数学九年级下册第30章 二次函数综合与测试巩固练习

九年级数学下册第三十章二次函数专题测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（       ）

A．正方体集装箱的体积，棱长xm

B．小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm

C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤

D．高为14m的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xm

2、抛物线的顶点为（       ）

A． B． C． D．

3、抛物线的顶点坐标为（　　）

A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（4，5）

4、抛物线的对称轴是（       ）

A．直线 B．直线 C．直线 D．直线

5、某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，第3年的销售量为台，则关于的函数解析式为（       ）

A． B．

C． D．

6、二次函数y＝a+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0，④4a-2b+c＞0；其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

7、二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

8、已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（       ）

A．-2 B．-1 C．4 D．7

9、下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是（       ）

A． B．

C． D．

10、若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点（﹣1，1），（4，6），（3，1），则（       ）

A．y≤3 B．y≤6 C．y≥-3 D．y≥6

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知二次函数的图象经过点，那么a的值为_____．

2、如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：；；抛物线经过点与点，则；方程的一个解是；，其中所有正确的结论是__________．

3、请写出一个开口向下且过点（0，﹣4）的抛物线表达式为 _________________．

4、二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下：

则一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5的解为 _____．

5、如图边长为n的正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上，A1、A2、A3、...、An﹣1为OA的n等分点，B1、B2、B3、...、Bn﹣1为CB的n等分点，连接A1B1、A2B2、A3B3、...、An﹣1Bn﹣1，分别交于点C1、C2、C3、...、Cn﹣1.当B25C25＝8C25A25时，则n＝_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知二次函数y＝x2－2x－3的图象为抛物线C．

(1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(2)当2≤x≤4时，求该二次函数的函数值y的取值范围；

(3)将抛物线C先向右平移2个单位长度，得到抛物线C1；再将抛物线C1向下平移1个单位长度，得到抛物线C2，请直接写出抛物线C1，C2对应的函数解析式．

2、某商店销售甲、乙两种礼品，每件利润分别为20元、10元，每天卖出件数分别为40件、80件．为适应市场需求，该店决定降低甲种礼品的售价，同时提高乙种礼品的售价．售卖时发现，甲种礼品单价每降1元可多卖4件，乙种礼品单价每提高1元就少卖2件．若每天两种礼品共卖出140件，则每天销售的最大利润是多少？

(1)分析：设甲种礼品每件降低了x元，填写表格（用含x的式子表示，并化简）；

(2)解答：           

3、已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a．

(1)求该二次函数图象的对称轴以及抛物线与x轴的交点坐标；

(2)若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求△OPQ的面积；

(3)若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请直接写出t的最大值．

4、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离路面的距离为．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)一大型货车装载设备后高为，宽为．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？

5、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）．

(1)求c的值，并用含a的代数式表示b；

(2)当a＝时．

①求此函数的解析式，并写出当﹣4≤x≤2时，y的最大值和最小值；

②如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D使△DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

根据题意，列出关系式，即可判断是否是二次函数．

【详解】

A.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；

B.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；

C.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；

D.由题得：，是二次函数，故此选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的定义，形如的形式为二次函数，掌握二次函数的定义是解题的关键．

2、B

【解析】

【分析】

根据抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k可得顶点坐标是（h，k）．

【详解】

解：∵y=2（x-1）2+3，

∴抛物线的顶点坐标为（1，3），

故选：B．

【点睛】

本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）．

3、A

【解析】

【分析】

根据抛物线的顶点坐标为 ，即可求解．

【详解】

解：抛物线的顶点坐标为．

故选：A

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键．

4、C

【解析】

【分析】

抛物线的对称轴为：，根据公式直接计算即可得．

【详解】

解：，

其中：，，，

，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴的公式是解本题的关键，注意对称轴是直线．

5、B

【解析】

【分析】

根据增长率问题的计算公式解答．

【详解】

解：第2年的销售量为，

第3年的销售量为，

故选：B．

【点睛】

此题考查了增长率问题的计算公式，a是前量，b是后量，x是增长率，熟记公式中各字母的意义是解题的关键．

6、B

【解析】

【分析】

看抛物线与x轴交点个数，判定判别式的符号；根据抛物线开口方向，对称轴与x轴的交点位置，与y轴的交点位置，确定a，b，c的符号；根据对称轴，确定a，b之间的关系；当x= -2时，利用图像，观察直线x=-2与抛物线的交点位置，判定函数值的正负即可．

