初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试随堂练习题

九年级数学下册第三十章二次函数定向测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、一次函数与二次函数的图象交点（　　）

A．只有一个 B．恰好有两个

C．可以有一个，也可以有两个 D．无交点

2、将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（       ）

A． B． C． D．

3、若函数，则当函数y=15时，自变量的值是（     ）

A． B．5 C．或5 D．5或

4、如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是．其中正确结论是（       ）

A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤

5、一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

6、下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（       ）

A．正方体集装箱的体积，棱长xm

B．小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm

C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤

D．高为14m的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xm

7、小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ）

A．14 B．11 C．6 D．3

8、某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，第3年的销售量为台，则关于的函数解析式为（       ）

A． B．

C． D．

9、二次函数的图像如图所示，那么点在（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

10、将函数的图像向上平移1个单位，向左平移2个单位，则所得函数表达式是（       ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、在平面直角坐标系中，设点P是抛物线的顶点，则点P到直线的距离的最大值为________．

2、抛物线的顶点坐标是______．

3、如果二次函数的图像上有两点（2，y1）和（4，y2），那么y1________y2．（填“>”、“=”或“<”）

4、如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1_____y2．（填“＞”或“＜”）

5、将二次函数的图象先向左平移2个单位， 再向下平移5个单位， 则最终所得图象的函数表达式是____________.

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．

(1)求抛物线的表达式；

(2)一辆货车高4m，宽2.4m，能否从该隧道内通过，为什么？

2、已知二次函数．

(1)把它配方成的形式，并写出它的开口方向、顶点的坐标；

(2)作出函数的图象（列表描出五个关键点）．

3、在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝a+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．

(1)判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；

(2)求a，b的值；

(3)平移抛物线y＝a+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．

4、（1）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0；

（2）用配方法求抛物线y＝x2+4x﹣5的开口方向、对称轴和顶点坐标．

5、如图，Rt中，．点P从点A出发，沿射线方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A重合时，将线段绕点P旋转使（点在点P右侧），过点作交射线于点M，设点P运动的时间为t（秒）．

(1)的长为___________（用含t的代数式表示）

(2)当落在的角平分线上时，求此时t的值．

(3)设与重叠部分图形的面积为S（平方单位），求S关于t的函数关系式．并求当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

联立解析式得一元二次方程，利用判根公式判断方程的根，方程根的个数即为图象的交点个数．

【详解】

解：联立一次函数和二次函数的解析式可得：

整理得：

有两个不相等的实数根

与的图象交点有两个

故选：B．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根，图象的交点与方程根的关系．解题的关键在于正确求解．

2、C

【解析】

【分析】

根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．

【详解】

解：因为y=x2-2x+3=（x-1）2+2．

所以将抛物线y=（x-1）2+2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=（x-1+2）2+2-1，即y=（x+1）2+1．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．

3、D

【解析】

【分析】

根据题意，利用分类讨论的方法可以求得当函数y=15时，自变量x的值．

【详解】

解：当x＜3时，

令2x2-3=15，

解得x=-3；

当x≥3时，

令3x=15，

解得x=5；

由上可得，x的值是-3或5，

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．

4、C

【解析】

【分析】

根据开口方向，对称轴，以及与轴负半轴的交点位置判断的符号即可判断①，根据二次函数图象的对称性可知时的函数值与的函数值相等，进而可得，即可判断②，根据对称轴为以及顶点坐标公式即可判断③，根据二次函数图象与轴有两个交点，则，即可判断④，根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，进而根据抛物线的开口方向以及，即可判断，根据顶点位置的函数值最小，进而即可判断⑤

