冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步达标检测题

九年级数学下册第三十章二次函数定向攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、若二次函数与轴的一个交点为，则代数式的值为（       ）

A． B． C． D．

2、已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（       ）

A．1 B．-1 C． D．无法确定

3、若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（     ）

A． B． C． D．

4、将关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线经过三点、、，则、、的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

5、若函数，则当函数y=15时，自变量的值是（     ）

A． B．5 C．或5 D．5或

6、下列函数中，随的增大而减小的函数是（       ）

A． B． C． D．

7、一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

8、2020年2月3日，随着南立交匝道最后一条交通线划线完毕，蒙山大道祊河桥迎来了南北东西方向全线通车，蒙山高架路“踏实落地”，市民从此可一路畅通．蒙山大道祊河桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象－抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（       ）

A． B． C． D．

9、将函数的图像向上平移1个单位，向左平移2个单位，则所得函数表达式是（       ）

A． B．

C． D．

10、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则（　　）

A．b＞0，c＞0，Δ＝0 B．b＜0，c＞0，Δ＝0

C．b＜0，c＜0，Δ＝0 D．b＞0，c＞0，Δ＞0

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知抛物线，将其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则得到的抛物线解析式为________．

2、某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留宽的门，所有围栏的总长（不含门）为，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为______．

3、二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下：

则一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5的解为 _____．

4、如图，在平面直角坐标系中，，，且AC在x轴上，O为AC的中点．若抛物线与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是______．

5、请写出一个开口向下，与轴交点的纵坐标为3的抛物线的函数表达式__．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m．以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为．

(1)求拱桥所在抛物线的函数表达式；

(2)因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少？（结果保留根号）

2、已知二次函数的图象经过点，对称轴是经过且平行于轴的直线．

(1)求，的值，

(2)如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点，与二次函数的图象相交于另一点，若点与点关于抛物线对称轴对称，求一次函数的表达式．

(3)根据函数图象直接写出时，的取值范围．

3、如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点．

(1)求 b 的值；

(2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围．

4、如图，抛物线与轴交于两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（，0），点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，当PQ∥y轴时，作PM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点P的右侧），以PQ，PM为邻边构造矩形PQNM，求该矩形周长的最小值；

(3)设抛物线在点C与点P之间的部分（含点C和P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．

①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；

②当h=16时，直接写出△BCP的面积．

5、在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝a+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．

(1)判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；

(2)求a，b的值；

(3)平移抛物线y＝a+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

把代入即可求出，则，进而可求出代数式的值．

【详解】

解：二次函数与轴的一个交点为，

时，，

，

，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是把代入求出的值．

2、C

【解析】

【分析】

分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；

【详解】

当a＞0时，∵对称轴为x=，

当x=1时，y有最小值为2，当x=3时，y有最大值为4a+2，

∴4a+2-2=4．

∴a=1，

当a＜0时，同理可得

y有最大值为2； y有最小值为4a+2，

∴2-(4a+2)=4，

∴a=-1，

综上，a的值为

故选：C

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．

3、C

【解析】

【分析】

根据两根之和公式可以求出对称轴公式．

【详解】

解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，

∴x1＋x2＝− ＝2．

∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1．

故选：C．

【点睛】

本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．

4、C

【解析】

【分析】

根据题意求得平移后的二次函数的对称轴以及开口方向，根据三个点与对称轴的距离大小判断函数值的大小即可

【详解】

解：∵关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线解析式为，

∴新抛物线的对称轴为，开口方向向上，则当抛物线上的点距离对称轴越远，其纵坐标越大，即函数值越大，

平移后的抛物线经过三点、、，

故选C

【点睛】

本题考查了二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的对称轴直线x=，图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线的开口向上，x＜时，y随x的增大而减小；x＞时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点，掌握二次函数的性质是解题的关键．

