初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试课堂检测

九年级数学下册第三十章二次函数专项攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（       ）

A．-2 B．-1 C．4 D．7

2、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为(﹣1，0)．则下面的四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；④3a+c＝0．其中正确的有（       ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3、已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于，两点，且过，两点．若，则ab的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

4、如图，在中，，，，是边上一动点，沿的路径移动，过点作，垂足为．设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（       ）

A． B．

C． D．

5、将关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线经过三点、、，则、、的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

6、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图像经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7、若函数，则当函数y=15时，自变量的值是（     ）

A． B．5 C．或5 D．5或

8、如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（       ）

A．

B．当时，随的增大而增大

C．

D．是一元二次方程的一个根

9、若二次函数与轴的一个交点为，则代数式的值为（       ）

A． B． C． D．

10、一次函数与二次函数的图象交点（　　）

A．只有一个 B．恰好有两个

C．可以有一个，也可以有两个 D．无交点

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝___________．

2、已知二次函数y＝x2＋bx＋3图象的对称轴为x＝2，则b＝________；顶点坐标是________．

3、已知多项式除以的余数分别为，则除以所得余式的最大值为_________．

4、如果二次函数的图像上有两点（2，y1）和（4，y2），那么y1________y2．（填“>”、“=”或“<”）

5、如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为_______米．（结果保留根号）

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知二次函数的图象经过点．

(1)求二次函数的表达式；

(2)求二次函数的图象与轴的交点坐标．

2、已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0）．

(1)求a的值．

(2)求二次函数图象与x轴的交点坐标．

3、已知抛物线y=x2+bx-3（b是常数）经过点A（-1，0）．

(1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标；

(2)抛物线与x轴另一交点为点B，与y轴交于点C，平行于x轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3）．

①求直线BC的解析式；

②若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．

4、已知二次函数y＝x2－2x－3的图象为抛物线C．

(1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(2)当2≤x≤4时，求该二次函数的函数值y的取值范围；

(3)将抛物线C先向右平移2个单位长度，得到抛物线C1；再将抛物线C1向下平移1个单位长度，得到抛物线C2，请直接写出抛物线C1，C2对应的函数解析式．

5、小君根据学习经验对函数y=|ax2+bx+c|进行了探究．

(1)写出该函数自变量的取值范围　　　　；

(2)下列表示y与x的几组对应值．

则m=　　　　；

(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上对各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；

(4)请根据图象，写出：

①当0≤x≤4时，y的最大值是　　　　；

②当z＜x＜z+1时，y随x的增大而增大，则z的取值范围是　　　　．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解

【详解】

解：∵二次函数，当时，x的取值范围是，

∴，二次函数开口向下

解得，对称轴为

当时，，

经过原点，

根据函数图象可知，当，，

根据对称性可得时，

二次函数图象经过点，

或

不可能是4

故选C

【点睛】

本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键．

2、B

【解析】

【分析】

①根据函数图象及函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，即可求解；②抛物线和x轴有两个交点，即可求解；③点B坐标为（﹣1，0），点A（3，0），即可求解；④对称轴为x＝1，则b＝﹣2a，点B（﹣1，0），故a﹣b+c＝0，即可求解．

【详解】

解：①∵函数图象开口向下

∴

又函数的对称轴在y轴右侧，

∴

∴

∵抛物线与y轴正半轴相交，

∴c＞0，

∴abc＜0，故原答案错误，不符合题意；

②∵抛物线和x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0正确，符合题意；

③∵点B坐标为（﹣1，0），且对称轴为x＝1，

∴点A（3，0），

∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故正确，符合题意；

④∵函数的对称轴为：x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∵点B坐标为（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝0，

而b＝﹣2a，

∴

即3a+c＝0，正确，符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点等．

3、D

【解析】

【分析】

由题意可设抛物线为y=（x-m）（x-n），则，再利用二次函数的性质可得答案.

【详解】

解：由已知二次项系数等于1的一个二次函数，

其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），

所以可设交点式y=（x-m）（x-n），

分别代入，，

∴

∵0＜m＜n＜3，

∴0＜≤4 ，0＜≤4 ，

∵m＜n，

∴ab不能取16 ，

∴0＜ab＜16 ，

故选D

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质得到是解本题的关键.

