初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试课后测评

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九年级数学下册第三十章二次函数难点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、二次函数的最大值是（   ）A． B． C．1 D．22、一次函数与二次函数的图象交点（　　）A．只有一个 B．恰好有两个C．可以有一个，也可以有两个 D．无交点3、如图，若二次函敞的图象过点，且与x轴交点横坐标分别为，，其中，．得出结论：①；②；③；④．上述结论正确的有（       ）个．A．1 B．2 C．3 D．44、在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象大致如图（　　）A． B．C． D．5、如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，若抛物线的顶点在直线上移动，且与线段、都有公共点，则h的取值范围是（       ）A． B． C． D．6、某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，第3年的销售量为台，则关于的函数解析式为（       ）A． B．C． D．7、二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8、已知抛物线y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0），点A（x1，y1），B（3，y2）在该抛物线上，且y1＜y2．给出下列结论①抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；②当m＞0时，抛物线与x轴没有交点；③当m＞0时，﹣7＜x1＜3； ④当m＜0时，x1＜﹣7或x1＞3；其中正确结论有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9、2020年2月3日，随着南立交匝道最后一条交通线划线完毕，蒙山大道祊河桥迎来了南北东西方向全线通车，蒙山高架路“踏实落地”，市民从此可一路畅通．蒙山大道祊河桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象－抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（       ）A． B． C． D．10、如图，要在二次函数的图象上找一点，针对b的不同取值，所找点M的个数，有下列三种说法：①如果，那么点M的个数为0；②如果．那么点M的个数为1；③如果，那么点M的个数为2．上述说法中正确的序号是（       ）A．① B．② C．③ D．②③第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若抛物线与轴交于原点，则的值为 __．2、当x≥m时，两个函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2和y2＝﹣（x﹣3）2＋1的函数值都随着x的增大而减小，则m的最小值为_____．3、已知二次函数，当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是______．4、将二次函数y＝﹣x2＋2图象向下平移3个单位，得到的函数图象顶点坐标为_____．5、某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留宽的门，所有围栏的总长（不含门）为，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知二次函数y＝x2＋2x．(1)写出该二次函数图象的对称轴．(2)已知该函数图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的点．①当x1＝3n＋4，x2＝2n﹣1，且y1＝y2时，求n的值．②当x1＞﹣1，x2＞﹣1时，求证：（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞02、已知二次函数的图象经过点，对称轴是经过且平行于轴的直线．(1)求，的值，(2)如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点，与二次函数的图象相交于另一点，若点与点关于抛物线对称轴对称，求一次函数的表达式．(3)根据函数图象直接写出时，的取值范围．3、如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米，设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（）．(1)求y与x的函数关系式；(2)求所围矩形苗圃ABCD的面积最大值；4、一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．(1)求抛物线的表达式；(2)一辆货车高4m，宽2.4m，能否从该隧道内通过，为什么？5、已知，如图，直线分别与轴、轴交于点、，抛物线经过点和点，其对称轴与直线交于点．(1)求二次函数的表达式；(2)若抛物线（其中）与抛物线的对称轴交于点．与直线交于点，过点作轴交抛物线的对称轴左侧部分于点．①若点和点重合，求的值；②若点在点的下方，求、的长（用含有的代数式表示）；③在②的条件下，设的长度为个单位，的长度为个单位，若．直接写出的范围． -参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】由图象的性质可知在直线处取得最大值，将代入解析式计算求解即可．【详解】解：由图象的性质可知，在直线处取得最大值∴将代入中得∴最大值为2故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的最值．解题的关键在于掌握二次函数的图象与性质．