冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步训练题

九年级数学下册第三十章二次函数章节测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、二次函数y＝ax2﹣4ax＋c（a＞0）的图象过A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）四个点，下列说法一定正确的是（       ）

A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0

C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0

2、将关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线经过三点、、，则、、的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

3、已知点，，都在函数的图象上，则（       ）

A． B． C． D．

4、二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x＞0时，函数值y的取值范围是（　　）

A． B．y≤2 C．y＜2 D．y≤3

5、二次函数y＝a+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0，④4a-2b+c＞0；其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

6、函数向左平移个单位后其图象恰好经过坐标原点，则的值为（       ）

A． B． C．3 D．或3

7、已知二次函数的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8、若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（     ）

A． B． C． D．

9、若点A（－1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝2x2＋x－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（       ）

A．y1＜y2＞＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1

10、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为(﹣1，0)．则下面的四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；④3a+c＝0．其中正确的有（       ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、二次函数的图象的顶点坐标为______．

2、点P(m，n)在对称轴为x=1的函数的图像上，则m－n的最大值为____．

3、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，请写出一个使的的整数值 __．

4、将抛物线向右平移4个单位，所得到的抛物线的函数解析式是________．

5、据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为，那么关于的函数解析式为_________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、（1）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0；

（2）用配方法求抛物线y＝x2+4x﹣5的开口方向、对称轴和顶点坐标．

2、已知二次函数的图像经过点，，．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，则以，，，为顶点的四边形的面积为__________；

(3)将二次函数的图像向左平移个单位后恰好经过坐标原点，则的值为__________．

3、已知抛物线与x轴有交点，求m的取值范围．

4、如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m．

(1)建立适当平面直角坐标系，确定抛物线解析式；

(2)求水流的落地点D到水枪底部B的距离．

5、某政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可看作一次函数：，已知当销售单价定为25元时，李明每月获得利润为1250元．

(1)求的值；

(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利润是多少？

（注：利润=（销售单价-进价）×销售量）

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

根据函数表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而得到y3＜y2＜y4＜y1，再结合题目一一判断即可．

【详解】

解：由函数表达式可知：函数图像开口向上，对称轴为直线x==2，

∵-2＜0＜2＜3＜5，

∴y3＜y2＜y4＜y1，

若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，选项A不符合题意，

若y1y4＞0，则y2y3＞0或y2y3＜0，选项B不符合题意，

若y2y4＜0，则y1y3＜0，选项C符合题意，

若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，选项D不符合题意，

故选：C．

【点睛】

本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．

2、C

【解析】

【分析】

根据题意求得平移后的二次函数的对称轴以及开口方向，根据三个点与对称轴的距离大小判断函数值的大小即可

【详解】

解：∵关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线解析式为，

∴新抛物线的对称轴为，开口方向向上，则当抛物线上的点距离对称轴越远，其纵坐标越大，即函数值越大，

平移后的抛物线经过三点、、，

故选C

【点睛】

本题考查了二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的对称轴直线x=，图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线的开口向上，x＜时，y随x的增大而减小；x＞时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点，掌握二次函数的性质是解题的关键．

3、C

【解析】

【分析】

把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可．

【详解】

解：点，，都在函数的图象上，

，，，

，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．

4、A

【解析】

【分析】

根据待定系数求解析式，进而求得顶点坐标，即的最大值，进而即可求得答案

【详解】

解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为，与轴的交点为，与轴的一个交点为，

∴另一交点为

设抛物线解析式为，将点代入得

解得

抛物线解析式为

则顶点坐标为

当x＞0时，函数值y的取值范围是

故选A

【点睛】

本题考查了待定系数法求抛物线解析式，化为顶点式是解题的关键．

5、B

【解析】

【分析】

看抛物线与x轴交点个数，判定判别式的符号；根据抛物线开口方向，对称轴与x轴的交点位置，与y轴的交点位置，确定a，b，c的符号；根据对称轴，确定a，b之间的关系；当x= -2时，利用图像，观察直线x=-2与抛物线的交点位置，判定函数值的正负即可．

【详解】

∵抛物线与x轴有两个不同的交点，

∴﹣4ac＞0；

故①正确；

∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，＞0，

∴a＜0，b＞0， c＞0，

∴abc＜0；

故②正确；

∵，

∴4a+b＝0，

故③正确；

x= -2时，y=4a-2b+c，

根据函数的增减性，得4a-2b+c＜0；

故④错误.