【详解】

∵抛物线与x轴有两个不同的交点，

∴﹣4ac＞0；

故①正确；

∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，＞0，

∴a＜0，b＞0， c＞0，

∴abc＜0；

故②正确；

∵，

∴4a+b＝0，

故③正确；

x= -2时，y=4a-2b+c，

根据函数的增减性，得4a-2b+c＜0；

故④错误.

故选B．

【点睛】

本题考查了抛物线的图像与各项系数的关系，抛物线与x轴的交点，对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．

7、D

【解析】

【分析】

根据二次函数图象性质解题．

【详解】

解：A.由图可知，二次函数图象的对称轴为：x=1，即，故A不符合题意；

B.二次函数图象与y轴交于负半轴，即c<0，故B不符合题意；

C.由图象可知，当x=1时，y=，故C不符合题意，

D.由图象的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），当x=-2时，，，故D符合题意，

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

8、C

【解析】

【分析】

根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解

【详解】

解：∵二次函数，当时，x的取值范围是，

∴，二次函数开口向下

解得，对称轴为

当时，，

经过原点，

根据函数图象可知，当，，

根据对称性可得时，

二次函数图象经过点，

或

不可能是4

故选C

【点睛】

本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键．

9、C

【解析】

【分析】

根据二次函数的顶点式求得顶点坐标，即可判断．

【详解】

解：A．二次函数的顶点为（1，3），在第一象限，不合题意；

B．二次函数的顶点为（1，﹣3），在第四象限，不合题意；

C．二次函数的顶点为（﹣1，3），在第二象限，符合题意；

D．二次函数的顶点为（﹣1，﹣3），在第三象限，不合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

10、C

【解析】

【分析】

根据图像经过三点求出函数表达式，再根据最值的求法求出结果．

【详解】

解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c经过（﹣1，1），（4，6），（3，1），

∴，

解得：，

∴函数表达式为y＝x2-2x-2，开口向上，

∴函数的最小值为=，即y≥-3，

故选C．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的最值，属于基础题，解题的关键是掌握二次函数最值的求法．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到的值．

【详解】

解：二次函数的图象经过点，

，

解得：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．

2、②⑤

【解析】

【分析】

由图象可知，抛物线开口向上，则，抛物线与轴交于负半轴，则，再由抛物线对称轴为直线，得到，即，即可判断①；根据抛物线的对称性可知抛物线过点，则当时，，由，可得，即可判断②；由抛物线对称轴为直线，且开口向上，则抛物线上的点，离对称轴水平距离越大，函数值越大，即可判断③；由cx2+bx+a=0，方程两边同时除以a得，再由方程的两个根分别为，，得到，，则即为，由此即可判断④；当对应的函数值为，

当对应的函数值为，又时函数取得最小值，则，由此即可判断⑤．

【详解】

解：由图象可知，抛物线开口向上，则，抛物线与轴交于负半轴，则，

∵抛物线对称轴为直线，

∴，即，

，故①错误；

抛物线过点，且对称轴为直线，

抛物线过点，

当时，，

，

∴，故②正确；

抛物线对称轴为直线，且开口向上，

∴抛物线上的点，离对称轴水平距离越大，函数值越大，

∵点（4，）与直线的距离为3，点（-3，）与直线的距离为4，

，故③错误；

∵cx2+bx+a=0

∴方程两边同时除以a得，

∵方程的两个根分别为，，

∴，，

∴即为，

∴

解得或，故④错误；

当对应的函数值为，

当对应的函数值为，

又时函数取得最小值，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，故⑤正确．

故答案为：②⑤．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图像与其系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图像的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．

