160，

∴y＝

②当8＜x≤28时，设y=k′x+b（k′≠0）.

分别将点B（8，20），C（28，0）的坐标代入y＝k′x+b，得解得

∴y＝－x +28

(2)

当4≤x≤8时，w＝

当8＜x≤28时，w=(x－4)y＝(x－4)(－x+28)＝－x2+32x－112

＝－(x－16)2+114

综上可知，w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式为

(3)

当4≤x≤8时，

∵－640＜0，

∴w随x增大而增大，

∴当x＝8时，w有最大值，为

当8＜x≤28时，

∵－1＜0

∴当x＝16时，w有最大值，为114

∵80＜114

∴当每件的销售价格定为16元时，年利润最大为114元

【点睛】

本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义；解题时注意，依据函数图象可得函数关系式为分段函数，解决问题时需要运用分类思想以及数形结合思想进行求解．

4、 (1)

(2)

(3)当时，y随x的增大而减小

【解析】

【分析】

（1）将点（1，4）和（2，3）代入中，得，进行计算即可得；

（2）将配方得，即可得；

（3）根据二次函数的性质得即可得．

(1)

解：将点（1，4）和（2，3）代入中，得

解得

则该二次函数表达式为．

(2)

解：

配方得：，

则顶点坐标为（1，4）．

(3)

解：根据二次函数的性质得，当时，y随x的增大而减小．

【点睛】

本题考查了二次函数，解题的关键是掌握二次函数的性质．

5、 (1)c=5，m=8

(2)y=x²+2x+5

【解析】

【分析】

(1)根据抛物线的对称性及表格中函数值x相等可求出对称轴进而求出m的值；根据自变量x=0可求出抛物线与y轴的交点，即可求得c的值；

(2)根据对称轴为x=-1，得到抛物线顶点为(-1,4)，设顶点式为y=a(x+1)2+4，代入其中一个点求出a的值即可求出二次函数解析式．

(1)

解：根据图表可知：

二次函数的图象过点(0，5)，(-2，5)，

∴二次函数的对称轴为：直线，

∵直线x=-3到对称轴x=-1的距离为2，直线x=1到对称轴x=-1的距离也为3，

∴(-3，8)的对称点为(1，8)，

∴m=8，

当x=0时，由表格中数据可知：c=5．

(2)

解：∵对称轴是直线x=-1，

∴由表格中数据可知：顶点为(-1，4)，

设y=a(x+1)2+4，

将(0，5)代入y=a(x+1)2+4得，a+4=5，

解得a=1，

∴这个二次函数的解析式为y=(x+1)2+4=x²+2x+5．

【点睛】

本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求出函数对称轴是解本题的关键．