【详解】

解：∵抛物线的开口朝上，则，对称轴，可得，根据抛物线与轴交于负半轴，则

∴

故①正确；

∵二次函数的图象经过点，

则当时，

对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，

时，

即

故②不正确

对称轴为直线，

∴，即

故③正确；

∵二次函数图象与轴有两个交点，则

即

故④错误；

对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，

，是抛物线上两点，且，抛物线开口向上，

故⑤正确

故正确的是①③⑤

故选C

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质以及与各系数之间的关系，二次函数与一元一次不等式，根据图象判断方程的根的情况，二次函数的对称性，掌握二次根式图象的性质是解题的关键．

5、C

【解析】

【分析】

逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．

【详解】

A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，

∴a＜0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；

B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，

∴a＞0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；

C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，

∴a＜0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；

D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，

∴a＜0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限．

6、D

【解析】

【分析】

根据题意，列出关系式，即可判断是否是二次函数．

【详解】

A.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；

B.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；

C.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；

D.由题得：，是二次函数，故此选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的定义，形如的形式为二次函数，掌握二次函数的定义是解题的关键．

7、B

【解析】

【分析】

首先由y=2x2-4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2-4x+8，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．

【详解】

解：，

抛物线顶点的坐标为，

，

点的横坐标为，

把代入，得到，

，

．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．

8、B

【解析】

【分析】

根据增长率问题的计算公式解答．

【详解】

解：第2年的销售量为，

第3年的销售量为，

故选：B．

【点睛】

此题考查了增长率问题的计算公式，a是前量，b是后量，x是增长率，熟记公式中各字母的意义是解题的关键．

9、C

【解析】

【分析】

根据对称轴的位置、开口方向、与y轴的交点的位置即可判断出a、b、c的符号，进而求出的符号．

【详解】

由函数图像可得：

∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

又∵对称轴在y轴右侧，

∴，

∴b<0，

又∵图象与y轴交于负半轴，

∴c＜0，

∴

∴在第三象限

故选：C

【点睛】

考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．根据对称轴的位置、开口方向、与y轴的交点的位置判断出a、b、c的符号是解题的关键．

10、B

【解析】

【分析】

由二次函数图象平移的规律即可求得平移后的解析式，再选择即可．

【详解】

解：将抛物线先向上平移1个单位，则函数解析式变为

再将向左平移2个单位，则函数解析式变为，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．

二、填空题

1、5

【解析】

【分析】

根据抛物线解析式求出点P坐标，由直线解析式可知直线恒过点B（0，-3），当PB与直线垂直时，点P到直线的距离最大，根据两点间距离公式可出最大距离．

【详解】

解：∵

∴P（3，1）

又直线恒过点B（0，-3），如图，

∴当PB与直线垂直时，点P到直线的距离最大，

此时，

∴点P到直线的距离的最大值为5

故答案为：5．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质，以及点到直线间的距离，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．

2、 (2，-1)

【解析】

【分析】

先把抛物线配方为顶点式，再确定顶点坐标即可．

【详解】

解：，

∴抛物线的顶点坐标为（2，-1）．

故答案为（2，-1）．

【点睛】

本题考查抛物线的顶点坐标，掌握抛物线配方为顶点式的方法是解题关键．

3、

【解析】

【分析】

将题目所给两个x代入函数即可得出两个y，再比较大小．

【详解】

=2时：

时：

∴

故答案为：<

【点睛】

本题考查函数性质，掌握比较方法是关键．

4、＜

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x+1）2的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，则在对称轴右侧，y随x的增大而增大．

【详解】

解：∵y＝（x+1）2，

∴a＝1＞0，

∴抛物线开口向上，

∵抛物线y＝（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，

∵﹣1＜2＜3，

∴y1＜y2．

故答案为＜．

【点睛】

本题考查了的性质，求得对称轴是解题的关键．

5、

【解析】

【分析】

按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．

【详解】

解：由题意得，最终所得图象的函数表达式是=，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k (a，b，c为常数，a≠0)，确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键．

三、解答题

1、 (1)

(2)货车可以通过，说明见解析

【解析】

【分析】

（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标（4，6），设抛物线的解析式为，将A点坐标代入求解a的值，进而得到抛物线的表达式；

