冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试精练

这是一份冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试精练，共33页。试卷主要包含了抛物线的顶点为，一次函数与二次函数的图象交点等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数同步测试 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（       ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2、下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是（       ）A． B．C． D．3、抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴是（　　）A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣44、若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（     ）A． B． C． D．5、已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．6、抛物线的顶点为（       ）A． B． C． D．7、若函数，则当函数y=15时，自变量的值是（     ）A． B．5 C．或5 D．5或8、一次函数与二次函数的图象交点（　　）A．只有一个 B．恰好有两个C．可以有一个，也可以有两个 D．无交点9、如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（       ）A．米 B．10米 C．米 D．12米10、2020年2月3日，随着南立交匝道最后一条交通线划线完毕，蒙山大道祊河桥迎来了南北东西方向全线通车，蒙山高架路“踏实落地”，市民从此可一路畅通．蒙山大道祊河桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象－抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（       ）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、二次函数 y  2x21 的图象开口方向______．（填“向上”或“向下”）2、如图，函数的图象过点和，下列判断：①；②；③；④和处的函数值相等．其中正确的是__（只填序号）．3、中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至人水的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，该运动员起跳点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面______m．4、将函数的图象向______平移______个单位长度，再向______平移______个单位长度，可以得到函数的图象．5、已知二次函数，当时，函数的值是_________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、阅读理解，并完成相应的问题．如图，重庆轨道2号线是中国西部地区第一条城市轨道交通线路，也是中国第一条跨座式单轨线路，因其列车在李子坝站穿楼而过闻名全国．小军了解到列车从牛角沱站开往李子坝站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小军通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．(1)建立模型①收集数据：r（秒）04812162024……s（米）256196144100643616……②建立平面直角坐标系为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．③描点连线：请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接．④选择函数模型：观察这条曲线的形状，它可能是_______函数的图象．⑤求函数解析式；解：设，因为时，，所以，则．请根据表格中的数据，求a，b的值．（请写出详细解答过程）．验证：把a，b的值代入中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们_______满足该函数解析式．（填“都”或“不都”）结论：减速阶段列车离停车线的距离s（米）与减速时间t（秒）的函数关系式为__________．(2)应用模型列车从减速开始经过_______秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为_______米．2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的一点，过P点作轴，交BC于点D，点E在直线BC上，且四边形PEDF为矩形，求矩形PEDF周长的最大值以及此时点P的坐标；(3)在（2）问的条件下，将抛物线沿射线EP方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为平面内一点，将绕点Q顺时针方向旋转90°后得到，若的两个顶点恰好落在新抛物线上时，直接写出此时点的坐标，并把求其中一个点的坐标过程写出来．3、（1）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0；（2）用配方法求抛物线y＝x2+4x﹣5的开口方向、对称轴和顶点坐标．4、如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．(1)求此抛物线的解析式；(2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点．(1)求 b 的值；(2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围． -参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据抛物线解析式可确定对称轴为，根据点与对称轴的距离的大小以及函数值的大小关系即可判断的符号，即开口方向【详解】解：∵的对称轴为，且∴若，则离对称轴远，则抛物线的开口朝下，即，故A正确若，则离对称轴远，则抛物线的开口朝上，即，故C不正确对于B,D选项不能判断的符号故选A【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握的性质是解题的关键．2、C【解析】【分析】根据二次函数的顶点式求得顶点坐标，即可判断．【详解】解：A．二次函数的顶点为（1，3），在第一象限，不合题意；B．