冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步训练题

九年级数学下册第三十章二次函数专题攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、抛物线，，的图象开口最大的是（       ）

A． B． C． D．无法确定

2、如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是．其中正确结论是（       ）

A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤

3、若将抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（　　）

A．y＝2(x﹣2)2﹣1 B．y＝2(x+2)2﹣1 C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2+1

4、将函数的图像向上平移1个单位，向左平移2个单位，则所得函数表达式是（       ）

A． B．

C． D．

5、已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（       ）

A．该函数图象与轴的交点坐标是

B．当时，的值随值的增大而减小

C．当取1和3时，所得到的的值相同

D．将的图象先向左平移两个单位，再向上平移5个单位得到该函数图象

6、如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④一元二次方程的两根分别为；⑤若为方程的两个根，则且．其中正确的结论个数是（       ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

7、如图，在中，，，，是边上一动点，沿的路径移动，过点作，垂足为．设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（       ）

A． B．

C． D．

8、如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C，不正确的结论是（       ）

A． B． C． D．

9、抛物线y=ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示:

给出下列说法：

①抛物线与y轴的交点为(0，6)；

②抛物线的对称轴在y轴的右侧；

③抛物线的开口向下；

④抛物线与x轴有且只有1个公共点．

以上说法正确是（       ）

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④

10、已知二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，则a的取值范围是（       ）

A．a＜4 B．a≤4 C．a＜4且a≠0 D．a≤4且a≠0

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、二次函数的图像的顶点在轴上，则的值为__________．

2、将抛物线y=x2向左平移3个单位所得图象的函数表达式为___．

3、请写出一个开口向下且过点（0，﹣4）的抛物线表达式为 _________________．

4、抛物线与y轴的交点坐标为_________．

5、已知多项式除以的余数分别为，则除以所得余式的最大值为_________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知抛物线与x轴有交点，求m的取值范围．

2、问题呈现：探究二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像公共点．

(1)问题可转化为：二次函数的图像与一次函数______的图像的公共点．

(2)问题解决：在如图平面直角坐标系中画出的图像．

(3)请结合（2）中图像，就m的取值范围讨论两个图像公共点的个数．

(4)问题拓展：若二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像有两个公共点，则m的取值范围为______．

3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于B，C两点（C在B的左侧），与y轴交于点A，已知，．

(1)求抛物线的表达式；

(2)若点Q是线段AC下方抛物线上一点，过点Q作QD垂直AC交AC于点D，求DQ的最大值及此时点Q的坐标；

(3)点E是线段AB上一点，且；将抛物线沿射线AB的方向平移，当抛物线恰好经过点E时，停止运动，已知点M是平移后抛物线对称轴上的动点，N是平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．

4、在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，（点在点的左侧），点是抛物线上一点．

(1)若，时，用含的式子表示；

(2)若，，，的外接圆为，求点的坐标和弧的长；

(3)在（1）的条件下，若有最小值，求此时的抛物线解折式

5、如图，因疫情防控需要，某校在足够大的空地利用旧墙MN和隔离带围成一个矩形隔离区ABCD，墙长为a米，AD≤MN，矩形隔离区的一边靠墙，其它三边一共用隔离带200米．

(1)a＝30，所围成的矩形隔离区的面积为1800平方米，求所利用旧墙AD的长；

(2)若a＝150．求矩形隔离区ABCD面积的最大值．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【解析】

【分析】

先令x=1，求出函数值，然后再比较二次项系数的绝对值的大小即可解答．

【详解】

解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1，）（1，-3），（1，1），

∵||＜|1|＜|-3|，

∴抛物线开口最大．

故选A．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数解析式的二次项系数的绝对值越小，函数图象的开口越大．

2、C

【解析】

【分析】

根据开口方向，对称轴，以及与轴负半轴的交点位置判断的符号即可判断①，根据二次函数图象的对称性可知时的函数值与的函数值相等，进而可得，即可判断②，根据对称轴为以及顶点坐标公式即可判断③，根据二次函数图象与轴有两个交点，则，即可判断④，根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，进而根据抛物线的开口方向以及，即可判断，根据顶点位置的函数值最小，进而即可判断⑤

