初中第30章 二次函数综合与测试巩固练习

九年级数学下册第三十章二次函数专项测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

2、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则（　　）

A．b＞0，c＞0，Δ＝0 B．b＜0，c＞0，Δ＝0

C．b＜0，c＜0，Δ＝0 D．b＞0，c＞0，Δ＞0

3、已知平面直角坐标系中有点A（﹣4，﹣4），点B（a，0），二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k的图象必过一定点C，则AB+BC的最小值是（　　）

A．4 B．2 C．6 D．3

4、如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是．其中正确结论是（       ）

A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤

5、函数向左平移个单位后其图象恰好经过坐标原点，则的值为（       ）

A． B． C．3 D．或3

6、已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

7、二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

8、已知二次函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，则下列命题中正确的是（       ）

A．若a＝1，函数图象经过点(－1，1) B．若a＝－2，函数图象与x轴交于两点

C．若a＜0，函数图象的顶点在x轴下方 D．若a＞0且x≥1，则y随x增大而减小

9、抛物线的对称轴是（       ）

A．直线 B．直线 C．直线 D．直线

10、如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（       ）

A．米 B．10米 C．米 D．12米

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、请写出一个开口向下，与轴交点的纵坐标为3的抛物线的函数表达式__．

2、如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米．已知山坡PA的坡度为1：2（即），洞口A离点P的水平距离PC为12米，则小明这一杆球移动到洞口A正上方时离洞口A的距离AE为______米．

3、如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点P(0，1)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为_________．

4、二次函数的图像与x轴公共点的个数是______．

5、如果二次函数的图像上有两点（2，y1）和（4，y2），那么y1________y2．（填“>”、“=”或“<”）

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．

(1)求此抛物线的表达式；

(2)若 ，求点P的坐标；

(3)连接AC，求 PAC面积的最大值及此时点P的坐标．

2、如图，抛物线经过点，，．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为，求的最大值并求出此时点的坐标；

(3)设抛物线的顶点为，在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

3、生态水果是指在保护、改善农业生态环境的前提下，遵循生态学、生态经济学规律，运用现代科学技术，营养的、健康的水果．青岛市扶贫工作小组对李沧、胶州、即墨等多地果农进行精准投资建设，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了．批发销售总额比去年增加了20%

(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？

(2)今年某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克．设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时该水果店一天的利润最大（利润计算时，其它费用忽略不计，并且售价为整数）

4、 “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款电子玩具，其成本为每件100元，当售价为每件160元时，每月可销售200件．为了吸引更多买家，该网店采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降低1元，则每月可多销售5件，设每件电子玩具的售价为x元（x为正整数），每月销售量为y件．

(1)直接写出y与x之间的函数关系式；

(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？

(3)该网店店主决定每月从利润中捐出500元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于11500元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定该电子玩具的价格？

5、如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与轴交于、两点，为抛物线的顶点，为坐标原点．若、（）的长分别是方程的两根，且．

(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；

(2)过点作交抛物线于点，求点的坐标；

(3)在（2）的条件下，过点任作直线交线段于点，设点、点到直线的距离分别为、，试求的最大值．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

由二次函数的性质,取得开口方向以及对称轴，进而可确定出的范围．

【详解】

解：，

抛物线开口向上，对称轴为，

当时，随的增大而减小，

在时，随的增大而减小，

，

解得，

故选：C．

【点睛】

本题考查二次函数图象性质，不等式的解法．能够得出关于的不等式，并正确求解不等式是解题关键．

2、B

【解析】

【分析】

根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定△的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．

【详解】

解：∵抛物线的开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∴＞0，

∴b＜0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，

∴c＞0，

∵抛物线与x轴有一个交点，

∴Δ=0，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与系数的关系，牢记抛物线的对称轴公式．

3、C

【解析】

【分析】

将抛物线解析式变形求出点C坐标，再根据两点之间线段最短求出AB+BC的最小值即可．

【详解】

解：二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k=(x-2)(x-1+k)-2

∴函数图象一定经过点C（2，-2）

点C关于x轴对称的点的坐标为（2，2），连接，如图，

∵

∴

故选：C

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质，两点之间线段最短以及勾股定理等知识，明确“两点之间线段最短”是解答本题的关键．

