冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试课时练习

这是一份冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试课时练习，共40页。试卷主要包含了二次函数y＝ax2﹣4ax＋c等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数难点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（ ）
A．-2 B．-1 C．4 D．7
2、小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ）

A．14 B．11 C．6 D．3
3、如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），且与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），此时抛物线与y轴交于点A′，则AA′的长度为（　　）

A．2 B．3 C．3 D．D3
4、二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．，， B．，， C．，， D．，，
5、若二次函数与轴的一个交点为，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
6、如图，在矩形ABCD中，，，动点P沿折线运动到点B，同时动点Q沿折线运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）

A． B．
C． D．
7、二次函数y＝ax2﹣4ax＋c（a＞0）的图象过A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
8、将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
9、二次函数y＝ax2+bx+c的图像全部在x轴的上方，下列判断中正确的是（ ）
A．a＜0，c＜0 B．a＜0，c＞0 C．a＞0，c＜0 D．a＞0，c＞0
10、某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，第3年的销售量为台，则关于的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、请写出一个开口向下且过点（0，﹣4）的抛物线表达式为 _________________．
2、已知某函数的图象经过，两点，下面有四个推断：
①若此函数的图象为直线，则此函数的图象与直线平行；
②若此函数的图象为双曲线，则也在此函数的图象上；
③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y轴的负半轴相交；
④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线左侧．
所有合理推断的序号是______．
3、抛物线y＝（x﹣1）2＋3的顶点坐标为___．
4、已知抛物线，将此二次函数解析式用配方法化成的形式得__________，此抛物线经过两点A（-2，y1）和，则与的大小关系是_____________．
5、如图，院子里有块直角三角形空地ABC，∠C＝90°．直角边AC＝3m、BC＝4m，现准备修一个如图所示的矩形DEFG的养鱼池，当矩形DEFG面积最大时，EF的长为 _____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，抛物线经过点，，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为，求的最大值并求出此时点的坐标；
(3)设抛物线的顶点为，在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为的中点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
(3)是抛物线的对称轴上一点，是抛物线上一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
3、在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，（点在点的左侧），点是抛物线上一点．
(1)若，时，用含的式子表示；
(2)若，，，的外接圆为，求点的坐标和弧的长；
(3)在（1）的条件下，若有最小值，求此时的抛物线解折式
4、已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）．

(1)当为直角三角形时，求的面积
(2)如图，当时，过点P作轴于点Q，求BQ的长．
(3)当以点A，B，P为顶点的三角形和相似时（不包括两个三角形全等），求m的值．
5、某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图，其中AB段为反比例函数图像的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为w（万元）．

(1)请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
①求出当4≤x≤8时的函数关系式；
②求出当8＜x≤28时的函数关系式．
(2)求出这种电子产品的年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；
(3)求出年利润的最大值．

-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解
【详解】
解：∵二次函数，当时，x的取值范围是，
∴，二次函数开口向下
解得，对称轴为
当时，，
经过原点，

根据函数图象可知，当，，
根据对称性可得时，
二次函数图象经过点，
或
不可能是4
故选C
【点睛】
本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键．
2、B
【解析】
【分析】
首先由y=2x2-4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2-4x+8，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．
【详解】
解：，
抛物线顶点的坐标为，
，
点的横坐标为，
把代入，得到，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．
3、B
【解析】
【分析】
先运用待定系数法求出原抛物线的解析式，再根据平移不改变二次项系数，得出平移后的抛物线解析式，求出A′的坐标，进而得出AA′的长度．
【详解】
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），
∴y＝a（x+2）2+2，
∵与y轴交于点A（0，3），
∴3＝a（0+2）2+2，解得a＝
∴原抛物线的解析式为：y＝（x+2）2+2，
∵平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），
∴平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2﹣1，
∴当x＝0时，y＝，
∴A′的坐标为（0，），
∴AA′的长度为：3﹣（）＝3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平移、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．
4、D
【解析】
【分析】
首先根据二次函数图象的开口方向确定，再根据对称轴在轴右，可确定与异号，然后再根据二次函数与轴的交点可以确定．
【详解】
解：抛物线开口向上，
，
对称轴在轴右侧，
与异号，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
故选：．
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数，
①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．
当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．
②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．
当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）
③．常数项决定抛物线与轴交点． 抛物线与轴交于．
5、D
【解析】
【分析】
把代入即可求出，则，进而可求出代数式的值．
【详解】
解：二次函数与轴的一个交点为，
时，，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是把代入求出的值．
6、D
【解析】
【分析】
分别求出点P在AD，BD上，利用三角形面积公式构建关系式，可得结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，∠A=∠C=90°，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠CDB=30°，
∴BD=2AD=8，
当点P在AD上时，PE⊥BQ

