数学第30章 二次函数综合与测试精练

九年级数学下册第三十章二次函数章节训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、二次函数图像的顶点坐标是（       ）

A．（0，－2） B．（－2，0） C．（2，0） D．（0，2）

2、已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（       ）

A．-2 B．-1 C．4 D．7

3、若将抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（　　）

A．y＝2(x﹣2)2﹣1 B．y＝2(x+2)2﹣1 C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2+1

4、将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　）

A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3

5、若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点（﹣1，1），（4，6），（3，1），则（       ）

A．y≤3 B．y≤6 C．y≥-3 D．y≥6

6、小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ）

A．14 B．11 C．6 D．3

7、抛物线的对称轴是（     ）

A．直线 B．直线 C．直线 D．直线

8、抛物线的顶点坐标为（　　）

A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（4，5）

9、二次函数 的图像如图所示， 现有以下结论： （1） ： （2） ； （3）， （4） ； （5） ； 其中正确的结论有（       ）

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个．

10、二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A．，， B．，， C．，， D．，，

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+4的最高点坐标是_____．

2、如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为_________．

3、已知二次函数的图象如图所示，有下列五个结论：①；②；③；④；⑤（为实数且）．其中正确的结论有______（只填序号）．

4、用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格：

当时，二次函数的函数值______

5、当x≥m时，两个函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2和y2＝﹣（x﹣3）2＋1的函数值都随着x的增大而减小，则m的最小值为_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x﹣4与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C．点B（12，0），联结BC．

(1)求该抛物线解析式；

(2)求∠ACB的正弦值；

(3)如图，点D为抛物线上一点，直线AD交y轴于点E，交线段BC于点F．若△ECA∽△EFC，求点D的坐标．

2、已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a为常数，a≠0）交x轴于点A（－1，0）和点B（5，0），交y轴于点C．

(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；

(2)若点P是抛物线上一点，且PB＝PC，求点P的坐标；

(3)点Q是抛物线的对称轴l上一点，当QA＋QC最小时，求点Q的坐标．

3、如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是线段BC上的动点（点P不与点B，C重合），连结AP并延长AP交抛物线于另一点Q，连结CQ，BQ，设点Q的横坐标为x．

(1)①写出A，B，C的坐标：A（       ），B（       ），C（       ）；

②求证：是直角三角形；

(2)记的面积为S，求S关于x的函数表达式；

(3)在点P的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．

4、如图1，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P是直线上一动点．

(1)求直线的解析式；

(2)若点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，求点P的坐标；

(3)如图2，连接，过点P作PEBC交x轴于点E，连接，将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，求点E的坐标．

5、如图，已知抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)若M是抛物线上点A，C之间（含点A，C）的一个动点，直接写出点M的纵坐标的取值范围．

(3)平移直线，设平移后的直线为l，记l与y轴的交点为，若l与上方的抛物线有唯一交点，求m的取值范围．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

直接利用顶点式写出二次函数的顶点坐标即可得到正确的选项．

【详解】

解：抛物线的顶点坐标为，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的顶点式，难度不大．

2、C

【解析】

【分析】

根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解

【详解】

解：∵二次函数，当时，x的取值范围是，

∴，二次函数开口向下

解得，对称轴为

当时，，

经过原点，

根据函数图象可知，当，，

根据对称性可得时，

二次函数图象经过点，

或

不可能是4

故选C

【点睛】

本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键．

3、D

【解析】

【分析】

由题意知平移后的函数关系式为，进行整理即可．

【详解】

解：由题意知平移后的函数关系式为：，

故选D．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于牢记二次函数图象平移时上加下减，左加右减．

4、B

【解析】

【分析】

根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．

【详解】

解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，得：y＝（x﹣3）2；

再向上平移5个单位长度，得：y＝（x﹣3）2+5，

故选：B．

【点睛】

本题考察了二次函数抛物线的平移问题，解题的关键是根据左加右减，上加下减的平移规律进行求解．

5、C

【解析】

【分析】

根据图像经过三点求出函数表达式，再根据最值的求法求出结果．

【详解】

解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c经过（﹣1，1），（4，6），（3，1），

∴，

解得：，

∴函数表达式为y＝x2-2x-2，开口向上，

∴函数的最小值为=，即y≥-3，

故选C．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的最值，属于基础题，解题的关键是掌握二次函数最值的求法．

6、B

【解析】

【分析】

首先由y=2x2-4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2-4x+8，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．

