数学九年级下册第30章 二次函数综合与测试课后复习题

九年级数学下册第三十章二次函数专项训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是．其中正确结论是（       ）

A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤

2、在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象大致如图（　　）

A． B．

C． D．

3、抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴是（　　）

A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣4

4、下列函数中，随的增大而减小的是（       ）

A． B．

C． D．

5、已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（       ）

A． B． C． D．或

6、已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

7、同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（       ）

A．  B．

C．  D．

8、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论正确的是（       ）

A．ac＞0 B．a+b＝1 C．4ac﹣b2≠4a D．a+b+c＞0

9、如图，在中，，，，是边上一动点，沿的路径移动，过点作，垂足为．设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（       ）

A． B．

C． D．

10、将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（       ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、点P(m，n)在对称轴为x=1的函数的图像上，则m－n的最大值为____．

2、将二次函数的图象先向左平移2个单位， 再向下平移5个单位， 则最终所得图象的函数表达式是____________.

3、若抛物线与轴交于原点，则的值为 __．

4、已知二次函数y＝﹣x2+bx+c与一次函数y＝mx+n的图象相交于点A（﹣2，4）和点B（6，﹣2），则不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是 _____．

5、已知抛物线，将其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则得到的抛物线解析式为________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与轴交于、两点，为抛物线的顶点，为坐标原点．若、（）的长分别是方程的两根，且．

(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；

(2)过点作交抛物线于点，求点的坐标；

(3)在（2）的条件下，过点任作直线交线段于点，设点、点到直线的距离分别为、，试求的最大值．

2、如图1，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P是直线上一动点．

(1)求直线的解析式；

(2)若点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，求点P的坐标；

(3)如图2，连接，过点P作PEBC交x轴于点E，连接，将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，求点E的坐标．

3、 “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款电子玩具，其成本为每件100元，当售价为每件160元时，每月可销售200件．为了吸引更多买家，该网店采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降低1元，则每月可多销售5件，设每件电子玩具的售价为x元（x为正整数），每月销售量为y件．

(1)直接写出y与x之间的函数关系式；

(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？

(3)该网店店主决定每月从利润中捐出500元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于11500元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定该电子玩具的价格？

4、已知二次函数（a、b、c是常数，）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

(1)求该二次函数的表达式；

(2)该二次函数图像关于y轴对称的图像所对应的函数表达式是______．

5、图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m．以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为．

(1)求拱桥所在抛物线的函数表达式；

(2)因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少？（结果保留根号）

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

根据开口方向，对称轴，以及与轴负半轴的交点位置判断的符号即可判断①，根据二次函数图象的对称性可知时的函数值与的函数值相等，进而可得，即可判断②，根据对称轴为以及顶点坐标公式即可判断③，根据二次函数图象与轴有两个交点，则，即可判断④，根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，进而根据抛物线的开口方向以及，即可判断，根据顶点位置的函数值最小，进而即可判断⑤

【详解】

解：∵抛物线的开口朝上，则，对称轴，可得，根据抛物线与轴交于负半轴，则

∴

故①正确；

∵二次函数的图象经过点，

则当时，

对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，

时，

即

故②不正确

对称轴为直线，

∴，即

故③正确；

∵二次函数图象与轴有两个交点，则

即

故④错误；

对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，

，是抛物线上两点，且，抛物线开口向上，

故⑤正确

故正确的是①③⑤

故选C

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质以及与各系数之间的关系，二次函数与一元一次不等式，根据图象判断方程的根的情况，二次函数的对称性，掌握二次根式图象的性质是解题的关键．

2、B

【解析】

【分析】

分别利用函数解析式分析图象得出答案．

【详解】

解：A、二次函数开口向下，k＜0；一次函数图象经过第一、三象限，k＞0，故此选项错误；

B、两函数图象符合题意；

C、二次函数开口向上，k＞0；一次函数图象经过第二、四象限，k＜0，故此选项错误；

D、一次函数解析式为：y=kx-2，图象应该与y轴交在负半轴上，故此选项错误．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确得出k的符号是解题关键．

3、A

【解析】

【分析】

直接利用抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4，求得对称轴方程为：x=3．

【详解】

解：抛物线y=﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴方程为：直线x=3，

故选：A．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质与图象，解题的关键是掌握：二次函数的顶点式与对称轴的关系．

4、C

【解析】

【分析】

根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．

【详解】

解：A．在中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；

B．在中，y随x的增大与增大，不合题意；

C．在中，当x＞0时，y随x的增大而减小，符合题意；

D．在，x>2时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键．

5、D

【解析】

【分析】

根据函数图象写出y=1对应的自变量x的值,再根据判断范围即可．

【详解】

由图可知，使得时

使成立的x的取值范围是或

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数与不等式，准确识图是解题的关键．

6、A

【解析】

【分析】

根据抛物线解析式可确定对称轴为，根据点与对称轴的距离的大小以及函数值的大小关系即可判断的符号，即开口方向

【详解】

解：∵的对称轴为，且

∴若，

则离对称轴远，则抛物线的开口朝下，即，故A正确

若，

则离对称轴远，则抛物线的开口朝上，即，故C不正确

对于B,D选项不能判断的符号

故选A

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质，掌握的性质是解题的关键．

7、D

【解析】

【分析】

根据一次函数，二次函数的图象与性质逐一分析两个解析式中的的符号，再判断即可.