4、C

【解析】

【分析】

根据开口方向，对称轴，以及与轴负半轴的交点位置判断的符号即可判断①，根据二次函数图象的对称性可知时的函数值与的函数值相等，进而可得，即可判断②，根据对称轴为以及顶点坐标公式即可判断③，根据二次函数图象与轴有两个交点，则，即可判断④，根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，进而根据抛物线的开口方向以及，即可判断，根据顶点位置的函数值最小，进而即可判断⑤

【详解】

解：∵抛物线的开口朝上，则，对称轴，可得，根据抛物线与轴交于负半轴，则

∴

故①正确；

∵二次函数的图象经过点，

则当时，

对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，

时，

即

故②不正确

对称轴为直线，

∴，即

故③正确；

∵二次函数图象与轴有两个交点，则

即

故④错误；

对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，

，是抛物线上两点，且，抛物线开口向上，

故⑤正确

故正确的是①③⑤

故选C

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质以及与各系数之间的关系，二次函数与一元一次不等式，根据图象判断方程的根的情况，二次函数的对称性，掌握二次根式图象的性质是解题的关键．

5、C

【解析】

【分析】

把函数解析式整理成顶点式形式，再根据向左平移横坐标减表示出平移后的抛物线解析式，再把原点的坐标代入计算即可得解．

【详解】

解：，

向左平移个单位后的函数解析式为，

函数图象经过坐标原点，

，

解得．

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化求解更加简便，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

6、D

【解析】

【分析】

先求出对称轴x＝，再由已知可得 b≥1，即可求b的范围．

【详解】

解：∵，

∴对称轴为直线x＝b，开口向下，

在对称轴右侧，y随x的增大而减小，

∵当x＞1时，y随x的增大而减小，

∴1不在对称轴左侧，

∴b≤1，

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，充分理解对称轴与函数增减性之间的关系是解题的关键．

7、D

【解析】

【分析】

根据二次函数图象性质解题．

【详解】

解：A.由图可知，二次函数图象的对称轴为：x=1，即，故A不符合题意；

B.二次函数图象与y轴交于负半轴，即c<0，故B不符合题意；

C.由图象可知，当x=1时，y=，故C不符合题意，

D.由图象的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），当x=-2时，，，故D符合题意，

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

8、B

【解析】

【分析】

根据二次函数的图象与性质逐项分析即可．

【详解】

A、当a=1，x=-1时，，故函数图象经过点(－1，2)，不经过点(－1，1)，故命题错误；

B、a＝－2时，函数为，令y=0，即，由于，所以方程有两个不相等的实数根，从而函数图象与x轴有两个不同的交点，故命题正确；

C、当a<0时， ，其顶点坐标为，当a=−1时，顶点坐标为(1，0 )，在x轴上，故命题错误；

D、由于，抛物线的对称轴为直线x=1，当a＞0且x≥1时，y随x增大而增大，故命题错误．

故选：B

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．

9、C

【解析】

【分析】

抛物线的对称轴为：，根据公式直接计算即可得．

【详解】

解：，

其中：，，，

，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴的公式是解本题的关键，注意对称轴是直线．

10、B

【解析】

【分析】

以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，由此可得A（-10，-4），B（10，-4），即可求函数解析式，再将y=-1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．

【详解】

以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，

设抛物线的解析式为y=ax2，

∵O点到水面AB的距离为4米，

∴A、B点的纵坐标为-4，

∵水面AB宽为20米，

∴A（-10，-4），B（10，-4），

将A代入y=ax2，

-4=100a，

∴，

∴，

∵水位上升3米就达到警戒水位CD，

∴C点的纵坐标为-1，

∴

∴x=±5，

∴CD=10，

故选：B．

【点睛】

本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次函数的解析式是解题的关键．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

首先根据开口向下得到二次项系数小于0，然后根据与轴的交点坐标的纵坐标为3得到值即可得到函数的解析式．

【详解】

解：开口向下，

中，

与轴的交点纵坐标为3，

，

抛物线的解析式可以为：（答案不唯一）．

故答案为：（答案不唯一）．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数中各项系数的作用．

2、##

【解析】

【分析】

分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式，在Rt△PAC中，利用PA的坡度为1：2求出AC的长度，把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，求出CE，最后利用AE=CE-AC得出结果．