【详解】

解：∵抛物线的开口朝上，则，对称轴，可得，根据抛物线与轴交于负半轴，则

∴

故①正确；

∵二次函数的图象经过点，

则当时，

对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，

时，

即

故②不正确

对称轴为直线，

∴，即

故③正确；

∵二次函数图象与轴有两个交点，则

即

故④错误；

对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，

，是抛物线上两点，且，抛物线开口向上，

故⑤正确

故正确的是①③⑤

故选C

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质以及与各系数之间的关系，二次函数与一元一次不等式，根据图象判断方程的根的情况，二次函数的对称性，掌握二次根式图象的性质是解题的关键．

3、D

【解析】

【分析】

由题意知平移后的函数关系式为，进行整理即可．

【详解】

解：由题意知平移后的函数关系式为：，

故选D．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于牢记二次函数图象平移时上加下减，左加右减．

4、B

【解析】

【分析】

由二次函数图象平移的规律即可求得平移后的解析式，再选择即可．

【详解】

解：将抛物线先向上平移1个单位，则函数解析式变为

再将向左平移2个单位，则函数解析式变为，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．

5、C

【解析】

【分析】

把，代入，即可判断A，由二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，即可判断B，当取和，代入，即可判断C，根据函数图象的平移规律，即可判断D．

【详解】

∵二次函数的图象与轴的交点坐标是，

∴A选项错误；

∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，

∴当时，的值随值的增大而增大，

∴B选项错误；

∵当取和时，所得到的的值都是11，

∴C选项正确；

∵将的图象先向左平移两个单位，再向上平移个单位得到的图象，

∴D选项错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的性质是解题的关键．

6、C

【解析】

【分析】

根据图像，确定a，b，c的符号，根据对称轴，确定b，a的关系，当x=-1时，得到a-b+c=0，确定a，c的关系，从而化简一元二次方程，求其根即可，利用平移的思想，把y=的图像向上平移1个单位即可，确定方程的根．

【详解】

∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c＜0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右边，

∴b＜0，

∴，

故①正确；

∵二次函数的图像与x轴交于点，

∴a-b+c=0，

根据对称轴的左侧，y随x的增大而减小，

当x=-2时，y＞0即，

故②正确；

∵，

∴b= -2a，

∴3a+c=0，

∴2a+c=2a-3a= -a＜0，

故③正确；

根据题意，得，

∴，

解得，

故④错误；

∵=0，

∴，

∴y=向上平移1个单位，得y=+1，

∴为方程的两个根，且且．

故⑤正确；

故选C．

【点睛】

本题考查了抛物线的图像与系数的符号，抛物线的对称性，抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的增减性，平移，熟练掌握抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键．

7、D

【解析】

【分析】

分两种情况分类讨论：当0≤x≤6.4时，过C点作CH⊥AB于H，利用△ADE∽△ACB得出y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当6.4＜x≤10时，利用△BDE∽△BCA得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．