2、B【解析】【分析】联立解析式得一元二次方程，利用判根公式判断方程的根，方程根的个数即为图象的交点个数．【详解】解：联立一次函数和二次函数的解析式可得：整理得：有两个不相等的实数根与的图象交点有两个故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，图象的交点与方程根的关系．解题的关键在于正确求解．3、C【解析】【分析】由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，可判断①，二次函敞的图象过点，结合图象可得：在抛物线上，再求解抛物线的对称轴可判断②，二次函敞的顶点坐标为：可判断③，先利用时的函数值求解的取值范围，从而可判断④，从而可得答案.【详解】解：由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴， 故①符合题意； 二次函敞的图象过点，结合图象可得：在抛物线上， 抛物线的对称轴为： 故②符合题意； 二次函敞的顶点坐标为：结合图象可得： 而 故③不符合题意；当时， 又由图象可得：时， 解得： 故④符合题意；综上：符合题意的有：①②④故选C【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象与性质判断代数式的符号”是解本题的关键.4、B【解析】【分析】分别利用函数解析式分析图象得出答案．【详解】解：A、二次函数开口向下，k＜0；一次函数图象经过第一、三象限，k＞0，故此选项错误；B、两函数图象符合题意；C、二次函数开口向上，k＞0；一次函数图象经过第二、四象限，k＜0，故此选项错误；D、一次函数解析式为：y=kx-2，图象应该与y轴交在负半轴上，故此选项错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确得出k的符号是解题关键．5、B【解析】【分析】将与联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线可求得k＝−h，于是可得到抛物线的解析式为y＝（x−h）2−h，由图形可知当抛物线经过点B和点C时抛物线与线段AB、BO均有交点，然后将点C和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围．【详解】解：∵将与联立得：，解得：．∴点B的坐标为（−2，1），由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k），∵将x＝h，y＝k，代入得y＝−x得：−h＝k，解得k＝−h，∴抛物线的解析式为y＝（x−h）2−h，如图1所示：当抛物线经过点C时，将C（0，0）代入y＝（x−h）2−h得：h2−h＝0，解得：h1＝0（舍去），h2＝；如图2所示：当抛物线经过点B时，将B（−2，1）代入y＝（x−h）2−h得：（−2−h）2−h＝1，整理得：2h2＋7h＋6＝0，解得：h1＝−2，h2＝−（舍去）．综上所述，h的范围是−2≤h≤，即−2≤h≤故选：B．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与线段AB、BO均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点O是解题解题的关键．6、B【解析】【分析】根据增长率问题的计算公式解答．【详解】解：第2年的销售量为，第3年的销售量为，故选：B．【点睛】此题考查了增长率问题的计算公式，a是前量，b是后量，x是增长率，熟记公式中各字母的意义是解题的关键．7、D【解析】【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况，再由一次函数的性质解答．【详解】解：由势力的线与y轴正半轴相交可知c>0，对称轴x=-＜0，得b<0．∴ 所以一次函数y＝﹣bx+c的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．8、C【解析】【分析】利用抛物线的对称轴公式可判断①，计算 结合 可判断②，再分别画出符合③，④的图象，结合图象可判断③与④，从而可得答案.【详解】解： 抛物线y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0）， 抛物线的对称轴为： 故①符合题意； 当时， 所以抛物线与轴有两个交点，故②不符合题意；当时，抛物线的开口向上，如图，则关于的对称点为： 而 故③符合题意；当时，抛物线的开口向下，如图，同理可得：由 则或 故④符合题意，综上：符合题意的有：①③④故选：C【点睛】本题考查的是抛物线的对称轴方程，抛物线与轴的交点的情况，二次函数的图象与性质，掌握“利用数形结合的方法求解符合条件的自变量的取值范围”是解本题的关键.9、B【解析】【分析】直接利用图象设出抛物线解析式，进而得出答案．【详解】∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，∴-78=452a，解得：a=，∴此抛物线钢拱的函数表达式为，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，正确设出抛物线解析式是解题关键．10、B【解析】【分析】把点M的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断．【详解】解：∵点M（a，b）在抛物线y=x（2-x）上， 当b=-3时，-3=a（2-a），整理得a2-2a-3=0，∵△=4-4×（-3）＞0，∴有两个不相等的值，∴点M的个数为2，故①错误；当b=1时，1=a（2-a），整理得a2-2a+1=0，∵△=4-4×1=0，∴a有两个相同的值，∴点M的个数为1，故②正确；当b=3时，3=a（2-a），整理得a2-2a+3=0，∵△=4-4×3＜0，∴点M的个数为0，故③错误；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．二、填空题1、-3【解析】【分析】根据函数图象经过原点时，，，代入即可求出的值．【详解】解：抛物线与轴交于原点，当时，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握函数图象经过原点，即当时，是解决问题的关键．