【详解】

解：选项A：由的图象可得：

由的图象可得：则 故A不符合题意；

选项B：由的图象可得：

由的图象可得：则

而抛物线的对称轴为： 则 故B不符合题意；

选项C：由的图象可得：

由的图象可得：则 故C不符合题意；

选项D：由的图象可得：

由的图象可得：则

而抛物线的对称轴为： 则 故D符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键.

8、D

【解析】

【分析】

由抛物线开口方向及抛物线与轴交点位置，即可得出、，进而判断结论A；由抛物线顶点的横坐标可得出，进而判断结论B；由抛物线顶点的纵坐标可得出，进而判断结论C；由、，进而判断结论D．由此即可得出结论．

【详解】

解：A、抛物线开口向下，且与轴正半轴相交，

，，

，结论A错误，不符合题意；

B、抛物线顶点坐标为，，

，

，即，结论B错误，不符合题意；

C、抛物线顶点坐标为，，

，

，结论C错误，不符合题意；

D、，，

，结论D正确，符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是观察函数图象，逐一分析四个选项的正误．

9、D

【解析】

【分析】

分两种情况分类讨论：当0≤x≤6.4时，过C点作CH⊥AB于H，利用△ADE∽△ACB得出y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当6.4＜x≤10时，利用△BDE∽△BCA得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．

【详解】

解：∵，，，

∴BC=，

过CA点作CH⊥AB于H，

∴∠ADE=∠ACB=90°，

∵，

∴CH=4.8，

∴AH=，

当0≤x≤6.4时，如图1，

∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，

∴△ADE∽△ACB，

∴，即，解得：x=，

∴y=•x•=x2；

当6.4＜x≤10时，如图2，

∵∠B=∠B，∠BDE=∠ACB=90°，

∴△BDE∽△BCA，

∴，

即，解得：x=，

∴y=•x•=；

故选：D．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．

10、B

【解析】

【分析】

由题意知，平移后的抛物线解析式为，将各选项中的横坐标代入，求出纵坐标并与各选项的纵坐标比较，纵坐标相同的即为正确答案．

【详解】

解：由题意知，平移后的抛物线解析式为

将代入解析式得，与A中点坐标不同，故不符合要求；

将代入解析式得，与B中点坐标相同，故符合要求；

将代入解析式得，与C中点坐标不同，故不符合要求；

将代入解析式得，与D中点坐标不同，故不符合要求；

故选B．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于写出平移后的二次函数解析式．

二、填空题

1、##0.25

【解析】

【分析】

根据题意，可以得到a的值，m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m−n的最大值，本题得以解决．

【详解】

解：∵二次函数y＝x2＋ax＋2的对称轴为x=1，

∴，解得a=-2，

∴二次函数解析式为y＝x2-2x＋2，

∵点P（m，n）在二次函数y＝x2-2x＋2的图象上，

∴n＝m2-2m＋2，

∴m−n＝m−（m2-2m＋2）＝-m2+3m-2＝−（m−）2+，

∴当m＝时，m−n取得最大值，此时m−n＝，

故答案为：．

【点睛】

本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

2、

【解析】

【分析】

按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．

【详解】

解：由题意得，最终所得图象的函数表达式是=，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k (a，b，c为常数，a≠0)，确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键．

3、-3

【解析】

【分析】

根据函数图象经过原点时，，，代入即可求出的值．

【详解】

解：抛物线与轴交于原点，

当时，，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，掌握函数图象经过原点，即当时，是解决问题的关键．

4、

【解析】

【分析】

不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是二次函数在一次函数的图象上方部分x的范围；结合图形，找出二次函数图象在一次函数上面的自变量的取值就是不等式的解集．

【详解】

解：如图，

∵两函数图象相交于点A（-2，4），B（6，-2），

∴不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了二次函数与不等式的关系，解答该题时，要具备很强的读图能力．

5、

【解析】

【分析】

根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．

【详解】

解：∵抛物线的顶点坐标为（0,2），

其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，

得到的抛物线解析式为

即

故答案为：

【点睛】

本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．

三、解答题

1、 (1)

(2)点的坐标为

(3)