【详解】

解：∵，，，

∴BC=，

过CA点作CH⊥AB于H，

∴∠ADE=∠ACB=90°，

∵，

∴CH=4.8，

∴AH=，

当0≤x≤6.4时，如图1，

∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，

∴△ADE∽△ACB，

∴，即，解得：x=，

∴y=•x•=x2；

当6.4＜x≤10时，如图2，

∵∠B=∠B，∠BDE=∠ACB=90°，

∴△BDE∽△BCA，

∴，

即，解得：x=，

∴y=•x•=；

故选：D．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．

8、D

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴求出与的关系．

【详解】

解：A、由抛物线的开口向上知，

对称轴位于轴的右侧，

．

抛物线与轴交于负半轴，

，

；

故选项正确，不符合题意；

B、对称轴为直线，得，即，故选项正确，不符合题意；

C、如图，当时，，，故选项正确，不符合题意；

D、当时，，

，即，故选项错误，符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．

9、C

【解析】

【分析】

根据表中数据和抛物线的对称性，可得抛物线的对称轴是直线x=，可得到抛物线的开口向下，再根据抛物线的性质即可进行判断．

【详解】

解：根据图表，抛物线与y轴交于（0，6），故①正确；

∵抛物线经过点（0，6）和（1，6），

∴对称轴为x==>0，即抛物线的对称轴在y轴的右侧，故②正确；

当x<时，y随x的增大而增大，

∴抛物线开口向下，故③正确，

∵抛物线经过点（-2，0），

设抛物线经过点（x，0），

∴x==，

解得：x=3，

∴抛物线经过（3，0），即抛物线与x轴有2个交点（-2，0）和（3，0），

故④错误；

综上，正确的有①②③，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数及其图象性质，解决问题的关键是注意表格数据的特点，结合二次函数性质作判断．

10、D

【解析】

【分析】

由二次函数的定义得a≠0，再由二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点得到Δ≥0，解不等式即可．

【详解】

解：∵二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，

∴Δ＝42﹣4a×1≥0，且a≠0，

解得：a≤4，且a≠0．

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与x轴的交点，关键是Δ＝b2−4ac决定抛物线与x轴交点的个数．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

顶点在x轴上，即纵坐标为0．利用顶点坐标公式即可求出m的值．

【详解】

解：∵抛物线y=2x2-4x+3m的顶点在x轴上，

∴，

∴m=．

故答案为．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-），应熟练掌握．

2、y=(x＋3)2

【解析】

【分析】

根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

【详解】

解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移3个单位所得直线的解析式为：y=（x+3）2．

故答案是：y=（x+3）2．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与几何变换，正确理解平移法则是关键．

3、y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，﹣4）得出即可．

【详解】

解：∵抛物线开口向下且过点（0，﹣4），

∴可以设顶点坐标为（0，﹣4），

故解析式为：y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）．

故答案为：y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一．

4、

【解析】

【分析】

根据二次函数图像的性质，时，通过计算即可得到答案．

【详解】

当时，

∴抛物线与y轴的交点坐标为

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．

5、5

【解析】

【分析】

先根据已知得出，再设，从而可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，然后利用二次函数的性质即可得出答案．

【详解】

解：多项式除以的余数为1，

，

当时，，

同理可得：，

设除以所得商式为，余式为（因为除式是三次的，所以余式至多是二次的），

则，

因此有，

解得，

所以余式为，

由二次函数的性质得：当时，余式取得最大值，最大值为5，

故答案为：5．

【点睛】

本题考查了多项式的除法、二次函数的性质等知识点，正确设出余式的一般形式是解题关键．

三、解答题

1、

【解析】

【分析】

根据抛物线与轴有交点转化为当时，方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于或等于0，解不等式求解即可．

【详解】

∵抛物线与x轴有交点，

∴方程有两个实数根．

解得.

【点睛】

本题考查了抛物线与轴交点问题，转化为一元二次方程根的判别式是解题的关键．一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

2、 (1)

(2)见解析

(3)或或，两个图像公共点的个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个；

(4)

【解析】

【分析】

（1）令，整理得：，可以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点；

（2）先在坐标轴上描出点，再连线即可；

（3）通过数形结合的方式进行分类讨论；

（4）通过数形结合的方式，分当时；当时；注意当时，要使有两个公共点，则满足，求解即可．

(1)

解：令，

整理得：，

可以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点，

故答案为：；

(2)

解：先在坐标轴上描出点，

再连线即可，如下图：

(3)

解：如图：

当时，与有一个交点，

当时，与有两个交点，

当时，与有一个交点，

综上：或或，两个图像公共点的个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个；

(4)

解：如下图：

当时，（其中，m为常数）与有一个交点有一个公共点；

当时，（其中，m为常数）与没有公共点；

要使（其中，m为常数）与有两个公共点，则满足

且，

解得：且，

，

故时，（其中，m为常数）与有两个公共点，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数与一次函数的综合，函数图象的交点问题，解题的关键是利用数形结合、分类讨论、转化的思想进行求解．