3、y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，﹣4）得出即可．

【详解】

解：∵抛物线开口向下且过点（0，﹣4），

∴可以设顶点坐标为（0，﹣4），

故解析式为：y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）．

故答案为：y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一．

4、，

【解析】

【分析】

从表中找到三对数值，将三对数值分别代入y=ax2+bx+c组成方程组，求出a、b、c的值，然后再运用因式分解法求解方程即可得到结论．

【详解】

解：将（-3，7），（0，-8），（1，-9）代入y=ax2+bx+c得，

整理得，

②×3+①，得

∴

把代入②得，

∴

又

∴一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5可变形为：

即：

∴

∴，或

解得，，

故答案为：，

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数解析式和一元二次方程的解法，从图表中找到相关的量是解题的关键．

5、75

【解析】

【分析】

根据题意表示出OA25，B25A25的长，由B25C25=8C25A25确定点C25的坐标，代入解析式计算得到答案．

【详解】

解：∵正方形OABC的边长为n，点A1，A2，…，An-1为OA的n等分点，点B1，B2，…，Bn-1为CB的n等分点，

∴OA25= •n=25，A25B25=n，

∵B25C25=8C25A25，

∴C25（25，），

∵点C25在上，

∴，

解得n=75．

故答案为：75．

【点睛】

本题考查的是二次函数图象上点的特征和正方形的性质，根据正方形的性质表示出点C25的坐标是解题的关键．

三、解答题

1、 (1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为

(2)

(3)，

【解析】

【分析】

（1）将二次函数化为顶点式，由此可得答案；

（2）分别求出时，时的函数值，根据函数的增减性解答；

（3）根据二次函数的平移规律解答．

(1)

解：∵，∴抛物线C的开口向上．

∵，

∴抛物线C的对称轴为直线，顶点坐标为．

(2)

解：当时，y随x的增大而增大；

∵当时，；当时，．

∴函数值y的取值范围是．

(3)

解：抛物线对应的函数解析式为；

抛物线对应的函数解析式为．

【点睛】

此题考查了将二次函数化为顶点式，二次函数的性质，利用函数的增减求出函数值的取值范围，二次函数的平移规律，熟记各知识点是解题的关键．

2、 (1)①，②，③

(2)每天获得的最大利润为元.

【解析】

【分析】

（1）设甲种礼品每件降低了x元，则调价后的销售量为原销量加上增加的销量，可得乙的销量为件，再求解乙调价后的利润即可；

（2）设每天的销售利润为元，再利用总利润等于甲礼品的利润加上乙礼品的利润，可得函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案.

(1)

解：设甲种礼品每件降低了x元，则调价后的销售量为：件，

乙种礼品调价后的销售量为：件，

乙种礼品调价后的利润为：元，

填表如下：

(2)

解：设每天的销售利润为元，则

当时，

（元）

所以每天获得的最大利润为元.

【点睛】

本题考查的是列代数式，二次函数的实际应用，理解题意，列出二次函数的关系式是解本题的关键.