2、4【解析】【分析】先确定两个函数的开口方向和对称轴，再得出符合条件的x的取值范围，从而得到m的最小值．【详解】解：函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2开口向下，对称轴为直线x=4，函数y2＝﹣（x﹣3）2＋1开口向下，对称轴为直线x=3，当函数值都随着x的增大而减小，则x≥4，即m的最小值为4，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的基本性质．3、【解析】【分析】函数图象的对称轴为直线，图象在对称轴的右侧y随x的增大而增大，进而可得自变量x的取值范围．【详解】解：由知函数图象的对称轴为直线，图象在对称轴的右侧y随x的增大而增大∴自变量x的取值范围是故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练把握二次函数的图象与性质．4、（0，-1）【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：将二次函数y＝-x2+2图象向下平移3个单位，得到y＝-x2+2-3=-x2-1，顶点坐标为（0，-1），故答案为：（0，-1）．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．5、14【解析】【分析】设平行于墙体的材料长度为 ，则垂直于墙体的材料长度为 根据题意列出函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解．【详解】解：设平行于墙体的材料长度为 ，建成的饲养室的总面积为 ，则垂直于墙体的材料长度为 根据题意得：建成的饲养室的总面积为 ，∴当 时，建成的饲养室面积最大，即此时利用墙体的长度为 ．故答案为：14【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．三、解答题1、 (1)直线x=-1(2)①-1；②见解析【解析】【分析】（1）直接根据对称轴公式求解；（2）①将x1和x2代入函数表达式，根据y1＝y2得到方程，解之即可；②将（x1﹣x2）（y1﹣y2）变形为（x1﹣x2）2（x1＋x2+2），再根据x1＞﹣1，x2＞﹣1判断出结果的符号，即可证明．(1)解：二次函数y＝x2＋2x中，对称轴为直线x==-1；(2)①当x1＝3n＋4，x2＝2n﹣1，且y1＝y2时，y1＝（3n＋4）2＋2（3n＋4）＝9n2+30n+24，y2＝（2n﹣1）2＋2（2n﹣1）＝4n2-1，则9n2+30n+24＝4n2-1，解得：n=-5或n=-1；当时， 不符合题意，舍去，所以 ②（x1﹣x2）（y1﹣y2）=（x1﹣x2）[（x12＋2x1）﹣（x22＋2x2）]=（x1﹣x2）（x12＋2x1﹣x22﹣2x2）=（x1﹣x2）2（x1＋x2+2）∵x1＞﹣1，x2＞﹣1，∴x1＋x2+2＞-1-1+2=0，又∵A（x1，y1），B（x2，y2）是两个不同的点，∴x1≠x2，∴（x1﹣x2）2＞0，∴（x1﹣x2）2（x1＋x2+2）＞0，即（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，解一元二次方程，因式分解的应用，解题的关键是要灵活运用因式分解将式子变形．2、 (1)(2)(3)或3、 (1)y＝﹣2x2＋18x(2)m2【解析】【分析】（1）设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（），则，根据矩形的面积公式求解即可；（2）根据顶点坐标公式计算即可求解(1)设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（），则，根据题意得：y＝x（18﹣2x）＝﹣2x2＋18x；(2)二次函数y＝﹣2x2＋18x（0＜x＜9），∵a＝﹣2＜0，∴二次函数图象开口向下，且当x＝﹣＝时，y取得最大值，最大值为y＝×（18﹣2×）＝（m2）；【点睛】本题考查了一元二次函数的应用，用代数式表示出是解题的关键．4、 (1)(2)货车可以通过，说明见解析【解析】【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标（4，6），设抛物线的解析式为，将A点坐标代入求解a的值，进而得到抛物线的表达式；（2）令y=4，代入解析式，得到方程的两根，比较与2.4的大小即可判断货车是否可以通过．(1)解：由题意可知，抛物线的顶点坐标（4，6）设抛物线的解析式为又∵点A（0，2）在抛物线上∴解得∴抛物线的表达式为：．(2)解：令y=4，则有解得，∵∴货车可以通过．【点睛】本题考查了二次函数的解析式与应用．解题的关键在于适当的设二次函数解析式的形式．5、 (1)(2)①；②，当时，；当时，；③【解析】【分析】（1）先确定A（-3，0），B（0，3），分别代入解析式，求得b，c的值即可；（2）①利用对称轴与直线y=x+3的交点，确定点C（-1，2），代入解析式中，求的值；②分当＜m＜1和m≥1两种情况解答即可；③根据得b=m+1，结合前面的解答直接写出的范围即可．(1)∵直线分别与轴、轴交于点、，∴A（-3，0），B（0，3），把A（-3，0），B（0，3）分别代入解析式，得，解得∴抛物线的解析式为：．(2)①∵的对称轴为直线，直线AB的解析式为y=x+3，∴点、，∵点和点重合，∴，解得：，∵，∴．②∵点、，且点D在点C的下方，∴CD=2-（）=；∵点D在点C的下方，∴，当x=1时，，∵轴，∴点F的纵坐标为，∴=即=0，解得x== -1±|m-1|，当时，x=-1+1-m=-m，此时，交点D不满足在C的下方，舍去；或x=-1-1+m=m-2，∴EF=；当m≥1时，x=-1+m-1=m-2，此时，交点D不满足在C的下方，舍去；或x=-1-m+1=-m，∴EF=．③∵，∴=，∴=，∴b=m+1，b=-（m+1）舍去，∴m≥1．【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，一元二次方程的解法，抛物线的平移，熟练掌握抛物线的性质，正确解方程是解题的关键．