3、 (1)

(2)DQ的最大值为，

(3)N点坐标为或或或，见解析

【解析】

【分析】

（1）根据在抛物线上，可得，再由，可得，即可求解；

（2）过点Q作轴交直线AC于点P，令 ，可得，从而得到，进而得到，，再求出直线AC解析式，然后设，则，可得，即可求解；

（3）先求出平移后的抛物线为．然后分四种情况讨论，即可求解．

(1)

解：∵在抛物线上，

∴，

∵

∴，

将代入中得，，

∴抛物线的表达式为：；

(2)

解：过点Q作轴交直线AC于点P，如图：

当 时，，

解得： ，

∴，即OC=4，

∵OA=4，

∴，

∴，

在Rt△PQD中，，

由、得直线AC解析式为：，

设，则，

∵

∴

∴

∴当时，DQ的最大值为，此时．

(3)

解：存在，N点坐标为或或或．

设平移后满足条件的抛物线为；

∵抛物线过点，∴

∴抛物线沿射线AB的方向平移，设抛物线沿直线平移，

∴抛物线与抛物线的的顶点均在直线上；

∴由直线过点得，，解得；

由直线过得，，则，

又∵，∴，

∴，或（因为对称轴在不满足沿射线AB平移，舍去）

∴，，平移后的抛物线为．

∴对称轴为y轴，

即点M在y轴上，

当四边形ABNM为菱形，点N在x轴的上方时，

∵，．

∴；

当四边形ABN1M1为菱形，点N在x轴的下方时，

∵，．

∴；

当四边形AB M2 N2为菱形时，点N2在x轴上，则A M2垂直平分B N2，

∴O N2=OB，

∴点N2；

当四边形A M3B N3为菱形，A M3=B M3，．

设O M3=a，则B M3=A M3=4-a，

∴ ，解得： ，

∴ ，

∴点N3；

综上所述，N点坐标为或或或．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象和性质，与四边形的综合题，抛物线的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，菱形的性质是解题的关键．

4、 (1)

(2)E点坐标为，弧长为

(3)

【解析】

【分析】

（1）将，代入，计算求解即可；

（2）将与代入，得到，然后将解析式因式分解，得到点坐标分别为；如图，在直角坐标系中作，连接；点为中点，坐标为；点为中点，坐标为，，，有，，，，，得的值，进而可求出点坐标；，知，，AE= ，根据求解即可；

（3），知，， 最小时，有，解得值，故可得值，进而可得出抛物线的解析式．

(1)

解：将与代入

得

∴用含的式子表示为．

(2)

解：将与代入

得

∴

∴点坐标分别为

如图，作，连接

∴，

∴点为中点，坐标为即；点为中点，坐标为即

∵

∴

∴

∴

∵，，

∴

∴点坐标为

∵

∴

∴

∴AE=

∴的坐标为，的长为．

(3)

解：由题意知

∵，

∴

∵最小时，有解得

∴

∴．

【点睛】

本题考查了代数式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值，三角形相似的判定与性质，三角形的外接圆，弧长等知识．解题的关键与难点在于对知识的熟练掌握并能灵活运用．

5、 (1)AD=20米；

(2)当x=100时，S最大=5000米2．

【解析】

【分析】

（1）设AD=x，AB=(200-x)÷2=100-，根据长方形面积公式列方程，解方程，根据墙长得出AD=20米；

（2）矩形隔离区ABCD面积用S表示，根据长方形面积公式列出面积函数S=然后配方为S即可．

(1)

解：设AD=x，AB=(200-x)÷2=100-，

∴根据题意得：，

整理得，

解得：，

∵a＝30，

∴AD=20米；

(2)

解：矩形隔离区ABCD面积用S表示，

则S=，

∵a＝150＞100，

∴当x=100时，S最大=5000米2．

【点睛】

本题考查长方形面积，列一元二次方程解图形问题应用题，列二次函数解图形问题的最值问题，掌握长方形面积，列一元二次方程解图形问题应用题，列二次函数解图形问题的最值问题是解题关键．