（2）令y=4，代入解析式，得到方程的两根，比较与2.4的大小即可判断货车是否可以通过．

(1)

解：由题意可知，抛物线的顶点坐标（4，6）

设抛物线的解析式为

又∵点A（0，2）在抛物线上

∴

解得

∴抛物线的表达式为：．

(2)

解：令y=4，则有

解得，

∵

∴货车可以通过．

【点睛】

本题考查了二次函数的解析式与应用．解题的关键在于适当的设二次函数解析式的形式．

2、 (1)，开口向下，顶点的坐标为

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）按题目要求配方成顶点式，根据顶点式写出开口方向和顶点坐标；

（2）根据解析式列表、描点、连线画二次函数图象

(1)

解：∵，

∴开口向下，顶点的坐标为

(2)

列表：

描点、连线如图，

【点睛】

本题考查了将二次函数化为顶点式，画二次函数图象，掌握顶点式的图象的性质是解题的关键．

3、 (1)在，见解析

(2)a＝﹣1，b＝2

(3)当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为

【解析】

【分析】

（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上；

（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；

（3）设平移后的抛物线为y＝﹣+px+q，其顶点坐标为（，），根据题意得出=，由抛物线y＝﹣+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q=-=，从而得出q的最大值．

(1)

点B是在直线y＝x+m上，理由如下：

∵直线y＝x+m经过点A（1，2），

∴2＝1+m，解得m＝1，

∴直线为y＝x+1，

把x＝2代入y＝x+1得y＝3，

∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；

(2)

∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，

∴抛物线只能经过A、C两点，

把A（1，2），C（2，1）代入y＝a+bx+1得，

解得a＝﹣1，b＝2；

(3)

由（2）知，抛物线为y＝﹣+2x+1，

设平移后的抛物线为y＝﹣+px+q，

∴顶点坐标为（，），

∵其顶点仍在直线y＝x+1上，

∴=，

∴q=-=，

∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．

【点睛】

本题考查了图像与点的关系，待定系数法确定函数解析式，配方法求二次函数最值，熟练掌握待定系数法，灵活配方求最值是解题的关键．

4、（1） ；（2）抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为

【解析】

【分析】

（1）利用公式法，即可求解；

（2）先将抛物线解析式化为顶点式，即可求解．

【详解】

解：（1）

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

（2）

∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程，二次函数的图象和性质，熟练掌握一元二次方程的解法，二次函数的图象和性质是解题的关键．

5、 (1)

(2)

(3)，当时，S有最大值

【解析】

【分析】

（1）先利用勾股定理求出，然后证明，得到，即，则，，即可得到；

（2）延长交BC于D，由，得到，，则

再由在∠ABC的角平分线上，，，得到，则，由此求解即可；

（3）先求出当点正好落在BC上时，，然后讨论当△ABC与重叠部分即为，然后求出当点M恰好与B重合时，，讨论当时，如图3所示，△ABC与重叠部分即为四边形PMTS，当时，如图4所示，，△ABC与重叠部分即为△BPS，由此求解即可．

(1)

解：由旋转的性质可得，

∵在Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∴，即，

∴，，

∴；

(2)

解：如图所示，延长交BC于D，

∵∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，

∵，

∴，，

∴

∵在∠ABC的角平分线上，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

解得；

(3)

解：如图2所示，当点正好落在BC上时，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

又∵，

∴，

解得，

当，如图1所示，△ABC与重叠部分即为，

∴此时；

当点M恰好与B重合时，此时，

∴，

解得，

当时，如图3所示，△ABC与重叠部分即为四边形PMTS，

∴，

同理可证，

∴，即，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴即，

∴，

∴，

∴；

当时，如图4所示，，△ABC与重叠部分即为△BPS，

同理可证，

∴，即，

∴，，

∴，

∴综上所述，

∴，

∴由二次函数的性质可知，

∴当时，S有最大值．

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键．