4、D

【解析】

【分析】

分两种情况分类讨论：当0≤x≤6.4时，过C点作CH⊥AB于H，利用△ADE∽△ACB得出y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当6.4＜x≤10时，利用△BDE∽△BCA得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．

【详解】

解：∵，，，

∴BC=，

过CA点作CH⊥AB于H，

∴∠ADE=∠ACB=90°，

∵，

∴CH=4.8，

∴AH=，

当0≤x≤6.4时，如图1，

∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，

∴△ADE∽△ACB，

∴，即，解得：x=，

∴y=•x•=x2；

当6.4＜x≤10时，如图2，

∵∠B=∠B，∠BDE=∠ACB=90°，

∴△BDE∽△BCA，

∴，

即，解得：x=，

∴y=•x•=；

故选：D．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．

5、C

【解析】

【分析】

根据题意求得平移后的二次函数的对称轴以及开口方向，根据三个点与对称轴的距离大小判断函数值的大小即可

【详解】

解：∵关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线解析式为，

∴新抛物线的对称轴为，开口方向向上，则当抛物线上的点距离对称轴越远，其纵坐标越大，即函数值越大，

平移后的抛物线经过三点、、，

故选C

【点睛】

本题考查了二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的对称轴直线x=，图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线的开口向上，x＜时，y随x的增大而减小；x＞时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点，掌握二次函数的性质是解题的关键．

6、C

【解析】

【分析】

根据图象可判断abc的符号，可判断结论①，由图象与x轴的交点个数可判断②，由对称轴及x＝−2时的函数值即可判断③，由x＝−3和对称轴即可判断④．

【详解】

解：∵图象开口向下，

∴a＜0，

∵对称轴为直线x＝1，

∴−＝1，

∴b＝−2a＞0，

∵图象与y轴的交点在x轴的上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，

∴①说法正确，

由图象可知抛物线与x轴有两个交点，

∴b2−4ac＞0，

∴②错误，

由图象可知，当x＝−2时，y＜0，

∴4a−2b＋c＝4a−2（−2a）＋c＝8a＋c＜0，

∴③正确，

由题意可知x＝−3是ax2＋bx＋c−n＝0（a≠0）的一个根，

∵对称轴是x＝1，

∴另一个根为x＝5，

∴④正确，

∴正确的有①③④，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与各系数之间的关系．

7、D

【解析】

【分析】

根据题意，利用分类讨论的方法可以求得当函数y=15时，自变量x的值．

【详解】

解：当x＜3时，

令2x2-3=15，

解得x=-3；

当x≥3时，

令3x=15，

解得x=5；

由上可得，x的值是-3或5，

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．

8、D

【解析】

【分析】

根据二次函数图象的开口方向向下可得是负数，对称轴位于轴的右侧可得、异号；与轴的交点在正半轴可得是正数，根据二次函数的增减性可得选项错误，根据抛物线的对称轴结合与轴的一个交点的坐标可以求出与轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程的根，从而得解．

【详解】

解：、根据图象，二次函数开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧可得、异号，即，故本选项结论错误；

B、当时，随的增大而减小，故本选项结论错误；

C、根据图象，抛物线与轴的交点在正半轴，则，故本选项结论错误；

D、抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，

设另一交点为，

，

，

另一交点坐标是，

是一元二次方程的一个根，

故本选项结论正确．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键．

9、D

【解析】

【分析】

把代入即可求出，则，进而可求出代数式的值．

【详解】

解：二次函数与轴的一个交点为，

时，，

，

，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是把代入求出的值．

10、B

【解析】

【分析】

联立解析式得一元二次方程，利用判根公式判断方程的根，方程根的个数即为图象的交点个数．

【详解】

解：联立一次函数和二次函数的解析式可得：

整理得：

有两个不相等的实数根

与的图象交点有两个

故选：B．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根，图象的交点与方程根的关系．解题的关键在于正确求解．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．

【详解】

y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2

故本题答案为：y＝（x﹣1）2+2．

【点睛】

本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，关键是配方法的运用．

2、     4     （2，7）

【解析】

【分析】

由对称轴公式即可求得b，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标．

【详解】

解：∵二次函数y＝&#xF02D;x2＋bx＋3图象的对称轴为x＝2，

∴−＝2，

∴b＝4，

∴二次函数y＝−x2＋4x＋3，

∵y＝−x2＋4x＋3＝−（x−2）2＋7，

∴顶点坐标是（2，7），

故答案为：4，（2，7）．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象和性质，熟知对称轴公式和二次函数解析式的三种表现形式是解题的关键．

3、5

【解析】

【分析】

先根据已知得出，再设，从而可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，然后利用二次函数的性质即可得出答案．

【详解】

解：多项式除以的余数为1，

，

当时，，

同理可得：，

设除以所得商式为，余式为（因为除式是三次的，所以余式至多是二次的），

则，

因此有，

解得，

所以余式为，

由二次函数的性质得：当时，余式取得最大值，最大值为5，

故答案为：5．

【点睛】

本题考查了多项式的除法、二次函数的性质等知识点，正确设出余式的一般形式是解题关键．

4、

【解析】

【分析】

将题目所给两个x代入函数即可得出两个y，再比较大小．

【详解】

=2时：

时：

∴

故答案为：<

【点睛】

本题考查函数性质，掌握比较方法是关键．

5、6

【解析】

【分析】

建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意计算即可．

【详解】

建立平面直角坐标系如图：

则抛物线顶点C坐标为（0，3），

设抛物线解析式y＝ax2+3，

将A点坐标（﹣3，0）代入，可得：0＝9a+3，

解得：a＝﹣，

故抛物线解析式为y＝﹣x2+3，

当水面下降3米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当y＝﹣3时，对应的抛物线上两点之间的距离，