【详解】

解：以P为原点，PC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，

可知：顶点B（9，12），抛物线经过原点，

设抛物线的解析式为y=a（x-9）2+12，

将点P（0，0）的坐标代入可得：0=a（0-9）2+12，求得a＝−，

故抛物线的解析式为：y=-(x−9)²+12，

∵PC=12，=1：2，

∴点C的坐标为（12，0），AC＝6，

即可得点A的坐标为(12，6)，

当x=12时，y＝−(12−9)²+12＝=CE，

∵E在A的正上方，

∴AE=CE-AC=-6=，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．

3、

【解析】

【分析】

利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．

【详解】

解：作QM⊥y轴于点M，Q′N⊥y轴于N，

∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°，

∴∠QPM＋∠NPQ′＝∠PQ′N＋∠NPQ′，

∴∠QPM＝∠PQ′N，

在△PQM和△Q′PN中，

，

∴△PQM≌△Q′PN（AAS），

∴PN＝QM，Q′N＝PM，

设Q（m，m＋3），

∴PM＝|m＋2|，QM＝|m|，

∴ON＝|1-m|，

∴Q′（m＋2，1−m），

∴OQ′2＝（m＋2）2＋（1−m）2＝m2＋5，

当m＝0时，OQ′2有最小值为5，

∴OQ′的最小值为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换−旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．

4、0

【解析】

【分析】

令，得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求解即可．

【详解】

令，则

二次函数的图像与x轴无公共点．

故答案为：0

【点睛】

本题考查了二次函数与轴的交点问题，转化为一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．

5、

【解析】

【分析】

将题目所给两个x代入函数即可得出两个y，再比较大小．

【详解】

=2时：

时：

∴

故答案为：<

【点睛】

本题考查函数性质，掌握比较方法是关键．

三、解答题

1、 (1)；

(2)P(，﹣2)；

(3)面积的最大值为8，此时点P(﹣2，﹣5)．

【解析】

【分析】

（1）由题意及抛物线解析式可得：，而，得出，，即可确定点A、B、C的坐标，利用交点式代入即可确定解析式；

（2）根据（1）中解析式可得抛物线的对称轴为，当时，点P、C的纵坐标相同，横坐标之和除以2为对称抽，即可求解；

（3）过点P作轴交AC于点H，设直线AC的解析式为：，将点、代入确定直线解析式，结合图象可得，与底为同底，高的和为OA长度，代入三角形面积得出，据此即可得出面积的最大值及此时点P的坐标．

(1)

解：抛物线，则，

∴，

∵，

∴，，

∴点A、B、C的坐标分别为、、，

∴，

将代入可得，

解得：，

∴，

故抛物线的表达式为：；

(2)

解：，

其中：，，，

∴抛物线的对称轴为，

∵，

∴点P、C的纵坐标相同，

∴根据函数的对称性得点；

(3)

解：过点P作轴交AC于点H，

设直线AC的解析式为：，

将点、代入可得：

，

解得：，

直线AC的解析式为：，

∴，

∴，

，

，

，

∵，

∴当时，，此时面积最大，

当时，

，

∴，

答：的面积最大为8，此时点．

【点睛】

题目主要考查利用待定系数法确定一次函数与二次函数解析式，二次函数图象的基本性质等，理解题意，结合图象作出相应辅助线，综合运用二次函数基本性质是解题关键．

2、 (1)

(2)当时，有最大值，此时点的坐标为

(3)在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或．

【解析】

【分析】

（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；

（2）过点作轴的垂线交于，过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，根据的解析式表示出点的坐标，再根据就可以表示出的面积，运用顶点式就可以求出结论；

（3）分三种情况进行讨论：①以为直角顶点；②以为直角顶点；③以为直角顶点；设点的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出的值即可．

(1)

解：抛物线经过点，，，

，解得．

抛物线的解析式为：；

(2)