【详解】

解：，

抛物线顶点的坐标为，

，

点的横坐标为，

把代入，得到，

，

．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．

7、B

【解析】

【分析】

由抛物线解析式的顶点式即可求得抛物线的对称轴．

【详解】

抛物线的对称轴是直线，

故选：B．

【点睛】

本题考查了抛物线的图象与性质，当抛物线的解析式为时，对称轴为直线；当抛物线的解析式为时，对称轴为直线x=h．

8、A

【解析】

【分析】

根据抛物线的顶点坐标为 ，即可求解．

【详解】

解：抛物线的顶点坐标为．

故选：A

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键．

9、C

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【详解】

解：（1）∵函数开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右边，∴，∴b＞0，故命题正确；

（2）∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故命题正确；

（3）∵当x=-1时，y＜0，∴a-b+c＜0，故命题错误；

（4）∵当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，故命题正确；

（5）∵抛物线与x轴于两个交点，∴b2-4ac＞0，故命题正确；

故选C．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

10、D

【解析】

【分析】

首先根据二次函数图象的开口方向确定，再根据对称轴在轴右，可确定与异号，然后再根据二次函数与轴的交点可以确定．

【详解】

解：抛物线开口向上，

，

对称轴在轴右侧，

与异号，

，

抛物线与轴交于正半轴，

，

故选：．

【点睛】

此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数，

①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．

当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．

②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．

当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）

③．常数项决定抛物线与轴交点． 抛物线与轴交于．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

根据，顶点坐标是，可得答案．

【详解】

解：抛物线为，

开口向下，则最高点坐标是顶点坐标，

顶点坐标．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质以及顶点式，解题的关键是准确理解顶点式．

2、2

【解析】

【分析】

首先求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标，然后根据“特征三角形”是等腰直角三角形列方程求解即可．

【详解】

解：∵

∴，代入得：

∴抛物线的顶点坐标为

∵当时，即，

解得：，

∴抛物线与x轴两个交点坐标为和

∵的“特征三角形”是等腰直角三角形，

∴，即

解得：．

故答案为：2．

【点睛】

此题考查了二次函数与x轴的交点问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标．

3、③④⑤

【解析】

【分析】

先利用二次函数的开口方向，与轴交于正半轴，二次函数的对称轴为：判断的符号，可判断①，由图象可得：在第三象限，可判断②，由抛物线与轴的一个交点在之间，则与轴的另一个交点在之间，可得点在第一象限，可判断③，由在第四象限，抛物线的对称轴为： 即 可判断④，当时，，当， 此时： 可判断⑤，从而可得答案.

【详解】

解：由二次函数的图象开口向下可得：

二次函数的图象与轴交于正半轴，可得

二次函数的对称轴为： 可得

所以： 故①不符合题意；

由图象可得：在第三象限，

故②不符合题意；

由抛物线与轴的一个交点在之间，则与轴的另一个交点在之间，

点在第一象限，

故③符合题意；

在第四象限，

抛物线的对称轴为：

故④符合题意；

当时，，

当，

此时：

故⑤符合题意；

综上：符合题意的有：③④⑤，

故答案为：③④⑤．

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的应用二次函数的图象与性质判断代数式的符号是解题的关键.

4、-4

【解析】

【分析】

由表格得出抛物线的对称轴，根据二次函数的对称性解答可得．

【详解】

解：由表格可知当x=0和x=2时，y=-2.5，

∴抛物线的对称轴为x=1，

∴x=3和x=-1时的函数值相等，为-4，

故答案为：-4．

本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据表格得出抛物线的对称轴是解题的关键．

5、4

【解析】

【分析】

先确定两个函数的开口方向和对称轴，再得出符合条件的x的取值范围，从而得到m的最小值．

【详解】

解：函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2开口向下，对称轴为直线x=4，

函数y2＝﹣（x﹣3）2＋1开口向下，对称轴为直线x=3，

当函数值都随着x的增大而减小，

则x≥4，即m的最小值为4，

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的基本性质．

三、解答题

1、 (1)抛物线的解析式为

(2)∠ACB的正弦值为

(3)点D的坐标为

【解析】

【分析】

（1）将A点坐标代入，求出的值，然后回代抛物线的解析式即可；

（2）根据抛物线解析式求出点的坐标，知是等腰直角三角形，求出的值，如图，延长，作，垂足为，为等腰直角三角形，求出的值，在中，，由勾股定理知，，将线段值代入求解即可；

（3）由可知，，，在中，，解得的值，得到点坐标，设过两点的直线解析式为，将两点坐标代入求得解析式，然后与抛物线解析式联立求出D点坐标即可；

(1)

解：将代入中得

解得

∴抛物线的解析式为： ．

(2)

解：将代入解得

∴点坐标为

∵

∴

∴是等腰直角三角形

∴

∴

∵B点坐标为

∴

如图，延长，作，垂足为

∴

∴

∴为等腰直角三角形

∴

在中，，由勾股定理知

∴

∴的正弦值为．

(3)

解：∵

∴

∵，

∴

∴

∴在中，

∴解得

∴点坐标为

∴设过两点的直线解析式为

将两点坐标代入解析式得

解得

∴过两点的直线解析式为

联立一次函数解析式与抛物线解析式得

消得

解得或（舍去）

∴

∴D点坐标为．

【点睛】

本题考查了二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，正弦值，勾股定理，三角形相似，一次函数与二次函数的交点坐标等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用．