故选B．

【点睛】

本题考查了抛物线的图像与各项系数的关系，抛物线与x轴的交点，对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．

6、C

【解析】

【分析】

把函数解析式整理成顶点式形式，再根据向左平移横坐标减表示出平移后的抛物线解析式，再把原点的坐标代入计算即可得解．

【详解】

解：，

向左平移个单位后的函数解析式为，

函数图象经过坐标原点，

，

解得．

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化求解更加简便，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

7、B

【解析】

【分析】

根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．

【详解】

解：抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2-4ac>0，故①是错误的；

由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c>0，因此③是错误的；

由开口方向可得，a>0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，因此b<0，与y轴交点在负半轴，因此c<0，所有abc>0，因此②正确的；

由关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根，就是当y=m时，对应抛物线上有两个不同的点，即（x1，m），（x2，m），由图象可知此时m>-2

因此④正确的，

综上所述，正确的有2个，

故选：B．

【点睛】

考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．

8、C

【解析】

【分析】

根据两根之和公式可以求出对称轴公式．

【详解】

解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，

∴x1＋x2＝− ＝2．

∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1．

故选：C．

【点睛】

本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．

9、B

【解析】

【分析】

由题意可知函数图象的对称轴、增减性；根据对称将A转化到对称轴的右侧，得到的坐标表示，然后比较三点横坐标的大小，进而判断三点纵坐标的大小即可．

【详解】

解：由知该函数图象开口向上，对称轴是直线，在对称轴的右侧，y随x的增加而增大

∴点A对称的点的坐标为

∵

∴

故选B．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于掌握该函数图象与性质．

10、B

【解析】

【分析】

①根据函数图象及函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，即可求解；②抛物线和x轴有两个交点，即可求解；③点B坐标为（﹣1，0），点A（3，0），即可求解；④对称轴为x＝1，则b＝﹣2a，点B（﹣1，0），故a﹣b+c＝0，即可求解．

【详解】

解：①∵函数图象开口向下

∴

又函数的对称轴在y轴右侧，

∴

∴

∵抛物线与y轴正半轴相交，

∴c＞0，

∴abc＜0，故原答案错误，不符合题意；

②∵抛物线和x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0正确，符合题意；

③∵点B坐标为（﹣1，0），且对称轴为x＝1，

∴点A（3，0），

∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故正确，符合题意；

④∵函数的对称轴为：x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∵点B坐标为（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝0，

而b＝﹣2a，

∴

即3a+c＝0，正确，符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点等．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

根据的意义直接解答即可．

【详解】

解：二次函数的图象的顶点坐标是．

故答案为．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：（a≠0）的顶点坐标为（0，c）．

2、##0.25

【解析】

【分析】

根据题意，可以得到a的值，m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m−n的最大值，本题得以解决．