5、D

【解析】

【分析】

根据题意，利用分类讨论的方法可以求得当函数y=15时，自变量x的值．

【详解】

解：当x＜3时，

令2x2-3=15，

解得x=-3；

当x≥3时，

令3x=15，

解得x=5；

由上可得，x的值是-3或5，

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．

6、B

【解析】

【分析】

根据一次函数，反比例函数，二次函数，正比例函数的性质逐项分析即可．

【详解】

A. ，，随的增大而增大，故A选项不符合题意．

B. ，， ，的图像位于第三象限，随的增大而减小，故B选项符合题意；

C. ，，对称轴为轴，在对称轴的左边，随的增大而增大，在对称轴的右边，随的增大而减小，故C选项不符合题意；

D. ，，随的增大而增大，故D选项不符合题意；

故选B．

【点睛】

本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数，正比例函数的性质，掌握以上性质是解题的关键．

7、C

【解析】

【分析】

逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．

【详解】

A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，

∴a＜0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；

B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，

∴a＞0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；

C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，

∴a＜0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；

D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，

∴a＜0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限．

8、B

【解析】

【分析】

直接利用图象设出抛物线解析式，进而得出答案．

【详解】

∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，

∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，

∴-78=452a，

解得：a=，

∴此抛物线钢拱的函数表达式为，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，正确设出抛物线解析式是解题关键．

9、B

【解析】

【分析】

由二次函数图象平移的规律即可求得平移后的解析式，再选择即可．

【详解】

解：将抛物线先向上平移1个单位，则函数解析式变为

再将向左平移2个单位，则函数解析式变为，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．

10、B

【解析】

【分析】

根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定△的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．

【详解】

解：∵抛物线的开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∴＞0，

∴b＜0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，

∴c＞0，

∵抛物线与x轴有一个交点，

∴Δ=0，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与系数的关系，牢记抛物线的对称轴公式．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．

【详解】

解：∵抛物线的顶点坐标为（0,2），

其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，

得到的抛物线解析式为

即

故答案为：

【点睛】

本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．

2、14

【解析】

【分析】

设平行于墙体的材料长度为 ，则垂直于墙体的材料长度为 根据题意列出函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解．

【详解】

解：设平行于墙体的材料长度为 ，建成的饲养室的总面积为 ，则垂直于墙体的材料长度为 根据题意得：

建成的饲养室的总面积为 ，

∴当 时，建成的饲养室面积最大，

即此时利用墙体的长度为 ．

故答案为：14

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．

3、，

【解析】

【分析】

从表中找到三对数值，将三对数值分别代入y=ax2+bx+c组成方程组，求出a、b、c的值，然后再运用因式分解法求解方程即可得到结论．

【详解】

解：将（-3，7），（0，-8），（1，-9）代入y=ax2+bx+c得，

整理得，

②×3+①，得

∴

把代入②得，

∴

又

∴一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5可变形为：

即：

∴

∴，或

解得，，

故答案为：，

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数解析式和一元二次方程的解法，从图表中找到相关的量是解题的关键．

4、3≤a＜4或a≤-5

【解析】

【分析】

先确定A，B的坐标，确定直线AB的解析式，联立两个函数解析式构造一元二次方程，其判别式大于零，分a＜0和a＞0，两种情形计算即可．

【详解】

∵，，且AC在x轴上，O为AC的中点，

∴A（-1，0），B（1，2），∠BAC=45°，

∴直线AB与y轴的交点为（0，1），

设直线AB的解析式为y=kx+1，

∴-k+1=0，

解得k=1，

∴直线AB的解析式为y=x+1，

∵抛物线与线段AB有两个不同的交点，

∴x+1=有两个不相等实数根，

∴有两个不相等实数根，

∴，

解得a＜4；

当a＞0时，，

∴a≥3，

∴3≤a＜4，

当a＜0时，，

∴a≤-5，

∴3≤a＜4或a≤-5，

故答案为：3≤a＜4或a≤-5．

【点睛】

本题考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，抛物线与一次函数的综合，不等式组的解法，熟练根的判别式和不等式组的解法是解题的关键．