【解析】

【分析】

（1）先求出的两根，可得点的坐标为，点的坐标为．从而得到的坐标为．再由．可得的坐标为．然后设抛物线对应的二次函数的解析式为．把点代入，即可求解；

（2）根据题意可设点的坐标为，则有．再由点在抛物线上，可得．从而得到，即可求解；

（3）由（2）知：，而，可得到，然后过点A作．根据三角形的面积，可得．再由，可得，即可求解．

(1)

解：如图，过点作轴于，则为的中点．

解方程得：或．

而，则点的坐标为，点的坐标为．

∴的坐标为．

又因为，

∴．

∴的坐标为．

设抛物线对应的二次函数的解析式为．

∵抛物线过点，则，解得：．

故抛物线对应的二次函数的解析式为．

(2)

∵，

∴．

又∵，

设点的坐标为，则有．

∵点在抛物线上，

∴．

化简得：．

解得：，（舍去）．

故点的坐标为．

(3)

由（2）知：，而，

∴．

过点A作．

∵，

∴．

∵，

∴．

即此时的最大值为．

【点睛】

本题主要考查了二次函数与三角形的综合题，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质等腰三角形的性质是解题的关键．

2、 (1)

(2)或

(3)或

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线的解析式令即可求得的坐标，令即可求得点的坐标，进而待定系数法求得直线的解析式；

（2）由（1）设点，则在上，代入解方程即可求得的值，进而求得点的值；

（3）先求得直线的解析式，进而表示出解析式，得点的坐标为，进而根据平行得，根据相似三角形的性质可得，根据勾股定理及逆定理证明是直角三角形，进而可得对称后的点与重合，进而可得，求得点的纵坐标，进而根据求得的值，即可求得点的坐标．

(1)

解：已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，

令，得

即

令，即

解得

设直线的解析式为，将点代入得，

解得

直线的解析式为

(2)

点P是直线上一动点，直线的解析式为

设点，

点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，

则在上

即

解得

或

或

(3)

依题意，设点，

设直线的解析式为，将点代入得，

解得

直线的解析式为

PEBC

设直线的解析式为

令，，则点的坐标为

，，

PEBC

是直角三角形

将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，

,

与点重合，

则

，

解得

或

即或

解得或

或

【点睛】

本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，轴对称问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，一次函数的平移问题，设参数求解是解题的关键．

3、 (1)y= -5x+1000

(2)当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是12500元；

(3)140元

【解析】

【分析】

（1）根据总件数=基础件数+增加件数=200+5（160-x），列出关系式即可；

（2）根据总利润=单件利润×销售件数，构造二次函数，配方法求最值即可；

（3）先根据题意，构造出符合题意的不等式，把不等式转化为一元二次方程，求得两个根，根据抛物线的性质，确定不等式的解集，结合题意，确定价格即可．

(1)

∵售价为每件160元时，每月可销售200件，销售单价每降低1元，则每月可多销售5件，

∴y=200+5（160-x）=-5x+1000．

(2)

根据题意，得w=（x-100）（-5x+1000）

= ，

∵抛物线开口向下，

∴当x=150时，w有最大值，且为12500，

此时应降价160-150=10元，

故当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是12500元．

(3)

根据题意，得-500≥11500，

当-500=11500时，

解得，，

∵抛物线w= 开口向下，

∴-500≥11500的解集为140≤x≤160，

∴让消费者得到最大的实惠，该如何确定该电子玩具的价格x=140元．

【点睛】

本题考查了销售数量与价格的关系，二次函数解决利润问题，二次函数图像与不等式解集的关系，一元二次方程的解法，熟练掌握二次函数的构造方法和性质是解题的关键．

4、 (1)二次函数的表达式为： ；

(2)．

【解析】

【分析】

（1）观察表格数据，由、可知，二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数的表达式为，再选一组值代入即可求出a值，解析式即可确定；

（2）先根据顶点坐标求出关于y轴对称的顶点坐标，然后设抛物线解析式为，结合表中数据可得函数图象经过，代入求解即可确定抛物线解析式．

(1)

解：观察表格数据，由、可知，二次函数图象的顶点坐标为，

设二次函数的表达式为，

把代入得，

，

∴，

∴，

即 ；

(2)

解：抛物线的顶点是，关于y轴的对称点，开口方向与原抛物线相同，

设二次函数的表达式为，

在y轴上且在函数图象上，

将其代入函数表达式为：，

解得：，

∴关于y轴对称的图象所对应的函数表达式为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的轴对称变换问题，求出关键点的对称点坐标是解题关键．

5、 (1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法求解可得；

（2）在所求函数解析式中求出时的值即可得．

(1)

解：设抛物线的解析式为，

将点、代入，得：，

解得：，

所以抛物线的解析式为；

(2)

当时，，即，

解得：，

则水面的宽为．

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数的问题求解，并熟练掌握待定系数法求函数解析式．