2、 (1)，

(2)或

(3)

【解析】

【分析】

（1）对于，当时，，求得，解方程组即可得到结论；

（2）根据，，得到，连接，设的中点为，求得，，得到直线的解析式为，设，解方程即可得到结论；

（3）由（1）知，抛物线的对称轴为直线，根据轴对称的性质得到，，当，，三点共线时，最小，即最小，求得直线的解析式为，把代入即可得到结论．

(1)

解：对于，当时，，

，

抛物线为常数，交轴于点和点，

，

解得，

抛物线的解析式为；

(2)

解：，，

，

连接，设的中点为，

，，

直线的解析式为，

，

点在直线上，

设，

点是抛物线上一点，

，

解得，

点的坐标为，或，；

(3)

解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线，

点与点关于对称，点在直线上，

，，

当，，三点共线时，最小，即最小，

设直线的解析式为，

，

解得，

直线的解析式为，

把代入得，，

，

当最小时，求点的坐标．

【点睛】

本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，轴对称最短路线问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式．

3、 (1)①-1，0；4，0；0，-2；②见解析

(2)

(3)存在，当时，最大，最大为.

【解析】

【分析】

（1）①分别令即可求得抛物线与坐标轴的交点坐标；②根据点的坐标，分别求得进而勾股定理逆定理即可证明；

（2）连接OQ，设点Q的坐标为，进而根据进行求解即可；

（3）过点Q作于点H，证明，由（2）可得，进而列出关于的关系式，根据二次函数的性质求最值即可

(1)

①由，

令，则，

令，即

解得

，，

故答案为：-1，0；4，0；0，-2；

②证明：∵，，

∴，，

∴

∴是．

(2)

连接OQ，如图所示

设点Q的坐标为

(3)

过点Q作于点H，如图所示

∴

∵

∴

∴当时，最大，最大为．

【点睛】

本题考查了二次函数坐标轴的交点问题，相似三角形的性质与判定，二次函数求面积问题，二次函数的最值问题，熟练运用以上知识是解题的关键．

4、 (1)

(2)或

(3)或

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线的解析式令即可求得的坐标，令即可求得点的坐标，进而待定系数法求得直线的解析式；

（2）由（1）设点，则在上，代入解方程即可求得的值，进而求得点的值；

（3）先求得直线的解析式，进而表示出解析式，得点的坐标为，进而根据平行得，根据相似三角形的性质可得，根据勾股定理及逆定理证明是直角三角形，进而可得对称后的点与重合，进而可得，求得点的纵坐标，进而根据求得的值，即可求得点的坐标．

(1)

解：已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，

令，得

即

令，即

解得

设直线的解析式为，将点代入得，

解得

直线的解析式为

(2)

点P是直线上一动点，直线的解析式为

设点，

点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，

则在上

即

解得

或

或

(3)

依题意，设点，

设直线的解析式为，将点代入得，

解得

直线的解析式为

PEBC

设直线的解析式为

令，，则点的坐标为

，，

PEBC

是直角三角形

将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，

,

与点重合，

则

，

解得

或

即或

解得或

或

【点睛】

本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，轴对称问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，一次函数的平移问题，设参数求解是解题的关键．

5、 (1)；

(2)；

(3)-1<m<3或．

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法求解；

（2）将函数解析式化为顶点式，得到抛物线的顶点坐标，即可得到的取值范围；

（3）利用待定系数法求出直线AC的解析式，得到直线l的解析式为y=-x+m，求出点B的坐标，由此得到当直线l与BC段相交时，m的取值范围；解，求出当时m的值，由此得到m的取值范围．

(1)

解：将点、代入中，得

，解得，

∴抛物线的表达式为；

(2)

解：∵，M是抛物线上点A，C之间（含点A，C）的一个动点，,

∴抛物线的顶点坐标为（1,4），

∴点M的纵坐标的取值范围为；

(3)

解：设直线AC的解析式为y=kx+b，

∴，解得，

∴直线AC的解析式为y=-x+3，

∵设平移后的直线为l，记l与y轴的交点为，

∴直线l的解析式为y=-x+m，

∵抛物线的对称轴为直线x=1，点A（3,0），

∴B（-1,0），

将点B坐标代入y=-x+m，得m=-1，

当直线l与BC段相交时，m的取值范围是-1<m<3；

当直线l与AC段相交时，则，

整理得，

当时，得；

综上，若l与上方的抛物线有唯一交点，m的取值范围为-1<m<3或．

【点睛】

此题考查了待定系数法求函数解析式，将一般式解析式化为顶点式，直线的平移，一元二次方程的判别式，图象交点问题，综合掌握一次函数与二次函数的知识是解题的关键．