初中数学第30章 二次函数综合与测试同步训练题

九年级数学下册第三十章二次函数专题攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、2020年2月3日，随着南立交匝道最后一条交通线划线完毕，蒙山大道祊河桥迎来了南北东西方向全线通车，蒙山高架路“踏实落地”，市民从此可一路畅通．蒙山大道祊河桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象－抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（       ）

A． B． C． D．

2、已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

3、二次函数y＝ax2﹣4ax＋c（a＞0）的图象过A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）四个点，下列说法一定正确的是（       ）

A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0

C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0

4、如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（       ）

A．米 B．10米 C．米 D．12米

5、将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（       ）

A． B． C． D．

6、若点，都在二次函数的图象上，且，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

7、某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，第3年的销售量为台，则关于的函数解析式为（       ）

A． B．

C． D．

8、抛物线y＝4(2x﹣3)2+3的顶点坐标是（　　）

A．(，3) B．(4，3) C．(3，3) D．(﹣3，3)

9、将关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线经过三点、、，则、、的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

10、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为(﹣1，0)．则下面的四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；④3a+c＝0．其中正确的有（       ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格：

当时，二次函数的函数值______

2、请写出一个开口向下且过点（0，﹣4）的抛物线表达式为 _________________．

3、已知二次函数，若，则y的取值范围是______．

4、二次函数的图像的顶点在轴上，则的值为__________．

5、将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 _____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（2，3），且交x轴于A（﹣1，0）、B（m，0），求m的值及二次函数图象的对称轴.

2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点P为直线BC上方抛物线上的一点，过P点作轴，交BC于点D，点E在直线BC上，且四边形PEDF为矩形，求矩形PEDF周长的最大值以及此时点P的坐标；

(3)在（2）问的条件下，将抛物线沿射线EP方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为平面内一点，将绕点Q顺时针方向旋转90°后得到，若的两个顶点恰好落在新抛物线上时，直接写出此时点的坐标，并把求其中一个点的坐标过程写出来．

3、图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m．以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为．

(1)求拱桥所在抛物线的函数表达式；

(2)因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少？（结果保留根号）

4、某商场一种商品的进价为每件元，售价为每件元．每天可以销售件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．

(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率；

(2)经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元?最大利润是多少?

5、如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与轴交于、两点，为抛物线的顶点，为坐标原点．若、（）的长分别是方程的两根，且．

(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；

(2)过点作交抛物线于点，求点的坐标；

(3)在（2）的条件下，过点任作直线交线段于点，设点、点到直线的距离分别为、，试求的最大值．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

直接利用图象设出抛物线解析式，进而得出答案．

【详解】

∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，

∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，

∴-78=452a，

解得：a=，

∴此抛物线钢拱的函数表达式为，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，正确设出抛物线解析式是解题关键．

2、C

【解析】

【分析】

由二次函数的性质,取得开口方向以及对称轴，进而可确定出的范围．

【详解】

解：，

抛物线开口向上，对称轴为，

当时，随的增大而减小，

在时，随的增大而减小，

，

解得，

故选：C．

【点睛】

本题考查二次函数图象性质，不等式的解法．能够得出关于的不等式，并正确求解不等式是解题关键．

3、C

【解析】

【分析】

根据函数表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而得到y3＜y2＜y4＜y1，再结合题目一一判断即可．

【详解】

解：由函数表达式可知：函数图像开口向上，对称轴为直线x==2，

∵-2＜0＜2＜3＜5，

∴y3＜y2＜y4＜y1，

若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，选项A不符合题意，

若y1y4＞0，则y2y3＞0或y2y3＜0，选项B不符合题意，

若y2y4＜0，则y1y3＜0，选项C符合题意，

若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，选项D不符合题意，

故选：C．

【点睛】

本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．

4、B

【解析】

【分析】

以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，由此可得A（-10，-4），B（10，-4），即可求函数解析式，再将y=-1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．

【详解】

以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，

设抛物线的解析式为y=ax2，

∵O点到水面AB的距离为4米，

∴A、B点的纵坐标为-4，

∵水面AB宽为20米，

∴A（-10，-4），B（10，-4），

将A代入y=ax2，

-4=100a，

∴，

∴，

∵水位上升3米就达到警戒水位CD，

∴C点的纵坐标为-1，

∴

∴x=±5，

∴CD=10，

故选：B．

【点睛】

本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次函数的解析式是解题的关键．

5、C

【解析】

【分析】

根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．

【详解】

解：因为y=x2-2x+3=（x-1）2+2．

所以将抛物线y=（x-1）2+2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=（x-1+2）2+2-1，即y=（x+1）2+1．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．