二次函数的顶点为（1，﹣3），在第四象限，不合题意；C．二次函数的顶点为（﹣1，3），在第二象限，符合题意；D．二次函数的顶点为（﹣1，﹣3），在第三象限，不合题意；故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3、A【解析】【分析】直接利用抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4，求得对称轴方程为：x=3．【详解】解：抛物线y=﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴方程为：直线x=3，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，解题的关键是掌握：二次函数的顶点式与对称轴的关系．4、C【解析】【分析】根据两根之和公式可以求出对称轴公式．【详解】解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，∴x1＋x2＝− ＝2．∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1．故选：C．【点睛】本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．5、D【解析】【分析】先求出对称轴x＝，再由已知可得 b≥1，即可求b的范围．【详解】解：∵，∴对称轴为直线x＝b，开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，∵当x＞1时，y随x的增大而减小，∴1不在对称轴左侧，∴b≤1，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，充分理解对称轴与函数增减性之间的关系是解题的关键．6、B【解析】【分析】根据抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k可得顶点坐标是（h，k）．【详解】解：∵y=2（x-1）2+3，∴抛物线的顶点坐标为（1，3），故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）．7、D【解析】【分析】根据题意，利用分类讨论的方法可以求得当函数y=15时，自变量x的值．【详解】解：当x＜3时，令2x2-3=15，解得x=-3；当x≥3时，令3x=15，解得x=5；由上可得，x的值是-3或5，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．8、B【解析】【分析】联立解析式得一元二次方程，利用判根公式判断方程的根，方程根的个数即为图象的交点个数．【详解】解：联立一次函数和二次函数的解析式可得：整理得：有两个不相等的实数根与的图象交点有两个故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，图象的交点与方程根的关系．解题的关键在于正确求解．9、B【解析】【分析】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，由此可得A（-10，-4），B（10，-4），即可求函数解析式，再将y=-1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．【详解】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，∵O点到水面AB的距离为4米，∴A、B点的纵坐标为-4，∵水面AB宽为20米，∴A（-10，-4），B（10，-4），将A代入y=ax2，-4=100a，∴，∴，∵水位上升3米就达到警戒水位CD，∴C点的纵坐标为-1，∴∴x=±5，∴CD=10，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次函数的解析式是解题的关键．10、B【解析】【分析】直接利用图象设出抛物线解析式，进而得出答案．【详解】∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，∴-78=452a，解得：a=，∴此抛物线钢拱的函数表达式为，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，正确设出抛物线解析式是解题关键．二、填空题1、向上【解析】【分析】根据二次函数图象的性质，a＞0，抛物线开口向上，a＜0，抛物线开口向下可求解．【详解】∵a=2>0，∴二次函数y=2x2+1图象的开口方向是向上，故答案为：向上．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，由a的符号确定抛物线的开口方向是解题的关键．2、①③④【解析】【分析】根据抛物线开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断①；根据、的符号得出，即可得到，根据时，得到，即可得到，即可判断②；根据抛物线与一元二次方程的关系即可判断③；根据抛物线的对称性即可判断④．【详解】解：抛物线开口向下，，抛物线交轴于正半轴，，，，，故①正确，，，，，时，，则，，，故②错误，的图象过点和，方程的根为，，方程的根为，，，故③正确；的图象过点和，抛物线的对称轴为直线，，和处的函数值相等，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；△决定抛物线与轴交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．3、【解析】【分析】如图建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，再求顶点坐标即可．【详解】解：建立平面直角坐标系如图：根据题意可知，点A的坐标为（3，10），点C的坐标为（5，0），抛物线的对称轴为直线x=3.5，设抛物线的的解析式为y＝ax2+bx+c，把上面信息代入得，，解得，，抛物线解析式为：，把代入得，；故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题关键是建立平面直角坐标系，求出二次函数解析式，利用二次函数解析式的性质求解．4、     左     1     下     2【解析】【分析】根据二次函数平移的性质解答．【详解】解：∵函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可以得到函数的图象．故答案为：左，1，下，2．【点睛】此题考查了二次函数图象平移的性质：上加下减，左加右减，熟记性质是解题的关键．5、-1【解析】【分析】将x的值代入计算即可；【详解】解：当时==-1故答案为：-1【点睛】本题考查了二次函数的值，正确计算是解题的关键．