S△PBQ =·BQ·PE
=•（8-2t）•（4-t）•sin60°
=（4-t）2（0＜t＜4），
当点P在线段BD上时，QE’⊥BP

S△PBQ=·BP·QE’
=[12-2(t-4)]•（t-）sin60°
=-t2+t-16（4＜t≤8），
观察图象可知，选项D满足条件，
故选：D．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．
7、C
【解析】
【分析】
根据函数表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而得到y3＜y2＜y4＜y1，再结合题目一一判断即可．
【详解】
解：由函数表达式可知：函数图像开口向上，对称轴为直线x==2，
∵-2＜0＜2＜3＜5，
∴y3＜y2＜y4＜y1，
若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，选项A不符合题意，
若y1y4＞0，则y2y3＞0或y2y3＜0，选项B不符合题意，
若y2y4＜0，则y1y3＜0，选项C符合题意，
若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，选项D不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
8、B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【详解】
解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，得：y＝（x﹣3）2；
再向上平移5个单位长度，得：y＝（x﹣3）2+5，
故选：B．
【点睛】
本题考察了二次函数抛物线的平移问题，解题的关键是根据左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
9、D
【解析】
【分析】
由抛物线全部在轴的上方，即可得出抛物线与轴无交点且，进而即可得出、，此题得解．
【详解】
解：二次函数的图象全部在轴的上方，
，，
，
，
．
，．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的性质．
10、B
【解析】
【分析】
根据增长率问题的计算公式解答．
【详解】
解：第2年的销售量为，
第3年的销售量为，
故选：B．
【点睛】
此题考查了增长率问题的计算公式，a是前量，b是后量，x是增长率，熟记公式中各字母的意义是解题的关键．
二、填空题
1、y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，﹣4）得出即可．
【详解】
解：∵抛物线开口向下且过点（0，﹣4），
∴可以设顶点坐标为（0，﹣4），
故解析式为：y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一．
2、①②④
【解析】
【分析】
分别根据过A、B两点的函数是一次函数、二次函数时，相应的函数的性质进行判断即可．
【详解】
解：①过，两点的直线的关系式为y=kx+b，则
，
解得，
所以直线的关系式为y=x-1，
直线y=x-1与直线y=x平行，
因此①正确；
②过，两点的双曲线的关系式为，则，
所以双曲线的关系式为
当时，
∴也在此函数的图象上，
故②正确；
③若过，两点的抛物线的关系式为y=ax2+bx+c，
当它经过原点时，则有
解得，
对称轴x=-，
∴当对称轴0＜x=-＜时，抛物线与y轴的交点在正半轴，
当-＞时，抛物线与y轴的交点在负半轴，
因此③说法不正确；
④当抛物线开口向上时，有a＞0，而a+b=1，即b=-a+1，
所以对称轴x=-=-=-，
因此函数图象对称轴在直线x＝左侧，
故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查一次函数、二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的关系式，理解各种函数的图象和性质是正确判断的前提．
3、（1，3）
【解析】
【分析】
根据顶点式判断顶点即可．
【详解】
解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣1）2＋3
∴顶点坐标是（1，3）．
故答案为：（1，3）
【点睛】
本题考查了二次函数解析式---顶点式，明确的顶点坐标为（h，k）是解答本题的关键．
4、
【解析】
【分析】
（1）利用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式；（2）将与分别代入二次函数解析式中，计算出与的值，并比较大小．
【详解】
（1）解：，
故答案为：．
（2）当 时，
当时，
∴ 与的大小关系是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，以及二次函数的增减性，熟练掌握配方法是解决本题的关键．
5、##
【解析】
【分析】
过点作，交于点，等面积法求得，设，进而根据得出比例式，根据矩形的面积为，得到关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求得面积最大时的的值，进而求得的长．
【详解】
解：如图，过点作，交于点，