5、

【解析】

【分析】

首先根据开口向下得到二次项系数小于0，然后根据与轴的交点坐标的纵坐标为3得到值即可得到函数的解析式．

【详解】

解：开口向下，

中，

与轴的交点纵坐标为3，

，

抛物线的解析式可以为：（答案不唯一）．

故答案为：（答案不唯一）．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数中各项系数的作用．

三、解答题

1、 (1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法求解可得；

（2）在所求函数解析式中求出时的值即可得．

(1)

解：设抛物线的解析式为，

将点、代入，得：，

解得：，

所以抛物线的解析式为；

(2)

当时，，即，

解得：，

则水面的宽为．

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数的问题求解，并熟练掌握待定系数法求函数解析式．

2、 (1)

(2)

(3)或

3、 (1)

(2)或

【解析】

【分析】

（1）将点A（4，4）代入进行解答即可得；

（2）由图像即可得．

(1)

解：将点A（4，4）代入得，

解得．

(2)

解：由图像可知，当或时，．

【点睛】

本题考查了正比函数，二次函数，解题的关键是掌握正比函数的性质和二次函数的性质．

4、 (1)

(2)

(3)①；②

【解析】

【分析】

（1）将点代入解析式，待定系数法求二次函数解析式即可；

（2）根据两点求得直线的解析式，进而求得的长，根据的范围分类讨论求得的值，进而得到矩形周长与的二次函数关系式，根据二次函数的性质求得最小值即可；

（3）①根据抛物线解析式求得顶点坐标，进而根据的纵坐标与的纵坐标求得最大与最小值求得其差即可，根据的纵坐标大于3和小于等于3求解即可；②过点作轴交于点，过点作于点，根据①中的范围可得，当时，，进而求得点的坐标，根据计算即可

(1)

解：∵抛物线与轴交于两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（，0），

∴令，则，

将点代入得

解得

则抛物线的解析式为

(2)

点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．

点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，PQ∥y轴

点在点上方，

,，设直线的解析式为

解得

直线的解析式为

设，则

抛物线的解析式为

对称轴为，顶点坐标为，

根据对称性可得

设矩形的周长为，

①当时，，不能构成矩形，

②当时，

则

当时，

③当时，

则

对称轴为

则当时，不存在最小值

综上所述，矩形的周长的最小值为

(3)

①抛物线的解析式为

对称轴为，顶点坐标为，

又

当时，

解得，

当时，

当时，

②当时，

当时，

解得

则

如图，过点作轴交于点，过点作于点，

抛物线的解析式为

令，则

解得

【点睛】

本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与矩形问题，二次函数与三角形面积问题，掌握二次函数的性质与一次函数的性质是解题的关键．

5、 (1)在，见解析

(2)a＝﹣1，b＝2

(3)当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为

【解析】

【分析】

（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上；

（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；

（3）设平移后的抛物线为y＝﹣+px+q，其顶点坐标为（，），根据题意得出=，由抛物线y＝﹣+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q=-=，从而得出q的最大值．

(1)

点B是在直线y＝x+m上，理由如下：

∵直线y＝x+m经过点A（1，2），

∴2＝1+m，解得m＝1，

∴直线为y＝x+1，

把x＝2代入y＝x+1得y＝3，

∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；

(2)

∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，

∴抛物线只能经过A、C两点，

把A（1，2），C（2，1）代入y＝a+bx+1得，

解得a＝﹣1，b＝2；

(3)

由（2）知，抛物线为y＝﹣+2x+1，

设平移后的抛物线为y＝﹣+px+q，

∴顶点坐标为（，），

∵其顶点仍在直线y＝x+1上，

∴=，

∴q=-=，

∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．

【点睛】

本题考查了图像与点的关系，待定系数法确定函数解析式，配方法求二次函数最值，熟练掌握待定系数法，灵活配方求最值是解题的关键．