也就是直线y＝﹣3与抛物线相交的两点之间的距离，

将y＝﹣3代入抛物线解析式得出：﹣3＝﹣x2+3，

解得：x＝±，

所以水面宽度为米，

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、正确建立平面直角坐标系是解题的关键．

三、解答题

1、 (1)y＝x 2+ x﹣；

(2)（0，﹣）．

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法，把代入函数解析式即可求；

（2）令x＝0，求得y的值即可得出结论．

(1)

解：∵二次函数y＝a（x+1）2﹣2的图象经过点（﹣5，6），

∴a（﹣5+1）2﹣2＝6．

解得：a＝．

∴二次函数的表达式为：y＝（x+1）2﹣2，即y＝x 2+ x﹣；

(2)

解：令x＝0，则y＝×（0+1）2﹣2＝﹣，

∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣）．

【点睛】

本题主要考查了待定系数法确定抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键．

2、 (1)3

(2)（2，0）和（0，0）

【解析】

【分析】

（1）将（2，0）代入函数表达式，求出a值即可；

（2）根据所得函数表达式，令y=0，求出x值，可得坐标．

(1)

解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0），

∴0＝a（2-1）2-3，

解得：a=3；

(2)

由（1）可知：二次函数的表达式为y＝3（x-1）2-3，

令y=0，则3（x-1）2-3=0，

解得：x=2或x=0，

∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（0，0）．

【点睛】

本题考查了二次函数的表达式，与x轴的交点问题，解题的关键是求出函数表达式．

3、 (1)y=x2-2x-3，(1，−4)

(2)①y=x−3；②

【解析】

【分析】

（1）把A（-1，0）代入y=x2+bx-3其凷b得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；

（2）①解方程x2-2x-3=0得B（3，0），再确定C（0，-3），然后利用待定系数法求直线BC的解析式；

②如图，利用对称性得到x2-1=1-x1，则x1+x2=2，所以x1+x2+x3=2+x3，利用函数图象得到-1＜x3＜0，从而得到1＜x1+x2+x3＜2．

(1)

解：把A（-1，0）代入y=x2+bx-3得1-b-3=0，解得b=-2，

∴抛物线解析式为y=x2-2x-3，

∵y=（x-1）2-4，

∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）；

(2)

解：①当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，则B（3，0），

当x=0时，y=x2-2x-3=-3，则C（0，-3），

设直线BC的解析式为y=mx+n，

把B（3，0），C（0，-3）代入得，解得，

∴直线BC的解析式为y=x-3；

②如图，

x2-1=1-x1，

∴x1+x2=2，

∴x1+x2+x3=2+x3，

∵y3＜-3，即x3-3＜-3，

∴x3＜0，

∵y=-4时，x-3=-4，解得x=-1，

∴-1＜x3＜0，

∴1＜x1+x2+x3＜2．

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

4、 (1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为

(2)

(3)，

【解析】

【分析】

（1）将二次函数化为顶点式，由此可得答案；

（2）分别求出时，时的函数值，根据函数的增减性解答；

（3）根据二次函数的平移规律解答．

(1)

解：∵，∴抛物线C的开口向上．

∵，

∴抛物线C的对称轴为直线，顶点坐标为．

(2)

解：当时，y随x的增大而增大；

∵当时，；当时，．

∴函数值y的取值范围是．

(3)

解：抛物线对应的函数解析式为；

抛物线对应的函数解析式为．

【点睛】

此题考查了将二次函数化为顶点式，二次函数的性质，利用函数的增减求出函数值的取值范围，二次函数的平移规律，熟记各知识点是解题的关键．

5、 (1)全体实数；

(2)0；

(3)答案见解析；

(4)①4；②z≥4或0≤z≤1

【解析】

【分析】

（1）根据函数解析式为整式，即可得函数自变量的取值范围；

（2）观察表格知，函数关于直线x=2对称，从而由对称性即可求得m的值；

（3）用光滑的曲线顺次连接各点即得函数图象；

（4）①根据图象即可求得y的最大值；

②观察图象即可求得z的取值范围．

(1)

（1）函数y=|ax2+bx+c|的自变量的取值范围为全体实数．

故答案为：全体实数．

(2)

观察表格可知，函数关于直线x=2对称，与x轴交于（0，0）和（4，0），∴x=4时，m=0．

故答案为：0．

(3)

函数图象如图所示：

(4)

①观察图象可知，当0≤x≤4时，y的最大值是4．

故答案为：4．

②观察图象可知，当z≥4或0≤z≤1时，y随x的增大而增大．

故答案为：z≥4或0≤z≤1．

【点睛】

本题考查了函数及其图象、二次函数的图象与性质，关键是观察表格，数形结合．