三、解答题1、 (1)二次，   都，   s=(2)32，0.25【解析】【分析】（1）通过描点、连线，观察图形可知，图象可能是二次函数的函数的图象；将点（4，196），（8，144）代入s=at2+bt+256，得a、b的值，再将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式，最后得到结论：减速阶段列车离停车线的距离s（米）与减速时间t（秒）的函数关系式；（2）让s=0，可求出列车从减速开始到列车停止的时间，然后将t=31代入s=t2-16t+256，即可求最后一秒钟，列车滑行的距离．(1)解：描点连线如下图：由这条曲线的形状可知，它可能是二次函数的函数的图象；设s=at2+bt+c(a≠0)，因为t=0时，s=256，所以c=256，则s=at2+bt+256，将点（4，196），（8，144）代入s=at2+bt+256，得：，解这个方程组得：，∴s=t2-16t+256，当t=12时，×122-16×12+256=100，当t=16时，×162-16×16+256=64，当t=20时，×202-16×20+256=36，当t=24时，×242-16×24+256=16，∴其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式，∴结论：减速阶段列车离停车线的距离s（米）与减速时间t（秒）的函数关系式为s=t2-16t+256（t≥0）；(2)∵列车停止，∴s=0，∴t2-16t+256=0，解这个方程得：t=32，∴列车从减速开始经过32秒，列车停止；∴最后一秒钟时31秒，当t=31时，×312-16×31+256=0.25，∴最后一秒钟，列车滑行的距离为0.25米．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二元一次方程组的解法、一元二次方程的解法，做题的关键是确定二次函数的解析式．2、 (1)(2)矩形PEDF周长的最大值为，此时点(3)或【解析】【分析】（1）将点，点，代入解析式，待定系数法求解析式即可；（2）根据题意转化为求最长时点的坐标，进而求得周长即可；（3）将抛物线沿射线EP方向平移个单位长度得到新抛物线，即沿轴正方向向上平移, 轴正方向向右平移个单位，进而得到平行后的新的抛物线的解析式，根据题意分情况讨论，根据的两个顶点恰好落在新抛物线上时，根据旋转可得若的两个顶点恰好落在新抛物线上时，只有或落在抛物线上，进而分类讨论，根据直线与抛物线交点问题，一元二次方程根与系数的关系求解即可．(1)解：将点，点，代入解析式，得解得抛物线的解析式为：(2)四边形是矩形即设，则则矩形PEDF周长为，当取得最大值时，矩形PEDF周长的最大设直线的解析式为，将点代入得，则解得直线的解析式为设，则即当时，取得最大值，最大值为此时矩形PEDF周长为当时，即(3)由（2）可知，则，过点作，则，将抛物线沿射线EP方向平移个单位长度得到新抛物线，即沿轴正方向向上平移, 轴正方向向右平移个单位，则新抛物线解析式为：即将绕点Q顺时针方向旋转90°后得到，轴，旋转90°后，则轴则轴，若的两个顶点恰好落在新抛物线上时，只有或落在抛物线上，轴设直线为①当在抛物线上时，如图，设点，的横坐标分别为，则则为的两根即方程，则即解得则解得②当在抛物线上时，如图，设点，的横坐标分别为，，则，中，直线的解析式为设直线的解析式为则为的两根即，则即解得直线的解析式为则解得当时，综上所述或【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，旋转的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，一次函数的平移问题，二次函数的平移问题，一元二次方程根与系数的关系，二次函数求函数值的问题，熟练掌握以上知识并正确的计算是解题的关键．3、（1） ；（2）抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为【解析】【分析】（1）利用公式法，即可求解；（2）先将抛物线解析式化为顶点式，即可求解．【详解】解：（1） ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；（2） ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，二次函数的图象和性质，熟练掌握一元二次方程的解法，二次函数的图象和性质是解题的关键．4、 (1)y＝x2+2x﹣3；(2)（﹣，）(3)（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，）或（-1，）【解析】【分析】（1）把点A，B代入y＝ax2+bx﹣3即可；（2）设P（x，x2+2x﹣3），求出直线AB的解析，用含x的代数式表示出点E坐标，即可用含x的代数式表示出PE的长度，由函数的思想可求出点P的横坐标，进一步求出其纵坐标；（3）设点Q（-1，a），然后分类讨论利用勾股定理列出关于a的方程求解．(1)解：把A（﹣3，0）和C（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，得，，解得，，∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；(2)解：设P（x，x2+2x﹣3），直线AB的解析式为y＝kx+b，由抛物线解析式y＝x2+2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴B（0，﹣3），把A（﹣3，0）和B（0，﹣3）代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣3，∵PE⊥x轴，∴E（x，﹣x﹣3），∵P在直线AB下方，∴PE＝﹣x﹣3﹣（ x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+）2+，当x＝﹣时，y＝x2+2x﹣3＝，∴当PE最大时，P点坐标为（﹣，）；(3)存在，理由如下，∵x＝﹣＝-1，∴抛物线的对称轴为直线x＝-1，设Q（-1，a），∵B（0，-3），A（-3，0），①当∠QAB＝90°时，AQ2+AB2＝BQ2，∴22+a2+32+32＝12+（3+a）2，解得：a＝2，∴Q1（-1，2），②当∠QBA＝90°时，BQ2+AB2＝AQ2，∴12+（3+a）2+32+32＝22+a2，解得：a＝﹣4，∴Q2（-1，﹣4），③当∠AQB＝90°时，BQ2+AQ2＝AB2，∴12+（3+a）2+22+a2＝32+32，解得：a1＝或a1＝，∴Q3（-1，），Q4（-1，），综上所述：点Q的坐标是（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，）或（-1，）．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，解题的关键是用含有未知数的代数式表达点的坐标和线段的长度．5、 (1)(2)或【解析】【分析】（1）将点A（4，4）代入进行解答即可得；（2）由图像即可得．(1)解：将点A（4，4）代入得，解得．(2)解：由图像可知，当或时，．【点睛】本题考查了正比函数，二次函数，解题的关键是掌握正比函数的性质和二次函数的性质．