【详解】

解：∵二次函数y＝x2＋ax＋2的对称轴为x=1，

∴，解得a=-2，

∴二次函数解析式为y＝x2-2x＋2，

∵点P（m，n）在二次函数y＝x2-2x＋2的图象上，

∴n＝m2-2m＋2，

∴m−n＝m−（m2-2m＋2）＝-m2+3m-2＝−（m−）2+，

∴当m＝时，m−n取得最大值，此时m−n＝，

故答案为：．

【点睛】

本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

3、2（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据函数图象可以直接得到答案．

【详解】

解：如图，

在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，

则当的的取值范围是：，

的值可以是2．

故答案为：2（答案不唯一）．

【点睛】

此题考查了抛物线与x轴的交点坐标，需要学生熟悉二次函数图象的性质并要求学生具备一定的读图能力．

4、y=（x-4）2

【解析】

【分析】

先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．

【详解】

解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），

向右平移4个单位后的图象的顶点坐标为（4，0），

所以，所得图象的解析式为y=（x-4）2，

故答案为：y=（x-4）2．

【点睛】

本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．

5、

【解析】

【分析】

根据题意可得2020年的蔬菜产量为，2021年的蔬菜产量为，2021年的蔬菜产量为y万吨，由此即可得．

【详解】

解：根据题意可得：2020年的蔬菜产量为，

2021年的蔬菜产量为，

∴，

故答案为： ．

【点睛】

题目主要考查二次函数的应用，理解题意，熟练掌握增长率问题是解题关键．

三、解答题

1、（1） ；（2）抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为

【解析】

【分析】

（1）利用公式法，即可求解；

（2）先将抛物线解析式化为顶点式，即可求解．

【详解】

解：（1）

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

（2）

∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程，二次函数的图象和性质，熟练掌握一元二次方程的解法，二次函数的图象和性质是解题的关键．

2、 (1)

(2)18

(3)1或5

【解析】

【分析】

（1）把点，，代入二次函数解析式：y=ax2+bx+c，求出即可；

（2）分别求出A、B、C、P四点的坐标．利用S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC进行计算；

（3）观察抛物线的图像可直接得到结果．

(1)

解：（1）设二次函数的表达式为（，，为常数，），

由题意知，该函数图象经过点，，，得

，

解得，

∴二次函数的表达式为.

(2)

解：∵

当y=0时，

解得：x1=1，x2=5

∴点A坐标为(1，0)、点B坐标为(5，0)；

当x=0时，y=-5，

∴点C坐标为(0，-5)；

把化为y=-(x-3)2+4

∴点P坐标为(3，4)；

由题意可画图如下：

 ∴S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC

=

＝18，

故答案是：18；

(3)

由图像知：将抛物线向左平移1个单位长度或5个单位长度，抛物线经过原点．

故：m=1或．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：二次函数的解析式可设为一般式、顶点式或交点式．也考查了二次函数的性质．解题的关键是掌握数形结合能力．

3、

【解析】

【分析】

根据抛物线与轴有交点转化为当时，方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于或等于0，解不等式求解即可．

【详解】

∵抛物线与x轴有交点，

∴方程有两个实数根．

解得.

【点睛】

本题考查了抛物线与轴交点问题，转化为一元二次方程根的判别式是解题的关键．一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

4、 (1)图解析，y＝﹣1.6（x﹣1）2+3.6

(2)水流的落地点D到水枪底部B的距离为2.5m．

【解析】

【分析】

（1）依题意，建立直角坐标系（见详解1），依据二次函数的顶点式进行求解即可；

（2）结合（1）中的解析式，将距离问题转变为二次函数与横坐标轴的交点问题，求解；

(1)

由题知，如图，以BD所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立直角坐标系，

由题意知，抛物线的顶点为、点；

设抛物线的解析式为，

将点代入，得：，

则抛物线的解析式为，

(2)

结合（1），可知水流的落地点D到水枪底部B的距离转换为，与横坐标的交点问题；

∴ 当y＝0时，有，

解得：或（舍），

∴，

答：水流的落地点D到水枪底部B的距离为2.5m．

【点睛】

本题主要考查二次函数解析式的求解及其实际应用，关键在熟练应用解析结合实际问题；

5、 (1)的值是500；

(2)当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元

【解析】

【分析】

（1）根据利润=（销售单价-进价）×销售量列方程求解即可；

（2）根据利润=（销售单价-进价）×销售量得到w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．

(1)

解：由题意可得，，

解得：，

答：的值是500；

(2)

解：设利润为w元，

由题意：，

，

∵-10<0，

∴时，取得最大值，此时，

答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元．

【点睛】

本题考查一元一次方程的应用、二次函数的实际应用，理解题意，根据等量关系正确得到一元一次方程和函数关系式是解答的关键．