∠C＝90°．直角边AC＝3m、BC＝4m，


设，则
四边形是矩形
，




整理得
设矩形的面积为，则
当取得最大值时，，此时
故答案为：
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)
(2)当时，有最大值，此时点的坐标为
(3)在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或．
【解析】
【分析】
（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；
（2）过点作轴的垂线交于，过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，根据的解析式表示出点的坐标，再根据就可以表示出的面积，运用顶点式就可以求出结论；
（3）分三种情况进行讨论：①以为直角顶点；②以为直角顶点；③以为直角顶点；设点的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出的值即可．
(1)
解：抛物线经过点，，，
，解得．
抛物线的解析式为：；
(2)
如图，过点作轴的垂线交于，过点作轴的垂线，交于点．

设直线的解析式为，由题意，得
，解得，
直线的解析式为：．
设点坐标为，则点的坐标为，
．
，
，
当时，有最大值，此时点的坐标为；
(3)
解：在轴上是存在点，能够使得是直角三角形．理由如下：
，
顶点的坐标为，
，
．
设点的坐标为，分三种情况进行讨论：
①当为直角顶点时，如图3①，

由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点的坐标为；
②当为直角顶点时，如图3②，

由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点的坐标为；
③当为直角顶点时，如图3③，

由勾股定理，得，
即，
解得或，
所以点的坐标为或；
综上可知，在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，解题的关键是运用数形结合、分类讨论及方程思想进行求解．
2、 (1)
(2)最大值为2
(3)，，
【解析】
【分析】
（1）将点A，B坐标代入得方程组，求解即可；
（2）分别求出点B，C，D的坐标，运用待定系数法求出BC解析式，设，则，，根据三角形面积公式可得二次函数关系式，配方求解即可；
（3）分两种情况：①若AD是平行四边形的对角线，②若AD是平行四边形的边，分别进行讨论即可．
(1)
将，代入
，
解这个方程组得
∴该抛物线的函数表达式为
(2)
在中，当时，，
∴，
∵点D为线段BC的中点，且，
∴，即，
设直线BC的解析式为，
将，代入得，

解得，
∴直线BC的解析式为，
过点作轴交于点，

设，则


，
当时，有最大值为2
(3)
满足条件的点的坐标为：，，
由可得对称轴为：直线，
设，又，
①若AD是平行四边形的对角线，
当MN与AD互相平分时，四边形ANDM是平行四边形，

即MN经过AD的中点（），即（0，-1）
∴
∴n=-1，
∴，
②若AD是平行四边形的边，
Ⅰ．当NM∥AD且NM=AD时，四边形ANMD是平行四边形，

∵A（-2，0），D（2，2），点M的横坐标为1，
∴点N的横坐标为1-4=-3，
∴
∴点N的坐标为；
Ⅱ．当NM∥AD且NM=AD时，四边形AMND是平行四边形，

∵A（-2，0），D（2，2），点M的横坐标为1，
∴点N的横坐标为1+4=5，
∴
∴点N的坐标为；
综上所述，点M的坐标为，，．
【点睛】
本题是二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，平行四边形性质等，熟练掌握待定系数法、二次函数图象和性质及平行四边形性质等相关知识，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键．
3、 (1)
(2)E点坐标为，弧长为
(3)
【解析】
【分析】
（1）将，代入，计算求解即可；
（2）将与代入，得到，然后将解析式因式分解，得到点坐标分别为；如图，在直角坐标系中作，连接；点为中点，坐标为；点为中点，坐标为，，，有，，，，，得的值，进而可求出点坐标；，知，，AE= ，根据求解即可；
（3），知，， 最小时，有，解得值，故可得值，进而可得出抛物线的解析式．
(1)
解：将与代入
得