6、D

【解析】

【分析】

先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质，当点和在直线的右侧时；当点和在直线的两侧时，然后分别解两个不等式即可得到的范围．

【详解】

抛物线的对称轴为直线，

∵，，

当点和在直线的右侧，则，

解得，

当点和在直线的两侧，则，

解得，

综上所述，的范围为．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．

7、B

【解析】

【分析】

根据增长率问题的计算公式解答．

【详解】

解：第2年的销售量为，

第3年的销售量为，

故选：B．

【点睛】

此题考查了增长率问题的计算公式，a是前量，b是后量，x是增长率，熟记公式中各字母的意义是解题的关键．

8、A

【解析】

【分析】

根据顶点式的顶点坐标为求解即可

【详解】

解：抛物线的顶点坐标是

故选A

【点睛】

本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．

9、C

【解析】

【分析】

根据题意求得平移后的二次函数的对称轴以及开口方向，根据三个点与对称轴的距离大小判断函数值的大小即可

【详解】

解：∵关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线解析式为，

∴新抛物线的对称轴为，开口方向向上，则当抛物线上的点距离对称轴越远，其纵坐标越大，即函数值越大，

平移后的抛物线经过三点、、，

故选C

【点睛】

本题考查了二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的对称轴直线x=，图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线的开口向上，x＜时，y随x的增大而减小；x＞时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点，掌握二次函数的性质是解题的关键．

10、B

【解析】

【分析】

①根据函数图象及函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，即可求解；②抛物线和x轴有两个交点，即可求解；③点B坐标为（﹣1，0），点A（3，0），即可求解；④对称轴为x＝1，则b＝﹣2a，点B（﹣1，0），故a﹣b+c＝0，即可求解．

【详解】

解：①∵函数图象开口向下

∴

又函数的对称轴在y轴右侧，

∴

∴

∵抛物线与y轴正半轴相交，

∴c＞0，

∴abc＜0，故原答案错误，不符合题意；

②∵抛物线和x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0正确，符合题意；

③∵点B坐标为（﹣1，0），且对称轴为x＝1，

∴点A（3，0），

∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故正确，符合题意；

④∵函数的对称轴为：x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∵点B坐标为（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝0，

而b＝﹣2a，

∴

即3a+c＝0，正确，符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点等．

二、填空题

1、-4

【解析】

【分析】

由表格得出抛物线的对称轴，根据二次函数的对称性解答可得．

【详解】

解：由表格可知当x=0和x=2时，y=-2.5，

∴抛物线的对称轴为x=1，

∴x=3和x=-1时的函数值相等，为-4，

故答案为：-4．

本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据表格得出抛物线的对称轴是解题的关键．

2、y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，﹣4）得出即可．

【详解】

解：∵抛物线开口向下且过点（0，﹣4），

∴可以设顶点坐标为（0，﹣4），

故解析式为：y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）．

故答案为：y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一．

3、

【解析】

【分析】

根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以求得y的取值范围．

【详解】

解：∵y=x2-4x+1=（x-2）2-3，抛物线开口向上，

∴当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，

∵-1≤x≤4，2-（-1）=3，4-2=2，

∴当x=-1时y取得最大值，当x=2时，y取得最小值，

当x=-1时，y=6，当x=2时，y=-3，

∴y的取值范围是-3≤y≤6，

故答案为：-3≤y≤6．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

4、

【解析】

【分析】

顶点在x轴上，即纵坐标为0．利用顶点坐标公式即可求出m的值．

【详解】

解：∵抛物线y=2x2-4x+3m的顶点在x轴上，

∴，

∴m=．

故答案为．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-），应熟练掌握．

5、y＝﹣2（x﹣1）2+3

【解析】

【分析】

按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．

【详解】

解：将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+2﹣3）2+5﹣2，即y＝﹣2（x﹣1）2+3．

故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2+3．

【点睛】

此题考查了抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，熟记规律是正确解题的关键．

三、解答题

1、m=3，对称轴为直线x=1

【解析】

【分析】

先根据待定系数法求出二次函数的解析式，令y=0求解x即可求得m，进而可求得二次函数图象的对称轴．

【详解】

解：将（2，3）和（－1，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，

得：，解得：，

∴y＝﹣x2+2x+3，

令y=0，则﹣x2+2x+3=0，即x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=－1，x2=3，

∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为A（－1，0）和B（3，0），

∴m=3，

该二次函数图象的对称轴为直线x=1．

【点睛】

本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与坐标轴的交点问题、二次函数图象的对称轴，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤是解答的关键．

2、 (1)

(2)矩形PEDF周长的最大值为，此时点

(3)或

【解析】

【分析】

（1）将点，点，代入解析式，待定系数法求解析式即可；

（2）根据题意转化为求最长时点的坐标，进而求得周长即可；

（3）将抛物线沿射线EP方向平移个单位长度得到新抛物线，即沿轴正方向向上平移, 轴正方向向右平移个单位，进而得到平行后的新的抛物线的解析式，根据题意分情况讨论，根据的两个顶点恰好落在新抛物线上时，根据旋转可得若的两个顶点恰好落在新抛物线上时，只有或落在抛物线上，进而分类讨论，根据直线与抛物线交点问题，一元二次方程根与系数的关系求解即可．

(1)

解：将点，点，代入解析式，得

解得

抛物线的解析式为：

(2)

四边形是矩形

即

设，则

则矩形PEDF周长为，

当取得最大值时，矩形PEDF周长的最大

设直线的解析式为，将点代入得，

则

解得

直线的解析式为

设，则

即

当时，取得最大值，最大值为

此时矩形PEDF周长为

当时，

即

(3)

由（2）可知，则，

过点作，则，

将抛物线沿射线EP方向平移个单位长度得到新抛物线，即沿轴正方向向上平移, 轴正方向向右平移个单位，

则新抛物线解析式为：

即

将绕点Q顺时针方向旋转90°后得到，

轴，

旋转90°后，则轴

则轴，

若的两个顶点恰好落在新抛物线上时，只有或落在抛物线上，

轴

设直线为

①当在抛物线上时，如图，

设点，的横坐标分别为，

则

则为的两根

即方程

，

则

即

解得

则

解得

②当在抛物线上时，如图，

设点，的横坐标分别为，

，

则

，

中，

直线的解析式为

设直线的解析式为

则为的两根

即

，

则

即

解得

直线的解析式为

则

解得

当时，

综上所述或

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，旋转的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，一次函数的平移问题，二次函数的平移问题，一元二次方程根与系数的关系，二次函数求函数值的问题，熟练掌握以上知识并正确的计算是解题的关键．

3、 (1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法求解可得；

（2）在所求函数解析式中求出时的值即可得．

(1)

解：设抛物线的解析式为，

将点、代入，得：，

解得：，

所以抛物线的解析式为；

(2)

当时，，即，

解得：，

则水面的宽为．

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数的问题求解，并熟练掌握待定系数法求函数解析式．

4、 (1)

(2)售价为元时，可获最大利润元

【解析】

【分析】

（1）设每次降价的百分率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解；

（2）设降价元，利润为元，根据题意列出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质即可求解．

(1)

设每次降价的百分率为，由题意得

，

（不符合题意，舍去），

答：该商品连续两次下降的百分率为；

(2)

设降价元，利润为元，由题意得

S=(50-30-m)(48+8m)

，  

，即售价为元时，可获最大利润元．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，以及二次函数的应用，解决本题的关键是根据题目中的等量关系列出方程和二次函数关系式．

5、 (1)

(2)点的坐标为

(3)

【解析】

【分析】

（1）先求出的两根，可得点的坐标为，点的坐标为．从而得到的坐标为．再由．可得的坐标为．然后设抛物线对应的二次函数的解析式为．把点代入，即可求解；

（2）根据题意可设点的坐标为，则有．再由点在抛物线上，可得．从而得到，即可求解；

（3）由（2）知：，而，可得到，然后过点A作．根据三角形的面积，可得．再由，可得，即可求解．

(1)

解：如图，过点作轴于，则为的中点．

解方程得：或．

而，则点的坐标为，点的坐标为．

∴的坐标为．

又因为，

∴．

∴的坐标为．

设抛物线对应的二次函数的解析式为．

∵抛物线过点，则，解得：．

故抛物线对应的二次函数的解析式为．

(2)

∵，

∴．

又∵，

设点的坐标为，则有．

∵点在抛物线上，

∴．

化简得：．

解得：，（舍去）．

故点的坐标为．

(3)

由（2）知：，而，

∴．

过点A作．

∵，

∴．

∵，

∴．

即此时的最大值为．

【点睛】

本题主要考查了二次函数与三角形的综合题，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质等腰三角形的性质是解题的关键．