如图，过点作轴的垂线交于，过点作轴的垂线，交于点．

设直线的解析式为，由题意，得

，解得，

直线的解析式为：．

设点坐标为，则点的坐标为，

．

，

，

当时，有最大值，此时点的坐标为；

(3)

解：在轴上是存在点，能够使得是直角三角形．理由如下：

，

顶点的坐标为，

，

．

设点的坐标为，分三种情况进行讨论：

①当为直角顶点时，如图3①，

由勾股定理，得，

即，

解得，

所以点的坐标为；

②当为直角顶点时，如图3②，

由勾股定理，得，

即，

解得，

所以点的坐标为；

③当为直角顶点时，如图3③，

由勾股定理，得，

即，

解得或，

所以点的坐标为或；

综上可知，在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或．

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，解题的关键是运用数形结合、分类讨论及方程思想进行求解．

3、 (1)24元；

(2)当m=35时，w最大=7260元．

【解析】

【分析】

（1）设去年这种水果的批发价为x元/千克，今年的销量-去年的销量=1000列方程解方程即可；

（2）设每千克的平均销售价为m元，根据总利润=每千克利润×销量列函数关系式w=(m-24)(300+)配方为顶点式，利用函数性质求即即可．

(1)

解：设去年这种水果的批发价为x元/千克，

根据题意得：，

整理得：3000-2400=24x，

解得x=25，

经检验符合题意，

元；

(2)

解：设每千克的平均销售价为m元，

w=(m-24)(300+)，

=，

=，

∵a=-60＜0，

抛物线开口向下，函数有最大值，

当m=35时，w最大=7260元．

【点睛】

本题考查列分式方程解应用题，列二次函数解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，列二次函数解应用题方法是解题关键．

4、 (1)y= -5x+1000

(2)当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是12500元；

(3)140元

【解析】

【分析】

（1）根据总件数=基础件数+增加件数=200+5（160-x），列出关系式即可；

（2）根据总利润=单件利润×销售件数，构造二次函数，配方法求最值即可；

（3）先根据题意，构造出符合题意的不等式，把不等式转化为一元二次方程，求得两个根，根据抛物线的性质，确定不等式的解集，结合题意，确定价格即可．

(1)

∵售价为每件160元时，每月可销售200件，销售单价每降低1元，则每月可多销售5件，

∴y=200+5（160-x）=-5x+1000．

(2)

根据题意，得w=（x-100）（-5x+1000）

= ，

∵抛物线开口向下，

∴当x=150时，w有最大值，且为12500，

此时应降价160-150=10元，

故当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是12500元．

(3)

根据题意，得-500≥11500，

当-500=11500时，

解得，，

∵抛物线w= 开口向下，

∴-500≥11500的解集为140≤x≤160，

∴让消费者得到最大的实惠，该如何确定该电子玩具的价格x=140元．

【点睛】

本题考查了销售数量与价格的关系，二次函数解决利润问题，二次函数图像与不等式解集的关系，一元二次方程的解法，熟练掌握二次函数的构造方法和性质是解题的关键．

5、 (1)

(2)点的坐标为

(3)

【解析】

【分析】

（1）先求出的两根，可得点的坐标为，点的坐标为．从而得到的坐标为．再由．可得的坐标为．然后设抛物线对应的二次函数的解析式为．把点代入，即可求解；

（2）根据题意可设点的坐标为，则有．再由点在抛物线上，可得．从而得到，即可求解；

（3）由（2）知：，而，可得到，然后过点A作．根据三角形的面积，可得．再由，可得，即可求解．

(1)

解：如图，过点作轴于，则为的中点．

解方程得：或．

而，则点的坐标为，点的坐标为．

∴的坐标为．

又因为，

∴．

∴的坐标为．

设抛物线对应的二次函数的解析式为．

∵抛物线过点，则，解得：．

故抛物线对应的二次函数的解析式为．

(2)

∵，

∴．

又∵，

设点的坐标为，则有．

∵点在抛物线上，

∴．

化简得：．

解得：，（舍去）．

故点的坐标为．

(3)

由（2）知：，而，

∴．

过点A作．

∵，

∴．

∵，

∴．

即此时的最大值为．

【点睛】

本题主要考查了二次函数与三角形的综合题，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质等腰三角形的性质是解题的关键．