∴用含的式子表示为．
(2)
解：将与代入
得

∴
∴点坐标分别为
如图，作，连接

∴，
∴点为中点，坐标为即；点为中点，坐标为即
∵
∴
∴
∴
∵，，
∴
∴点坐标为
∵
∴
∴
∴AE=

∴的坐标为，的长为．
(3)
解：由题意知
∵，
∴



∵最小时，有解得
∴
∴．
【点睛】
本题考查了代数式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值，三角形相似的判定与性质，三角形的外接圆，弧长等知识．解题的关键与难点在于对知识的熟练掌握并能灵活运用．
4、 (1)4
(2)2
(3)或m=
【解析】
【分析】
（1）先求出A、B、C三点的坐标，进而表示出AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理求得m，确定C的坐标，最后运用三角形的面积公式解答即可；
（2）先用待定系数法求得BC所在直线直线的解析式，进而求得直线AP的解析式，然后与抛物线的解析式联立即可解答；
（3）先说明∠ABC=45°，然后分三种情况解答即可．
(1)
解：由抛物线开口向上，则m＞0
令x=0，则y=-2，即C点坐标为（0，-2），OC=2
令y=0，则，解得x=-2或x=m，即点A（-2，0），点B（m，0）
∴OA=2,OB=m
∴AB=m+2
由勾股定理可得AC2=(-2-0)2+[0-（-2）]2=8, BC2=(m-0)2+[0-（-2）]2=m2+4
∵当为直角三角形时，仅有∠ACB=90°
∴AB2= AC2+BC2,即(m+2)2=8+m2+4,解得m=2
∴AB=m+2=4
∴的面积为：·AB·OC=×4×2=4．
(2)
解：设BC所在直线的解析式为：y=kx+b
则 ，解得
∴BC所在直线的解析式为y=x-2
设直线AP的解析式为y=x+c
则有：0=×（-2）+c，即c=
∴线AP的解析式为y=x+
联立 解得x=-2（A点横坐标）,x=m+2（P点横坐标）
∴点P的纵坐标为：
∴点P的坐标为（m+2，）
∴OQ=m+2
∴BQ=OQ-OB= m+2-m=2．
(3)
解：∵点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）．
∴设P（x，）
∵在△ABC中，∠BAC=45°
∴当以点A，B，P为顶点的三角形和相似时，有三种情况：
①a.若△ABC∽△BAP
∴
又∵BP=AC
∴△ABC∽△BAP不符合题意；

b. 若△ABP∽△BAC
∴
过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQB=90°
∴∠BPQ=90°-∠PBQ=45°
∴PQ=BQ=m-x
由于PQ=
∴
∴
∴x-m=0或
∴x=m（舍去），x=-m-2
∴BQ=m-（-m-2）=2m+2
∵
∴
∴m2-4m-4=0，解得：m=或m=（舍去）
∴m=；

②当∠PAB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：
a. 若△ABP∽△ABC,则 ,点C与点P重合，不合题意；
b. 若△ABP∽△BAC,则 ,
过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQA=90°
∴∠APQ=90°-∠PAB=45°
∴PQ=AQ=x+2
由于PQ=
∴
∴
∴x+2=0或
∴x=-2（舍去），x=2m
∴AQ= =2m+2
∵
∴
∴m2-4m-4=0，解得：m=（舍去）或m=
∴m=；

③当∠APB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：
a.过点A作PM//BC交抛物线于点M，则∠MAB=∠ABC，
∵∠MAB≠∠PAB，
∴∠PAB≠∠ABC，
∴△PAB与△BAC不相似；

b. 取点C关于x轴的对称点，连接并延长 交抛物线于点N，则∠NBA=∠CBA，
∵∠PBA≠∠NBA，
∴∠PBA≠∠CBA，
∴△PAB与△BAC不相似；

综上，m的值为m=或m=．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，涉及抛物线与坐标轴的交点、勾股定理、三角形面积公式、运用待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
5、 (1)①y＝；②y＝－x+28
(2)w=160-640x(4≤x≤8)-(x-16)2+114(8