3、 (1)对称轴x＝2；交点坐标为（1，0）和（3，0）

(2)10

(3)4

【解析】

【分析】

（1）解析式化成顶点式即可求得对称轴，令y＝0，得到关于x的方程，解方程即可求得抛物线与x轴的交点坐标；

（2）构建方程求出a的值，再求出△OPQ的面积即可解决问题；

（3）当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，推出当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合且在点Q关于对称轴对称点的右边时，满足条件，可得t+1≤5且t≥﹣1，由此即可解决问题．

(1)

解：∵y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，

∴对称轴x＝2；

令y＝0，则ax2﹣4ax+3a＝0，

解得x＝1或3，

∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）；

(2)

解：∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，

∴当x＝2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2，即P（2，2），

∴4a﹣8a+3a＝2，

∴a＝﹣2，

∴y＝﹣2x2+8x﹣6，

∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，

∴当x＝1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．

∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，

∴当x＝4时，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6．

∴当1≤x≤4时，y的最小值为﹣6，即Q（4，﹣6）．

∴△OPQ的面积为4×（2+6）﹣2×2÷2﹣4×6÷2﹣（4﹣2）×（2+6）÷2＝10；

(3)

解：∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，

∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合且在点Q关于对称轴对称点的右边时，满足条件，

∴t+1≤5且t≥﹣1，

∴﹣1≤t≤4，

∴t的最大值为4．

【点睛】

本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，函数的最值问题等知识，解题的关键是读懂题意、灵活运用所学知识解决问题．

4、 (1)

(2)这辆货车能安全通过，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意得： ， ，抛物线的顶点坐标为点 ，从而得到点 ，设抛物线的函数表达式为 ，把点代入，即可求解；

（2）根据题意得：当 时， ，即可求解．

(1)

解：∴ ，

设抛物线的函数表达式为 ，

∴ ，解得： ，

∴抛物线的函数表达式为；

(2)

解：这辆货车能安全通过，理由如下：

根据题意得：当 时，

，

∴这辆货车能安全通过．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．

5、 (1)c=6；b=2a+4

(2)①最小值为−，最大值为20；②D(−3，−)．

【解析】

【分析】

（1）分别把 A（0，6）和B（-2，-2）代入解析式，可得c和b的值．

（2）①当a＝时，此函数表达式为y＝x2+x+6，图象开口向上，由顶点坐标公式可知顶点坐标，根据二次函数的性质，当在顶点时函数值最小观察图象结合增减性，当x=2时，y有最大值．②令y=0，得C的坐标，设直线AC的解析式为y=kx+m，把A（0，6），C（-6，0）代入可得直线AC解析式，设D(x，x2+x+6)则F（x，x+6），得FD的值，设△FDM的周长为l，则l＝DF+DM+MF＝，当FD最大时，周长最大，根据二次函数的性质可得最大值．

(1)

把（0，6）代入y=ax2+bx+c，

得c=6．

把（-2，-2）代入y=ax2+bx+6，

得4a-2b+6=-2，

∴b=2a+4．

(2)

①当a＝时，

∴，且c=6

∴函数表达式为y＝x2+x+6=，图象开口向上．

∴顶点坐标为，

∵-4≤x≤2，

∴当x＝−时，y的最小值为−．

观察图象结合增减性，当x=2时，y有最大值，

把x=2代入y＝x2+x+6，

y的最大值为20．

②∵y＝x2+x+6，

令y=0，则x=-6或x＝−，

∵点C在左侧，

∴C（-6，0）

设直线AC的解析式为y=kx+m，

把A（0，6），C（-6，0）代入y=kx+m，得

解得k=1，m=6，

∴y=x+6

设D(x，x2+x+6)则F（x，x+6）

∴FD＝x+6−(x2+x+6)＝−x2−x，

∵OA=OC=6，∠AOC=90°，

∴∠COA=90°，

∵DF∥AO，

∴∠DFM=∠CAO=45°，

DM＝FM＝FD，

设△FDM的周长为l，

则l＝DF+DM+MF＝

当FD最大时，周长最大，

又∵，

又∵−＜0且-6＜x＜0，

∴x=-3时，FD有最大值，即此刻△FDM周长最大．

把x=-3代入y＝x2+x+6，

得y＝−，

∴D(−3，−)．

【点睛】

本题考查二次函数的应用，解本题要熟练掌握二次函数的性质，求二次函数的解析式、待定系数法，数形结合是解题关键．